石大初等代數(shù)研究講義01數(shù)與數(shù)系

初等代數(shù)研究PAGEPAGE2第一章數(shù)與數(shù)系一、數(shù)系的歷史發(fā)展⑴數(shù)學(xué)思維對象與實體的分離數(shù)的概念的產(chǎn)生和發(fā)展人類在朦朧時代就已具有識別事物多寡的能力。從這種原始的“數(shù)覺”到抽象的“數(shù)”概念的形成，是一個緩慢的、漸進的過程。原始人先是注意到一只羊與許多羊、一頭狼與整群狼的區(qū)別，逐漸看到一只羊、一頭狼、一條魚之間存在著某種共通的東西，即他們的單位性。數(shù)：一定物群所共有的抽象性質(zhì)。“數(shù)”概念的形成可能與火的使用一樣古老，大約是在30萬年以前。Ⅰ最早是手指計數(shù)。十進制、五進制多發(fā)于此。Ⅱ石子計數(shù)。但計數(shù)的石子堆很難長久保存信息。Ⅲ結(jié)繩計數(shù)、刻痕計數(shù)。人類刻痕計數(shù)發(fā)現(xiàn)的最早證據(jù)，是1937年在捷克摩拉維亞出土的幼狼脛骨，其上有55道刻痕。歷史途徑擴展：*自然數(shù)→正有理數(shù)→簡單的代數(shù)無理數(shù)（如等）→零（公元650年左右，印度）與負有理數(shù)→復(fù)數(shù)→嚴格的實數(shù)系。邏輯擴展：自然數(shù)整數(shù)系有理數(shù)系實數(shù)系復(fù)數(shù)系。注：四元數(shù)不滿足某些數(shù)的性質(zhì)，故不屬于數(shù)系。⑵從一個數(shù)系A(chǔ)擴展到新的數(shù)系B，應(yīng)當遵循如下的結(jié)構(gòu)主義原則：①A是B的真子集，即。②在新數(shù)上建立各種運算。A的元間所定義的運算關(guān)系，在B的元間也有相應(yīng)的定義，且B的元間的這些關(guān)系和運算對B中的A的元來說與原定義一致；這保證老結(jié)構(gòu)和新結(jié)構(gòu)彼此相容。③B的結(jié)構(gòu)和A的結(jié)構(gòu)可能有本質(zhì)不同。某種運算在A中不是總能實施，在B中卻總能實施。④在A的具有上述三個性質(zhì)所有的擴展中，在同構(gòu)意義下，B是唯一最小擴展。（補充）基本概念同構(gòu)——與是兩個代數(shù)系統(tǒng)。若存在到上的一一映射，且，有，則稱與同構(gòu)，為同構(gòu)映射。擴張——若是的一個真子集，且與同構(gòu)，則稱是的一個擴張。二、自然數(shù)系和0⑴自然數(shù)的基數(shù)理論和序數(shù)理論①建立自然數(shù)理論的幾種方案Ⅰ康托爾以集合論為基礎(chǔ)，建立自然數(shù)基數(shù)理論；Ⅱ皮亞諾以公理法為基礎(chǔ)，建立自然數(shù)序數(shù)理論；Ⅲ羅素等人試圖用純邏輯學(xué)為基礎(chǔ)，建立自然數(shù)理論。②自然數(shù)的基數(shù)理論Ⅰ定義。基數(shù)→有限集→自然數(shù)自然數(shù)：有限集的基數(shù)。Ⅱ順序。順序定義如果有限集的基數(shù)分別為。那么，當時，說等于，記作；當時，就說小于，記作；當時，就說大于，記作。順序性質(zhì)Ⅲ運算運算定義加法定義：設(shè)都是有限集。，則的基數(shù)為a加上b的和，記作。乘法定義：若個有限集彼此之間沒有公共元素，它們的基數(shù)都是，則稱的基數(shù)為a乘以b的積，記作。運算性質(zhì)自然數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律。（乘法交換律）。（乘法結(jié)合律）（乘法對加法的分配律）③自然數(shù)的序數(shù)理論Ⅰ提出原因基數(shù)理論沒有很好揭露自然數(shù)在順序上的意義，也沒有給出自然數(shù)加法、乘法運算的具體方法。Ⅱ定義集合的元素叫做自然數(shù)。如果的元素間有一個基本關(guān)系“后繼”（用“+”表示），并滿足（歸納公理）注：歸納公理是數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)。