中考數(shù)學二輪復習培優(yōu)專題07 三角形相似綜合訓練（教師版）

專題07三角形相似綜合訓練1．如圖，在矩形SKIPIF1<0中，將SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0逆時針旋轉SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0三點恰好在同一直線上，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．以下結論正確的是(

)①SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；③點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的黃金分割點；④SKIPIF1<0A．①②③ B．①③ C．①②③ D．①③④【答案】D【詳解】證明：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故①正確；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是直角三角形，而SKIPIF1<0不是直角三角形，∴②錯誤；在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的黃金分割點，∴③正確；在線段SKIPIF1<0上作SKIPIF1<0，如圖所示，連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴④正確，故選：D．【我思故我在】本題主要考查相似三角形的判定和性質以及黃金分割點的性質，全等三角形的判定和性質等綜合知識，關鍵是對知識的掌握和運用．2．如圖，在SKIPIF1<0中，D、E分別在AB邊和AC邊上，SKIPIF1<0，M為BC邊上一點(不與B、C重合)，連結AM交DE于點N，則(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質和相似三角形的判定可得△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，再根據(jù)相似三角形的性質即可得到答案.【詳解】∵SKIPIF1<0，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，∴SKIPIF1<0，故選C.【我思故我在】本題考查平行線的性質、相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質、相似三角形的判定和性質.3．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的一點，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到SKIPIF1<0，再由相似三角形的性質得到答案.【詳解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的面積為：SKIPIF1<0，故選C．【我思故我在】本題考查相似三角形的判定定理和性質，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理和性質.4．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊BC、CD中點，線段AE，AF與對角線BD分別交于點G，H．設矩形ABCD的面積為S，則以下4個結論中：①AG：GE=2：1

②BG：GH：HD=1：1：1；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0正確的結論有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質和線段中點的定義得：SKIPIF1<0可判斷①正確；同理根據(jù)相似三角形的判定與性質可得：SKIPIF1<0，可判斷②正確；③④設SKIPIF1<0，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，等底同高三角形面積的關系依次用x表示各三角形的面積，可作判斷．【詳解】解：①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，SKIPIF1<0，∵E是BC的中點，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0

故①符合題意；②∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理得：SKIPIF1<0，∴BG=GH=HD，∴BG：GH：HD=1：1：1；故②符合題意；③∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵BG=GH=HD，∴SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；故③錯誤，不符合題意；④由③知：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，故④符合題意；所以本題的3個結論符合題意；故選：C．【我思故我在】本題考查了矩形的性質，三角形相似的性質和判定，三角形面積等知識，解題的關鍵是理解題意，等底同高三角形面積相等，相似三角形面積的比等于相似比的平方．5．如圖，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的延長線分別交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0．給出以下結論：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．其中正確結論的是(

)A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形和正方形的性質得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可判定①錯誤；通過導角能得出SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，從而證明SKIPIF1<0，可判斷②正確；利用SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，可說明③正確；過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0轉化為SKIPIF1<0，從而判斷④成立．【詳解】解：SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故①錯誤；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故②正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故③正確；如圖，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正方形的邊長SKIPIF1<0為2，SKIPIF1<0為正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故④正確，故選：B．【我思故我在】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，正方形的性質，含SKIPIF1<0角的直角三角形的性質，等邊三角形的性質等知識，熟練掌握各性質是解題的關鍵．6．如圖，在平行四邊形SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的交點，直線SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0的延長線交于點SKIPIF1<0．若平行四邊形SKIPIF1<0的面積為144，則SKIPIF1<0的面積為(

