高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)17直線與圓錐曲線

PAGEPAGE19直線與圓錐曲線1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1．若直線與曲線交于不同的兩點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為表示雙曲線的右支，由消去得，整理得，設(shè)直線與曲線的兩交點為，，其中，，則，解得，又，解得，綜上：，故選D．2．設(shè)雙曲線與直線相交于兩個不同的點A，B，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，所以，，，故選B．3．（多選）已知雙曲線，過其右焦點F的直線l與雙曲線交于A，B兩個不同的點，則下列判斷正確的為（）A．的最小值為B．以F為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C．滿足的直線有3條D．若A，B同在雙曲線的右支上，則直線l的斜率【答案】BD【解析】選項A．當(dāng)直線l的斜率為0時，A，B兩點分別為雙曲線的頂點，則又，故選項A不正確；選項B．，則以F為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選項B正確；選項C．當(dāng)A，B兩點同在雙曲線的右支時（通經(jīng)為最短弦），則，此時無滿足條件的直線；當(dāng)A，B兩點分別在雙曲線一支上時（實軸為最短弦），則，此時無滿足條件的直線，故選項C不正確；選項D．過右焦點F分別作兩漸近線的平行線，如圖，將繞焦點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與重合的過程中，直線與雙曲線的右支有兩個焦點，此時直線l的斜率或，故選項D正確，故選BD．4．已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線既是拋物線的切線，又是圓的切線，則_______．【答案】【解析】聯(lián)立與，可得，因為直線與拋物線相切，故，即，因為直線與圓相切，故可得圓心到直線的距離，則，解得（舍）或，故答案為．5．已知斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點A，B，M為y軸上一點且滿足|MA|=|MB|，則點M的縱坐標(biāo)的取值范圍是___________．【答案】【解析】設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，設(shè)，，，，解得．，．由于，所以是垂直平分線與軸的交點，垂直平分線的方程為，令，得，由于，所以，也即的縱坐標(biāo)的取值范圍是，故答案為．6．若線段與橢圓沒有交點，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】或【解析】線段與橢圓沒有交點，線段在橢圓的內(nèi)部或外部，線段在橢圓的內(nèi)部時，，；線段在橢圓的外部時，線段包含了所在直線在第一象限的部分，而橢圓的中心是原點，因此線段所在直線與橢圓無公共點，代入可得，，，，綜上所述，或，故答案為或．7．已知橢圓的離心率，長軸的左右端點分別為，．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動直線與曲線有且只有一個公共點，且與直線相交于點，求證：以為直徑的圓過定點．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）橢圓長軸端點在軸上，可設(shè)橢圓方程為，由題意可得，解得，橢圓的方程為．（2）由，得，曲線與直線只有一個公共點，，即，設(shè)，則，，；由，得，即，，，，，即，以為直徑的圓恒過定點．8．已知中心為坐標(biāo)原點，關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的橢圓經(jīng)過點，．（1）求橢圓的方程；（2）若直線過橢圓的左焦點交橢圓于兩點，若，求直線的方程．【答案】（1）橢圓的方程為；（2）直線的方程為或．【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為，，在橢圓上，，，橢圓的方程為．（2）由（1）可知：橢圓的左焦點，設(shè)直線的方程為，由，聯(lián)立得，直線交橢圓于兩點，，設(shè)，，，又，，，，，，，，直線的方程為，即或．2．與圓錐曲線有關(guān)的弦長面積問題1．已知雙曲線的左?右焦點分別為，，一條漸近線為，過點且與平行的直線交雙曲線C于點M，若，則漸近線的方程為___________．【答案】【解析】令雙曲線的半焦距為c，則，由雙曲線對稱性知，不妨令直線的方程為，則過點且與平行的直線的方程為，由消去y并整理得，解得點M的橫坐標(biāo)為，于是得，，由雙曲線定義知，因此有，即，所以漸近線的方程為，故答案為．2．O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為C上一點，若，則的面積為______．【答案】【解析】由題意，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，由，設(shè)，則，，所以，即點的坐標(biāo)為，則的面積為．故答案為．3．設(shè)拋物線的焦點為F，過點F的直線與拋物線交于A，B兩點，過弦AB的中點M作E的準(zhǔn)線的垂線，與拋物線E交于點P，若，則______．【答案】14【解析】拋物線方程為，，拋物線焦點為，準(zhǔn)線為，設(shè)，，由知，直線的斜率存在且不為0，如圖，設(shè)直線方程為，代入拋物線方程消去，得，，過的中點作準(zhǔn)線的垂線與拋物線交于點，設(shè)點的坐標(biāo)為，可得，，，，得，，得，，，解得，，，故答案為14．4．拋物線的焦點為F，其準(zhǔn)線與x軸的交點為K，P為準(zhǔn)線上一點，線段PF與拋物線交于M點，若是斜邊長為的等腰直角三角形，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵是斜邊長為的等腰直角三角形，∴，過M作MN垂直準(zhǔn)線于N點，則，∴，即，∴，故選D．5．傾斜角為135°的直線與拋物線相切，分別與軸、軸交于、兩點，過，兩點的最小圓截拋物線的準(zhǔn)線所得的弦長為（）A．