專題3.1 平方根-重難點(diǎn)題型（教師版含解析）2022年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列（浙教版）

專題3.1平方根-重難點(diǎn)題型【浙教版】【知識(shí)點(diǎn)1平方根的概念及表示】①定義：如果x2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也稱為二次方根②表示方法：正數(shù)a的正的平方根記作a，負(fù)的平方根記作-a，正數(shù)a的兩個(gè)平方根記作±a負(fù)根號(hào)a，其中a叫做被開(kāi)方數(shù).【題型1平方根的概念及表示】【例1】（2021春?景縣月考）“49的平方根是±23A．49=±23 B．49=23 C．±4【分析】根據(jù)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，可得平方根的表示方法．【解答】解：±49故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方根，注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根．【變式1-1】（2020秋?惠山區(qū)校級(jí)月考）下列語(yǔ)句正確的是（）A．10的平方根是100 B．100的平方根是10 C．﹣2是﹣4的平方根 D．49的平方根是±2【分析】根據(jù)一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)可對(duì)A、B、D進(jìn)行判斷；根據(jù)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根可對(duì)C進(jìn)行判斷．【解答】解：A、10的平方根是±10，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、100的平方根是±10，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、﹣4沒(méi)有平方根，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、49的平方根為±23，所以D故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方根的定義：若一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫a的平方根，記作±a（a≥0）．【變式1-2】（2020春?潮南區(qū)期末）實(shí)數(shù)1﹣3a有平方根，則a可以取的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)求出a的范圍，從而得出答案．【解答】解：∵實(shí)數(shù)1﹣3a有平方根，∴1﹣3a≥0，解得a≤13故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平方根，平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．【變式1-3】（2021?九龍坡區(qū)期中）若﹣2xay與5x3yb的和是單項(xiàng)式，則（a+b）2的平方根是（）A．2 B．±2 C．4 D．±4【分析】若﹣2xay與5x3yb的和是單項(xiàng)式，可知﹣2xay與5x3yb是同類(lèi)項(xiàng)，根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)的定義求出a，b，再代入計(jì)算即可求出答案．【解答】解：由題意可知：﹣2xay與5x3yb是同類(lèi)項(xiàng)，∴a＝3，b＝1，∴（a+b）2＝（3+1）2＝16，16的平方根是±4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查合并同類(lèi)項(xiàng)，解題的關(guān)鍵正確理解同類(lèi)項(xiàng)的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．【知識(shí)點(diǎn)2平方根的性質(zhì)】一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．【題型2平方根的性質(zhì)】【例2】（2021春?陽(yáng)谷縣月考）已知3m﹣1和﹣2m﹣2是某正數(shù)a的平方根，則a的值是（）A．3 B．64 C．3或-15 D．64或【分析】3m﹣1與﹣2m﹣2相等或者互為相反數(shù)，分別求出m的值，再求出3m﹣1的值，最后求出a的值．【解答】解：根據(jù)題意得：3m﹣1＝﹣2m﹣2或3m﹣1+（﹣2m﹣2）＝0，解得：m=-15或3當(dāng)m=-153m﹣1=-85∴a=6425當(dāng)m＝3時(shí)，3m﹣1＝8，∴a＝64；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方根的定義，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，解題時(shí)不要漏解．【變式2-1】（2020春?孟村縣期中）已知正實(shí)數(shù)x的兩個(gè)平方根是m和m+b．（1）當(dāng)b＝8時(shí)，m的值是；（2）若m2x+（m+b）2x＝4，則x＝．【分析】（1）利用正實(shí)數(shù)平方根互為相反數(shù)即可求出m的值；（2）利用平方根的定義得到（m+b）2＝x，m2＝x，代入式子m2x+（m+b）2x＝4即可求出x值．【解答】解：（1）∵正實(shí)數(shù)x的平方根是m和m+b∴m+m+b＝0，∵b＝8，∴2m+8＝0∴m＝﹣4；（2）∵正實(shí)數(shù)x的平方根是m和m+b，∴（m+b）2＝x，m2＝x，∵m2x+（m+b）2x＝4，∴x2+x2＝4，∴x2＝2，∵x＞0，∴x=2．