)A．72 B．216 C．268 D．300【答案】D【分析】由題意易得SKIPIF1<0，則易證SKIPIF1<0，然后設平行四邊形SKIPIF1<0的高為h，則可得SKIPIF1<0的高為SKIPIF1<0，進而問題可求解．【詳解】解：∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理可證SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．設O到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，設O到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，平行四邊形ABCD的高為h，則有SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴△POQ的高為SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；故選：D．【我思故我在】本題主要考查相似三角形的性質及平行四邊形的性質，熟練掌握相似三角形的性質及平行四邊形的性質是解題的關鍵．7．如圖，在正方形SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點，且SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交對角線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0點，過SKIPIF1<0點作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交延長線于SKIPIF1<0，再根據(jù)正方形的性質，推出SKIPIF1<0，根據(jù)同角的余角相等，推出SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0對角線，推出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，進而求出SKIPIF1<0的長度．【詳解】解：過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0延長線于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0對角線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；故選：D．【我思故我在】本題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質，掌握相似三角形的判定與性質、正方形的性質的綜合應用，其中輔助線的做法、相似的證明、勾股定理的應用是解題關鍵．8．已知，如圖，平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0_____．【答案】20【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，據(jù)此求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進而求出SKIPIF1<0．【詳解】解：∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為：20．【我思故我在】本題主要考查了平行四邊形的性質，相似三角形的性質與判定，證明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0是解題的關鍵．9．P是SKIPIF1<0邊上的任一點(P不與A、B、C重合)，過點P的一條直線截SKIPIF1<0，如果截得的三角形與SKIPIF1<0相似，我們稱這條直線為過點P的△ABC的“相似線”．SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當點P是邊SKIPIF1<0上一個三等分點時(SKIPIF1<0)，過點P的SKIPIF1<0的“相似線”最多有___________條．【答案】4【分析】根據(jù)相似線的定義，可知截得的三角形與SKIPIF1<0有一個公共角，分①公共角為SKIPIF1<0時；②公共角為SKIPIF1<0時；③公共角為SKIPIF1<0時；三種情況進行討論，即可得出答案．【詳解】解：①當公共角為SKIPIF1<0時，不存在；②公共角為SKIPIF1<0時，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點D，如圖所示：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；過點P作SKIPIF1<0于點D，如圖所示：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；③公共角為SKIPIF1<0時，連接SKIPIF1<0，如圖所示：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵點P是邊SKIPIF1<0上一個三等分點，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；過點P作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點D，如圖所示：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；綜上分析可知，過點P的SKIPIF1<0的“相似線”最多有4條．故答案為：4.【我思故我在】本題主要考查了相似三角形的判定，平行線的性質，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法．10．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點P在射線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點D，SKIPIF1<0的平分線交SKIPIF1<0于點Q，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的值為______．【答案】18【分析】如圖，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于G．首先證明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝3，即可求出SKIPIF1<0解決問題．【詳解】解：如圖，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于G．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵∠GBC＝∠GBP∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝3∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故答案為：18．【我思故我在】本題考查了相似三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，正確的作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．11．如圖，在矩形SKIPIF1<0中，點E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0上的點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長度是___________．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】作SKIPIF1<0于點N，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點M，先證SKIPIF1<0是等腰直角三角形，設SKIPIF1<0，利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性質求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長度，再利用SKIPIF1<0證明SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，最后再證SKIPIF1<0，利用對應邊成比例求出SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0的長度．【詳解】解：如圖，作SKIPIF1<0于點N，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點M，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形．由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【我思故我在】本題考查矩形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理等知識點，解題的關鍵是靈活運用相關性質，作輔助線構造直角三角形和全等三角形．12．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取一點D，使SKIPIF1<0，如果在SKIPIF1<0上取點E，使SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相似，則SKIPIF1<0=___________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】本題應分兩種情況進行討論，①SKIPIF1<0SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0SKIPIF1<0；可根據(jù)各相似三角形得出的關于SKIPIF1<0四條線段的比例關系式求出SKIPIF1<0的長．【詳解】解：本題分兩種情況：①如圖：此時SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②如圖：此時SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【我思故我在】本題主要考查了相似三角形的性質．由于題中沒有明確相似三角形的對應角和對應邊，因此本題要分情況進行討論，以免漏解．13．如圖是某風車示意圖，其相同的四個葉片均勻分布，水平地面上的點M在旋轉中心O的正下方，某一時刻，太陽光線恰好垂直照射葉片SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，此時各葉片影子在點M右側成線段SKIPIF1<0．測得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂直于地面的木棒SKIPIF1<0與影子SKIPIF1<0的比為SKIPIF1<0．則點O、M之間的距離等于___________m；【答案】10【分析】連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點H，過點C作SKIPIF1<0，通過證明SKIPIF1<0，通過相似三角形對應邊成比例即可解答．【詳解】解：連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點H，過點C作SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為矩形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為：10．【我思故我在】本題主要考查了相似三角形的性質和判定，解題的關鍵是畫出輔助線，構建相似三角形．14．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊BC上，連結AE并延長，交對角線BD于點F、DC的延長線于點G．