Ⅲ順序順序定義等于：。小于：順序性質(zhì)自然數(shù)的順序關(guān)系具有對逆性、傳遞性和全序性。Ⅳ運算運算定義加法：自然數(shù)的加法是一種對應(yīng)關(guān)系“+”，由于它，對任何，有唯一確定的，并且。乘法：自然數(shù)的乘法是一種對應(yīng)關(guān)系“·”，由于它，對任何，有唯一確定的，并且。減法：設(shè)，若存在，使，則稱x為a減去b的差，記作，這里a叫做被減數(shù)，b叫做減數(shù)。求兩數(shù)差的運算叫做減法。除法：設(shè)，若存在，使，則稱x為a除以b的商，記作，這里a叫做被除數(shù)，b叫做除數(shù)。求兩數(shù)商的運算叫做除法。例1證明例2證明運算性質(zhì)加法的唯一性、結(jié)合律、交換律；乘法的唯一性、結(jié)合律、交換律。自然數(shù)列的離散性：任意兩個相鄰的自然數(shù)與之間不存在自然數(shù)，使。阿基米德性：對任意，必有。（右分配律）對任何，總有⑵關(guān)于自然數(shù)系的幾點說明⒈定義了加法和乘法運算的自然數(shù)系統(tǒng)也稱為算術(shù)系統(tǒng)。⒉公理系統(tǒng)的一個基本要求是公理之間的在邏輯上的相容性，也就是說必須保證從公理出發(fā)不會推導(dǎo)出兩個矛盾的命題。⒊整數(shù)的算術(shù)運算系統(tǒng)中存在大量的數(shù)論難題。⑶自然數(shù)和0“自然數(shù)”這一術(shù)語首先被羅馬學(xué)者波伊修斯使用。我國數(shù)學(xué)教科書中在20世紀90年代之前一直沒有把0作為自然數(shù)。1993年《中華人民共和國國家標準》中《量和單位》311頁規(guī)定自然數(shù)包括0。從集合論的角度看，把0作為自然數(shù)比較合理。將這一系列集合所對應(yīng)的基數(shù)看成自然數(shù)列三、從自然數(shù)系到整數(shù)環(huán)德國著名數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克有一句名言：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其它的數(shù)都是人造的?！倍x：笛卡兒積上二元關(guān)系當且僅當，容易知道這是一個等價關(guān)系，記等價類，等價類集合記為，并定義上加法、減法、乘法運算與順序關(guān)系如下：⑴⑵⑶⑷性質(zhì)：①②（增加的性質(zhì)）的減法封閉，引入零元、負元。零元：；順序：①順序定義②順序性質(zhì)是一個全序集，但不是良序集（每一個非空子集都有最小元）；保持離散性、阿基米德性。是交換群，是半群，而且中乘法對加法的分配律成立。因此，是環(huán)。（補充）基本概念：群——是一個非空集合，是上的一個代數(shù)運算。即有且滿足⑴結(jié)合律，即有⑵中有元素，，有⑶對中每個元素，有元素，使，則稱關(guān)于“”構(gòu)成一個群，記作。環(huán)——是一個非空集合，如果在上定義兩個代數(shù)運算，分別稱為加法和乘法，并且滿足：⑴關(guān)于加法成為一個交換群；⑵有；⑶，有。則稱構(gòu)成一個環(huán)。四、數(shù)學(xué)歸納法⒈數(shù)學(xué)歸納法的幾種形式⑴（第一數(shù)學(xué)歸納法）設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，若Ⅰ在時成立Ⅱ（是任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出成立。則對一切自然數(shù)都成立。證明：設(shè)是使命題成立的所有自然數(shù)組成的集合，則由Ⅰ；Ⅱ若，則由歸納公理，得證。⑵第一數(shù)學(xué)歸納法的一種變形（移動起點）設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，若Ⅰ在時成立。