故答案為：（1）4；（2）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方根的定義及平方根的性質(zhì)，熟練掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2020春?高新區(qū)校級(jí)期中）已知2x﹣y的平方根為±3，﹣4是3x+y的一個(gè)平方根，求x﹣y的平方根．【分析】根據(jù)平方根的意義可知2x﹣y＝9，3x+9＝16，進(jìn)而求出x、y的值，代入求出x﹣y的值，最后求出其平方根．【解答】解：∵2x﹣y的平方根為±3，∴2x﹣y＝9，又∵﹣4是3x+y的一個(gè)平方根，∴3x+y＝16，∴x＝5，y＝1，因此x﹣y＝5﹣1＝4，所以4的平方根為±2，答：x﹣y的平方根為±2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方根的意義和計(jì)算方法，理解平方根的意義是解決問(wèn)題的前提．【變式2-3】（2021春?東城區(qū)校級(jí)期中）已知正實(shí)數(shù)x的平方根是n和n+a（a＞0）．（1）當(dāng)a＝6時(shí)，求n的值；（2）若n2+（n+a）2＝8，求a﹣n的平方根．【分析】（1）利用正實(shí)數(shù)平方根互為相反數(shù)即可求出a的值；（2）利用平方根的定義得到（n+a）2＝x，a2＝x，代入式子n2x2+（n+a）2x2＝10即可求出x值．【解答】解：（1）∵正實(shí)數(shù)x的平方根是n和n+a，∴n+n+a＝0，∵a＝6，∴2n+6＝0∴n＝﹣3；（2）∵正實(shí)數(shù)x的平方根是n和n+a，∴（n+a）2＝x，n2＝x，∵n2+（n+a）2＝8，∴x+x＝8，∴x＝4，∴n＝﹣2，n+a＝2，即a＝4，∴a﹣n＝6，a﹣n的平方根是±6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方根的定義及平方根的性質(zhì)，熟練掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)3開(kāi)平方】求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做開(kāi)平方．【題型3利用開(kāi)平方解方程】【例3】（2021春?巴楚縣月考）求下列各式中x的值：（1）x2﹣5=49（2）3x2﹣15＝0；（3）2（x+1）2＝128．【分析】（1）移項(xiàng)后合并同類(lèi)項(xiàng)，再開(kāi)方即可；（2）先移項(xiàng)，方程兩邊除以3，再開(kāi)方即可；（3）方程兩邊除以2，再開(kāi)方即可．【解答】解：（1）x2﹣5=49x2=499x=±499x1=73，x2=-（2）3x2﹣15＝0，3x2＝15，x2＝5，x=±5；（3）2（x+1）2＝128，（x+1）2＝64，x+1＝±8，x1＝﹣9；x2＝7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵．【變式3-1】（2021春?岷縣月考）求下列各式中x的值．（1）（2x﹣1）2＝25．（2）x2-12149=【分析】（1）根據(jù)平方根的定義求解即可；（2）先移項(xiàng)，再根據(jù)平方根的定義求解即可．【解答】解：（1）∵（2x﹣1）2＝25，∴2x﹣1＝5或2x﹣1＝﹣5，∴x＝3或x＝﹣2．（2）∵x2-12149=∴x2=12149∴x=117或x=-【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平方根的定義，熟記平方根的定義是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2020秋?甘州區(qū)校級(jí)期中）求滿足下列各式的未知數(shù)x．（1）（x﹣1）2﹣49＝0；（2）18(x-2)2-8【分析】（1）根據(jù)平方根的定義進(jìn)行求解即可得出答案；（2）先把要求的式子化成（x﹣2）2＝64，再根據(jù)平方根的定義進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2﹣49＝0，∴（x﹣1）2＝49，∴x﹣1＝±7，∴x1＝8，x2＝﹣6．（2）∵18(x-2)2-8∴18(x-2)2∴（x﹣2）2＝64，∴x﹣2＝±8，∴x1＝10，x2＝﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方根的定義，掌握平方根的求法是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2020春?中山區(qū)期末）定義：等號(hào)兩邊都是整式，只含有?個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的?程，叫做?元?次?程．如x2＝9，（x﹣2）2＝4，3x2+2x﹣1＝0…都是?元?次?程．根據(jù)平?根的特征，可以將形如x2＝a（a≥0）的?元?次?程轉(zhuǎn)化為?元?次?程求解．如：解方程x2＝9的思路是：由x＝±9，可得x1＝3，x2＝﹣3．解決問(wèn)題：（1）解方程（x﹣2）2＝4．解：∵x﹣2＝±4，∴x﹣2＝2，或x﹣2＝．∴x1＝4，x2＝．（2）解方程：（3x﹣1）2﹣25＝0．【分析】根據(jù)例題運(yùn)用平方根解一元二次方程的方法解答即可．【解答】解：（1）∵x﹣2＝±4，∴x﹣2＝2，或x﹣2＝﹣2．∴x1＝4，x2＝0．（2）∵（3x﹣1）2﹣25＝0∴（3x﹣1）2＝25，∴3x﹣1＝±25，∴3x﹣1＝5，或3x﹣1＝﹣5．∴x1＝2，x2=-43故答案為：﹣2，0．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平方根的定義，熟練掌握例題運(yùn)用平方根解一元二次方程的方法是解本題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)4算術(shù)平方根的概念】正數(shù)a有兩個(gè)平方根±a，我們把正數(shù)a的正的平方根a，叫做a的算術(shù)平方根．