三角函數(shù)圖象的平移和伸縮

(0<短(向(0<短(向k函數(shù)yAi

三角函圖的平移伸k的圖象與函數(shù)y的圖象間可以通過(guò)變化，來(lái)相轉(zhuǎn)化．，影圖象的形狀，影響圖象與x交點(diǎn)的位置．由A引的變換稱振幅變換，由引的變換稱周期變換，它們都是伸縮變換；由引的變換稱相位變換，由引的變換稱上下平移變換，它們都是平移變換．既可以將三角函數(shù)的圖象先平移后伸縮也可以將其先伸縮后平移．變換方法如下：先移伸sinx的象

平位度得yx的象

(縱變得y圖

原A橫坐不)得y圖象

平移k個(gè)單位度得yAx的象y

縱標(biāo)橫標(biāo)平

yx

3

)π個(gè)單位縱標(biāo)橫標(biāo)縮為來(lái)1/2橫標(biāo)縱標(biāo)為來(lái)3倍

yx)3x)3先縮平sinx的象

A(橫坐標(biāo))

左(0)向(πππ左(0)向(ππππππ得的象

到原的縱坐標(biāo)變)得yx)的象

平移個(gè)單位得yAx(的圖象ysinx

平移k個(gè)單位長(zhǎng)度縱坐不變

得的象．sinx橫坐標(biāo)縮短為原的縱坐不變橫坐向左移π個(gè)單橫坐不變縱坐原來(lái)的3倍

x)3y3sin(2)3例將y的象怎樣變換得到函數(shù)yx的象．4解法）①把ysin的象沿x軸左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得sin的象；②將所得π圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，的象；③將所圖象的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得y2的象；④最后把所得圖象沿軸上平移1個(gè)位長(zhǎng)度得到y(tǒng)2的象．44（方法二）①把sin圖象的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍得yx的圖象；②將所圖象的橫坐ππ標(biāo)縮小到原來(lái)的得y2圖象③將所得圖象沿x向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得2x的88圖象；④最后把圖象沿軸上平移1個(gè)位長(zhǎng)度到2的象．

πππππππππππ橫標(biāo)(或(向k左(或向(說(shuō)明無(wú)哪種變換都是針對(duì)字而的．由ysin的象向左平移個(gè)位長(zhǎng)度得到的函數(shù)圖象πππ1的解析式是y2而是ysin把的象的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的得842的函數(shù)圖象的解析式是2而是ysin2．對(duì)復(fù)的換可進(jìn)數(shù)解例將的象怎樣變換得到函數(shù)ycos2x的象．4分析：應(yīng)先通過(guò)誘導(dǎo)公式化為同名三角函數(shù)．解：sinxxcos

π

，在ycos2中x，ycos2()cosxa．2根據(jù)題意，有

x

πππx，a．8所以將sin2x的象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)ycos2x的圖象．三角函圖的平移伸函數(shù)sin

x的圖象與函數(shù)sin的圖象之間可以通過(guò)變化，來(lái)相互轉(zhuǎn)化．影響圖象的形狀，影圖象與x交點(diǎn)的位置．由引的換稱振幅變換，引的變換稱周期變換，它們都是伸縮變換；由引起的變換稱相位變換，由k引的變換稱上下平移變換，它們都是平移變換．既可以將三角函數(shù)的圖象先平移后伸縮也可以將其先伸縮后平移．變換方法如下：先移伸sinx的象

平移單位長(zhǎng)度得yx圖

1到來(lái)(坐不變得ysin(圖象

為原來(lái)的A倍(橫坐標(biāo)不變)得A的圖象

平移k單位長(zhǎng)度得ysin(x的圖象．先縮平sinx的象

A(橫)得的象

到原來(lái)的(縱坐標(biāo)變)得yx)的象

平移

πππππππππππππππππx)2πππ得yAx(的圖象

平移k個(gè)單長(zhǎng)

得yAsin(的象例

將y的象怎樣變換得到函數(shù)y2的象．4解法）①把ysin的象沿軸向左平移

π

個(gè)單位長(zhǎng)度，得x

π4

的圖象；②將所得圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，

sinx的象；③將所得圖象的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得42sin2x的象；④后把所得圖象沿y軸上平移1個(gè)位長(zhǎng)度得到y(tǒng)2sin的圖象．4（方法二）①把sin的象的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍得的象；②將所得圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的

得

x的象將得圖象沿x軸左平移

π

個(gè)單位長(zhǎng)度得yx的8圖象；④最后把圖象沿y軸上平移個(gè)單長(zhǎng)度得到y(tǒng)2sinx的象．說(shuō)明無(wú)哪種變換都是針對(duì)字而言的由y2x的象向左平移

π

個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)圖象的解析式是ysinx而是y2x把y8

π4

的圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的得到的函數(shù)圖象的解析式是y2而不是yx．44對(duì)復(fù)的換可進(jìn)數(shù)解例將

的圖象怎樣變換得到函數(shù)

cos24

的圖象．分析：應(yīng)先通過(guò)誘導(dǎo)公式化為同名三角函數(shù)解：

πsin2xcos2

，在

中以代，有

π2

π2

．根據(jù)題意，有

a

，得48

．所以將

的圖象向左平移

π

個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)

π4

的圖象

．練習(xí)1函數(shù)y=3sin（2x+圖象按量1對(duì)稱，則θ的一個(gè)可能取值是（）

平移得到圖象F若圖象F關(guān)直線22A、2、將函數(shù)（）（）

B、C、、的圖象按向量

平移，得到（）圖象，則f

A、C、

B、D、（）3、要得到函數(shù)

x)24

的圖象，只需將

的圖象（）A．向左平移個(gè)位同右平移個(gè)位22C．向左平移

個(gè)單位D.向右平移4

個(gè)單位4、若函數(shù)y=f(x)的象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍再將整個(gè)圖象沿軸左平移

2

個(gè)單位，沿y軸下平移1個(gè)單，得到函數(shù)

y=sin

12

的圖象則y=f(x)是（）A．C.

11y=sin(2)B.)221y=sin(2x)D.sin(2)2425.為得到函數(shù)2x

3

的圖像，只需將函數(shù)ysinx

的圖像（A）A．向左平移C．向左平移

5π125π6

個(gè)長(zhǎng)度單位個(gè)長(zhǎng)度單位

B．向右平移D．向右平移

5π125π6

個(gè)長(zhǎng)度單位個(gè)長(zhǎng)度單位6.要得到函數(shù)sinA．向右平移個(gè)位

的圖象，只需將函數(shù)xB．向右平移個(gè)位

的圖象（）C．向左平移

個(gè)單位

D．向左平移

個(gè)單位7.為了得到函數(shù)

y)6

的圖象，可以將函數(shù)ycos2x

的圖象（B）(A)向右平移個(gè)位長(zhǎng)度(B)右平移個(gè)單位長(zhǎng)度6(C)向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度(D)向左平移6

個(gè)單位長(zhǎng)度8.已知函數(shù)

fx)x

4

,

0)

的最小正周期為，了得到函數(shù)()cos

的圖