如果SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】SKIPIF1<0【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD=BC，AD∥BC，即可證得△ADF∽△EBF，△GEC∽△GAD，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，△GEC∽△GAD，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【我思故我在】此題考查相似三角形的判定與性質以及平行四邊形的性質．解題關鍵在于注意掌握數(shù)形結合思想的應用．15．矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為對角線，SKIPIF1<0，E為SKIPIF1<0中點，動點P從點A出發(fā)沿SKIPIF1<0方向，向點B運動，動點Q同時以相同速度，從點B出發(fā)沿SKIPIF1<0方向向點C運動，P、Q的速度都是1cm/秒，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設運動時間為x秒．SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0時，求運動時間t；(2)SKIPIF1<0時，求運動時間t；(3)當t為何值時，以點P，B，Q為頂點的三角形與SKIPIF1<0相似？(4)連接SKIPIF1<0的面積能否達到矩形SKIPIF1<0面積的三分之一，若能求出t的值；若不能，說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0【分析】(1)先求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再證明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由此即可得到答案；(2)證明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，據(jù)此求解即可；(3)分當SKIPIF1<0時，當SKIPIF1<0時，兩種情況利用相似三角形的性質討論求解即可；(4)先求出SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，解方程即可．【詳解】(1)解：由題意得，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；(2)解：∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；(3)解：當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，如圖3-1所示，∵E是SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去)；當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(不合題意的值已舍去)；綜上所述，當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，以點P，B，Q為頂點的三角形與SKIPIF1<0相似(4)解：由題意得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(不合題意的值已舍去)．【我思故我在】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，矩形的性質，一元二次方程與圖形面積，熟知相似三角形的性質與判定條件是解題的關鍵．16．解答題(1)如圖1，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等邊三角形，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求證，SKIPIF1<0；[類比探究](2)如圖2，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0的值．[拓展提升](3)如圖3，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點F，連接SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0恰好等于SKIPIF1<0，請直接寫出此時SKIPIF1<0之間的數(shù)量關系．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】(1)證明SKIPIF1<0，從而得出結論；(2)證明SKIPIF1<0，從而得出結果；(3)過點B作SKIPIF1<0，垂足為點H，令SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相交于點O．通過證明SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0，根據(jù)對應邊成比例，即可將SKIPIF1<0三條線段表示出來，即可得出結論．【詳解】(1)解：∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．(2)解：∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，根據(jù)勾股定理可得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．(3)過點B作SKIPIF1<0，垂足為點H，令SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相交于點O．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【我思故我在】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．17．在△ABC中，SKIPIF1<0，BE是AC邊上的中線，點D在射線BC上．(1)如圖1，點D在BC邊上，SKIPIF1<0，AD與BE相交于點P，過點A作SKIPIF1<0，交BE的延長線于點F，易得SKIPIF1<0的值為；(2)如圖2，在△ABC中，SKIPIF1<0，點D在BC的延長線上，AD與AC邊上的中線BE的延長線交于點P，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(3)在(2)的條件下，若CD=2，AC=6，則BP=．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)6【分析】(1)易證△AEF≌△CEB，則有AF=BC．設CD=k，則DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，然后根據(jù)相似三角形的性質就可求出SKIPIF1<0的值；(2)過點A作AF∥DB，交BE的延長線于點F，設DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易證△AEF≌△CEB，則有EF=BE，AF=BC=2k．易證△AFP∽△DBP，然后根據(jù)相似三角形的性質就可求出SKIPIF1<0的值；(3)當CD=2時，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根據(jù)SKIPIF1<0的值求出SKIPIF1<0的值，就可求出BP的值．【詳解】解：(1)如圖1中，∵AF∥BC，∴∠F=∠EBC，∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，∴△AEF≌△CEB(AAS)，∴AF=BC．設CD=k，則DB=2k，AF=BC=3k，∵AF∥BC，∴△APF∽△DPB，∴SKIPIF1<0，故答案是：SKIPIF1<0；(2)如圖2，過點A作AF∥DB，交BE的延長線于點F，設DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．∵E是AC中點，∴AE=CE．∵AF∥DB，∴∠F=∠1．在△AEF和△CEB中，SKIPIF1<0，∴△AEF≌△CEB，∴EF=BE，AF=BC=2k．∵AF∥DB，∴△AFP∽△DBP，∴SKIPIF1<0；(3)當CD=2時，BC=4，∵AC=6，∴EC=AE=3，∴EB=SKIPIF1<0∴EF=BE=5，BF=10．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴BP=SKIPIF1<0BF=SKIPIF1<0×10=6．故答案為6．【我思故我在】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，結合中點，作平行線構造全等三角形是解決本題的關鍵．18．在△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點P在平面內(nèi)不與點A，C重合，連接SKIPIF1<0，將線段SKIPIF1<0繞點P逆時針旋轉SKIPIF1<0得到線段SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．(1)如圖①，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值是，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交所成的較小角的度數(shù)是．(2)如圖②，當SKIPIF1<0時，請寫出SKIPIF1<0的值及直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交所成的較小角的度數(shù)，并說明理由．(3)當SKIPIF1<0時，若點E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0中點，點P在直線SKIPIF1<0上，請直接寫出當C，P，D在同一直線上時，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)1，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，理由見解析(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】(1)證明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即可得解；利用全等，對應角相等，以及對頂角相等，得到SKIPIF1<0，即可得解；(2)根據(jù)題意：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質證明SKIPIF1<0，利用相似的性質即可得解；(3)分點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，和P在線段SKIPIF1<0上兩種情況分類討論即可；【詳解】(1)解：如圖，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形，由題意可知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0(SAS)∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交所成較小角的度數(shù)是SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交所成較小角的度數(shù)為SKIPIF1<0，理由如下：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點G，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，∵在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，理由如下：當點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，即SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0