其中為任何一個具體的自然數(shù)。Ⅱ（）成立的假設(shè)下可以推出成立。則對一切自然數(shù)（）都成立。⑶第二數(shù)學(xué)歸納法（串值歸納法）設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，若Ⅰ在時成立。Ⅱ假設(shè)對于所有適合的自然數(shù)成立，則成立。則對一切自然數(shù)都成立。⑷第二數(shù)學(xué)歸納法的一種變形（增多起點）設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，若Ⅰ在，時成立。Ⅱ假設(shè)真，則真。則對一切自然數(shù)都成立。⑸跳躍式歸納法（加大跨度）設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，若Ⅰ為真命題。Ⅱ在（是任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出成立。則對一切自然數(shù)都成立。⑹（反向歸納法）設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，若Ⅰ有無限多個值使成立。Ⅱ在（是任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出成立。則對一切自然數(shù)都成立。⑺（螺旋歸納法）設(shè)、是兩個與自然數(shù)有關(guān)的命題，如果Ⅰ是成立的；Ⅱ假設(shè)成立，可以得到成立；假設(shè)成立，可以得到成立。則、對一切自然數(shù)都成立。⒉在數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)中應(yīng)注意⑴要使學(xué)生弄清數(shù)學(xué)歸納法與普通形式邏輯中的歸納法的區(qū)別。觀察——歸納——證明。歸納法是通過觀察、試驗、推理或猜測，得出一個關(guān)于全體對象的判斷，屬于歸納。數(shù)學(xué)歸納法是對給定結(jié)論予以證明，屬于證明。⑵幫助學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)歸納法。①數(shù)學(xué)歸納法中的兩個步驟，缺一不可。例如不要Ⅰ（奠基）。證明所有正整數(shù)都相等。證：假設(shè)時，第個整數(shù)等于第個整數(shù)，即；兩邊都加上1，得到，即第個整數(shù)等于第個整數(shù)所以，時命題也成立。例如不要Ⅱ（遞推步驟）法·費爾馬（1601－1665）②防止“貌合神離”例如，若，且。求證：。錯證：當時，命題成立。（反證法）假設(shè)當時，命題成立。即當時，綜合、，命題對于不小于2的所有自然數(shù)成立。剖析：當時，條件為，其中。所以，不能套用的結(jié)論。證明：當時，命題成立。（反證法）⒊例題例1證明：用票面為3角和5角的郵票可以支付任何角的郵資。分析當時，命題成立。（）設(shè)時命題成立。角郵資可能是：⑴完全用3角的郵票來支付；⑵至少用一張5角的郵票來支付。在⑴下，3角的郵票至少有3張。把它們換成兩張5分的郵票便可支付角的郵票。在⑵下，把一張5角的郵票換成兩張3角的郵票便可以支付角的郵票。綜合、，命題對于不小于8的所有自然數(shù)成立。例2平面內(nèi)有條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點。記條直線的交點個數(shù)為。⑴求。⑵猜想，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。分析⑴⑵當時，命題成立。假設(shè)時命題成立，即。那么時，原條直線有個交點。由條件知，第條直線與原條直線各有一個交點，且互不相同。故新增個交點，所以。綜合、，命題對于不小于2的所有自然數(shù)成立。例3已知是定義在上，又在上取值的函數(shù)，且⑴⑵⑶求證：證法一（串值歸納法）證法二（反向歸納法）例4設(shè)，證明每一個正方形可以分為個正方形。分析（跳躍式歸納法）