【題型4算術(shù)平方根的概念】【例4】（2021春?紅橋區(qū)期中）8116的算術(shù)平方根是．【分析】直接利用算術(shù)平方根的定義得出答案．【解答】解：∵8116=∴8116的算術(shù)平方根是：32故答案為：32．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了算術(shù)平方根，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2021春?鄖西縣月考）下列說(shuō)法正確的是（）A．﹣4是（﹣4）2的算術(shù)平方根 B．±4是（﹣4）2的算術(shù)平方根 C．16的平方根是﹣2 D．﹣2是16的一個(gè)平方根【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、平方根的定義求解判斷即可．【解答】解：A，﹣4是（﹣4）2的負(fù)的平方根，故此說(shuō)法不符合題意；B，±4是（﹣4）2的平方根，故此說(shuō)法不符合題意；C，16的平方根是±2，故此說(shuō)法不符合題意；D，﹣2是16的一個(gè)平方根，故此說(shuō)法符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了算術(shù)平方根、平方根，熟記算術(shù)平方根、平方根的定義是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2021春?巴南區(qū)期中）已知99225=315，x=3.15，則xA．9.9225 B．0.99225 C．0.099225 D．0.0099225【分析】直接利用平方根的定義將原式變形得出答案．【解答】解：∵99225=315，∴9.9225×10000=9.9225×10000=∵x=3.15，∴x＝9.9225，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了算術(shù)平方根，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（2020秋?玄武區(qū)期末）若方程（x﹣1）2＝5的解分別為a，b，且a＞b，下列說(shuō)法正確的是（）A．a(chǎn)是5的平方根 B．b是5的平方根 C．a(chǎn)﹣1是5的算術(shù)平方根 D．b﹣1是5的算術(shù)平方根【分析】根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義逐一判斷即可．【解答】解：若方程（x﹣1）2＝5的解分別為a，b，且a＞b，則a﹣1是5的算術(shù)平方根．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查看平方根與算術(shù)平方根，熟記相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵，算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，記為a；平方根的定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．【知識(shí)點(diǎn)5算術(shù)平方根的性質(zhì)】①正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù)；0的算術(shù)平方根是0；②負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根.當(dāng)a≥0時(shí)，a2=a③算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性：a≥0；a≥0.【題型5算術(shù)平方根的非負(fù)性】【例5】（2021春?安寧市校級(jí)期中）若x-1+（y+2）2＝0，則（x+y）2021等于．【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x與y的值，代入原式計(jì)算即可求出值．【解答】解：∵x-1+（y+2）2＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，解得：x＝1，y＝﹣2，則原式＝（1﹣2）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根，以及偶次方，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2021春?浦東新區(qū)月考）若x-1與|2x+y﹣6|互為相反數(shù)，則（x+y）2的平方根是．【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和等于0列方程，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列方程求出x、y的值，然后代入代數(shù)式求解，再根據(jù)平方根的定義解答．【解答】解：∵x-1與|2x+y﹣6|互為相反數(shù)，∴x-1+|2x+y﹣6|＝0，∴x-1=02x+y-6=0，解得x=1y=4，∴（x+y）2＝（1+4）2＝25，∴（x+y）2的平方根是±5．故答案為：±5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方根以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0．【變式5-2】（2021春?海淀區(qū)校級(jí)期中）當(dāng)x＝時(shí)，代數(shù)式x-2+1取最小值為．【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出x的值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵代數(shù)式x-2+1取最小值，∴x﹣2＝0，解得：x＝2，故當(dāng)x＝2時(shí)，代數(shù)式x-2+1取最小值為：1．