4 B．2 C． D．【答案】B【解析】由題可設(shè)直線的方程，由，得，∴，解得，∴，令，得；令，得，即，∴過，兩點的最小圓即以，為直徑的圓，其圓心為，半徑為，方程為，又拋物線的準(zhǔn)線為，∴過，兩點的最小圓截拋物線的準(zhǔn)線所得的弦長為，故選B．6．過拋物線的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，且．若（其中），則t的值為（）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】拋物線的焦點，依題意，直線AB不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)直線，由消去y并整理得，而，設(shè)，則有，又，即，因，且，即，則有，解得，又，于是得，，所以t的值為3，故選D．7．已知，分別為雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線的右支上，且位于第一象限，若直線的斜率為，則的內(nèi)切圓的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，由題意知，直線的斜率為，則直線的方程為，∴，化簡整理得，即，∴或（舍去），即，∴，，設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為Q，半徑為r，連接，，，則由，得，∴，得，（利用等面積法求內(nèi)切圓的半徑）故的內(nèi)切圓的面積為，故選B．8．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過右焦點作平行于其中一條漸近線的直線交雙曲線于點，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)雙曲線的左焦點、右焦點，設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，可得直線的方程為，由，可得，即，設(shè)，，可得，即，整理可得，即，由雙曲線的定義可得，所以，設(shè)直線的傾斜角為，在中，，，，所以，所以，所以，整理可得，解得或（舍），所以雙曲線的離心率為，故選B．9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率，橢圓的右焦點到直線的距離是4．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過橢圓的上頂點的直線與該橢圓交于另一點，當(dāng)弦的長度最大時，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）因為橢圓的右焦點到直線的距離是4，∴，∴，又因為離心率，所以，，∴橢圓方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，；當(dāng)直線的斜率存在時：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，∴，，∴，令，∴，∴時，，取得最大值，即時，最大為18，即最大為，∴直線的方程為或．10．已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合．（1）求拋物線的方程；（2）過點作斜率不為0的直線交拋物線于，兩點，過，作的垂線分別與軸交于，，求四邊形面積的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解：雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程是，其焦點坐標(biāo)為，，因為拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，所以，，，故拋物線的方程為．（2）設(shè)直線，代入拋物線方程得，設(shè)點，，則，，直線，所以點，同理可得，所以四邊形的面積，由拋物線的對稱性，只需考慮的情形，則，所以，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)時，四邊形的面積最小，最小值為．11．已知動圓過定點，且截軸所得弦長為，設(shè)圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若為曲線上的兩個動點，且線段的中點到軸距離，求的最大值，并求此時直線方程．【答案】（1）；（2）12，．【解析】（1）解：設(shè)動圓圓心，則，化簡整理得，故曲線的軌跡方程為．（2）解：設(shè)直線方程為，，由消去得，所以，，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即（滿足）時，|AB|取得最大值12，此時，，直線AB方程為．12．已知橢圓的焦距為，點在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OM平分，求（O為坐標(biāo)原點）面積的最大值．【答案】（1）；（2）4．【解析】（1）由題意知，解得，所以橢圓C的方程為．（2）因為點M的坐標(biāo)為，所以直線OM的方程為．設(shè)，，AB的中點，則．因為A，B兩點都在橢圓C上，所以，兩式相減可得，則．所以可設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，整理得，則，解得，，，所以．原點O到直線l的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以面積的最大值為4．13．已知橢圓的左、右焦點分別為，，是上一點，且與軸垂直．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點的直線與交于、兩點，點，且的面積是面積的2倍，求直線的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解：因為與軸垂直，所以，，且，則，即，所以，故的方程為．（2）解：由題意，得，當(dāng)與軸重合時，，，從而面積是面積的3倍，此時不適合題意；當(dāng)與軸不重合時，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，由題意，得，且，，由的面積是面積的2倍，得，所以，所以，，即，解得，所以直線的方程為．14．已知橢圓的焦距為4，點在G上