故答案為：2，1．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確得出x的值是解題關(guān)鍵．【變式5-3】（2021春?蜀山區(qū)校級(jí)期中）若a，b，c為實(shí)數(shù)，且|a+1|+b-1+（c﹣1）2＝0，則（abc）2021A．0 B．1 C．﹣1 D．±1【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及絕對(duì)值的代數(shù)意義求出a，b，c的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：∵a，b，c為實(shí)數(shù)，且|a+1|+b-1+（c﹣1）2＝0∴a+1＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，解得a＝﹣1，b＝1，c＝1，∴（abc）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【題型6算術(shù)平方根的應(yīng)用】【例6】（2021春?武昌區(qū)期中）如圖，用兩個(gè)邊長(zhǎng)為5cm的小正方形拼成一個(gè)大的正方形．（1）求大正方形的邊長(zhǎng)；（2）若沿此大正方形邊長(zhǎng)的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形，能否使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為4：3，且面積為48cm2？【分析】（1）根據(jù)已知正方形的面積求出大正方形的邊長(zhǎng)即可；（2）先求出長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)，再判斷即可．【解答】解：（1）大正方形的邊長(zhǎng)是2×52=52（（2）設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為4xcm，寬為3xcm，則4x?3x＝48，解得：x=4cm＝2（cm），4x＝8cm＞52cm，所以沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形，不能使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為4：3，且面積為48cm2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了算術(shù)平方根，能根據(jù)題意列出算式是解此題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2021春?越秀區(qū)校級(jí)期中）如圖，有一個(gè)面積為400cm2的正方形．（1）正方形的邊長(zhǎng)是多少？（2）若沿此正方形邊的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形，能否使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為5：4，且面積為360cm2？若能，試求出剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)與寬；若不能，試說(shuō)明．【分析】（1）根據(jù)正方形的面積等于邊長(zhǎng)乘以邊長(zhǎng)．利用算術(shù)平方根的意義進(jìn)行計(jì)算．（2）先求出長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)，再判斷即可．【解答】解：（1）∵正方形的面積為400cm2，∴正方形的邊長(zhǎng)是400=20（cm2）；（2）設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為5xcm，寬為4xcm，則5x?4x＝360，解得：x=40，5x＝540=1000＞所以沿此大正方形邊的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形，不能使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)寬之比為5：4，且面積為360cm2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查算術(shù)平方根的意義，正確理解算術(shù)平方根的意義是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2021春?天心區(qū)月考）某市在招商引資期間，把已倒閉的油泵廠出租給外地某投資商，該投資商為減少固定資產(chǎn)投資，將原來(lái)的400m2的正方形場(chǎng)地改建成300m2的長(zhǎng)方形場(chǎng)地，且其長(zhǎng)、寬的比為5：3．（1）求原來(lái)正方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)．（2）如果把原來(lái)的正方形場(chǎng)地的鐵柵欄圍墻全部利用，圍成新場(chǎng)地的長(zhǎng)方形圍墻，那么這些鐵柵欄是否夠用？試?yán)盟鶎W(xué)知識(shí)說(shuō)明理由．【分析】（1）正方形邊長(zhǎng)＝面積的算術(shù)平方根，周長(zhǎng)＝邊長(zhǎng)×4，由此解答即可；（2）長(zhǎng)、寬的比為5：3，設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形場(chǎng)地寬為3am，則長(zhǎng)為5am，計(jì)算出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬可知長(zhǎng)方形周長(zhǎng)，同理可得正方形的周長(zhǎng)，比較大小可知是否夠用．【