2011年湖南高考數(shù)學(xué)必考點題型熱點預(yù)測與分析(5)-解析幾何

2011年湖南高考數(shù)學(xué)必考點題型熱點預(yù)測與分析(5)—解析幾何LtDPAGEPAGE42011年湖南高考數(shù)學(xué)必考點題型熱點預(yù)測與分析命題熱點五解析幾何高考對解析幾何的考查主要包括以下內(nèi)容：直線與圓的方程、圓錐曲線等，在高考試卷中一般有1~2個客觀題和1個解答題，其中客觀題主要考查直線斜率、直線方程、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線的定義應(yīng)用、標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、離心率的計算等，解答題則主要考查直線與橢圓、拋物線等的位置關(guān)系問題，經(jīng)常與平面向量、函數(shù)與不等式交匯等，考查一些存在性問題、證明問題、定點與定值、最值與范圍問題等，解析幾何試題的特點是思維量大、運算量大，所以應(yīng)加強對解析幾何重點題型的訓(xùn)練.預(yù)測1.如果圓關(guān)于直線對稱，則直線的斜率等于————————————.解析：依題意直線經(jīng)過點，所以，，于是直線斜率為.動向解讀：本題考查直線方程與斜率、圓的方程、對稱等基本問題，這是解析幾何的基礎(chǔ)內(nèi)容，是高考的重點內(nèi)容，一般以選擇題、填空題的形式考查，有時也間接考查，與圓錐曲線的內(nèi)離等于，故弦長等于.動向解讀：本題考查橢圓定義、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系等問題，是一道多知識點的綜合性小題，這正體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)命題所追求的“在知識交匯點處命題”的原則.值得注意的是：本題中橢圓方程沒有直接給出，而是要借助橢圓的定義進(jìn)行分析求解，才能得到有關(guān)的參數(shù)值.預(yù)測5.（理科）已知橢圓的左、右焦點分別為F1和F2，以F1、F2為直徑的圓經(jīng)過點M（0，b）.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓相交于A，B兩點，且.求證：直線l在y軸上的截距為定值.解析：（1）由題設(shè)知，又，所以，故橢圓方程為；（2）因為，所以直線與x軸不垂直.設(shè)直線的方程為，.由得，所以，又，所以，即，，整理得，即，因為，所以，展開整理得，即.直線l在y軸上的截距為定值.預(yù)測6.已知橢圓（）的右焦點為，離心率為.（Ⅰ）若，求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點，分別為線段的中點.若坐標(biāo)原點在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.解：（Ⅰ）由題意得，得.………………2分結(jié)合，解得，.………………3分所以，橢圓的方程為.………………4分（Ⅱ）由得.設(shè).所以，………………6分依題意，，易知，四邊形為平行四邊形，所以，………………7分因為，，所以.………………8分即，………………9分將其整理為.………………10分因為，所以，.………………11分所以，即.預(yù)測7.已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切，分別是橢圓的左右兩個頂點，為橢圓上的動點.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若與均不重合，設(shè)直線與的斜率分別為，證明：為定值；（Ⅲ）為過且垂直于軸的直線上的點，若，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．解：（Ⅰ）由題意可得圓的方程為，∵直線與圓相切，∴，即，又，即，，解得，，所以橢圓方程為．（Ⅱ）設(shè)，，，則，即，則，，即，∴為定值．（Ⅲ）設(shè)，其中．由已知及點在橢圓上可得，整理得，其中．①當(dāng)時，化簡得，所以點的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段；②當(dāng)時，方程變形為，其中，當(dāng)時，點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分；當(dāng)時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；當(dāng)時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓．預(yù)測8.已知橢圓的離心率.直線（）與曲線交于不同的兩點,以線段為直徑作圓,圓心為．(1)求橢圓的方程；(2)若圓與軸相交于不同的兩點，求的面積的最大值.（1）解：∵橢圓的離心率,∴.……2分解得.∴橢圓的方程為．……4分（2）解法1：依題意，圓心為．由得.∴圓的半徑為．……6分∵圓與軸相交于不同的兩點，且圓心到軸的距離，∴，即．∴弦長．……8分∴的面積……9分.……12分當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.∴的面積的最大值為．……13分解法2：依題意，圓心為．由得.∴圓的半徑為．……6分∴圓的方程為．∵圓與軸相交于不同的兩點，且圓心到軸的距離，∴，即．在圓的方程中，令，得，∴弦長．∴的面積.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.∴的面積的最大值為．預(yù)測9.已知拋物線，其焦點到準(zhǔn)線的距離為。,（1）試求拋物線的方程；（2）設(shè)拋物線上一點的橫坐標(biāo)為，過的直線交于另一點，交軸于，過點作的垂線交于另一點，若是的切線，求的最小值．D解：（1）D（2）設(shè)，則直線的方程為令，得，，且兩直線斜率存在，，即，整理得，又在直線上，則與共線，得由（1）、（2）得，，或（舍）所求的最小值為。預(yù)測10.已知圓及定點，點P是圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足，． （1）求G的軌跡C的方程； （2）過點作直線l，與曲線C交于A,B兩點，O為坐標(biāo)原點，設(shè)，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線相等？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．解：（1），所以橢圓方程為………4分（2）四邊形為平行四邊形，又其對角線相等，則當(dāng)直線的斜率不存在時，四邊形的對角線不相等；…………6分當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，聯(lián)立……9分，整理得（*）代入得所以存在直線……………12分預(yù)測10.已知動圓過點且與直線相切.（1）求點的軌跡的方程；（2）過點作一條直線交軌跡于兩點，軌跡在兩點處的切線相交于點，為線段的中點，求證：軸.OOFxy··P第22題解：（1）根據(jù)拋物線的定義，可得動圓圓心的軌跡C的方程為…………4分證明：設(shè)，∵，∴，∴的斜率分別OFxy··P第22題為，故的方程為，的方程為OFxy··P第22題即，兩式相減，得，又，∴的橫坐標(biāo)相等，于是………………10分預(yù)測11.已知點P（4，4），圓C：與橢圓E：有一個公共點A（3，1），F(xiàn)1．F2分別是橢圓的左．右焦點，直線PF1與圓C相切．（1）求m的值與橢圓E的方程；（2）設(shè)Q為橢圓E上的一個動點，求的范圍．解：（Ⅰ）點A代入圓C方程， 得． ∵m＜3，∴m＝1．圓C：．設(shè)直線PF1的斜率為k，則PF1：，即．∵直線PF1與圓C相切，∴．解得．當(dāng)k＝時，直線PF1與x軸的交點橫坐標(biāo)為，不合題意舍去．當(dāng)k＝時，直線PF1與x軸的交點橫坐標(biāo)為－4，∴c＝4．F1（－4，0），F(xiàn)2（4，0）．2a＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，b2＝2．橢圓E的方程為：．（Ⅱ），設(shè)Q（x，y），，．∵，即，而，∴－18≤6xy≤18．則的取值范圍是[0，36]．的取值范圍是[－6，6]．∴的取值范圍是[－12，0]．預(yù)測12.已知拋物線：的焦點為，過點作直線交拋物線于、兩點；橢圓的中心在原點，焦點在軸上，點是它的一個頂點，且其離心率．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過、兩點分別作拋物線的切線、，切線與相交于點．證明：；（3）橢圓上是否存在一點，經(jīng)過點作拋物線的兩條切線、（、為切點），使得直線過點？若存在，求出拋物線與切線、所圍成圖形的面積；若不存在，試說明理由．解：（1）設(shè)橢圓的方程為，半焦距為.由已知條件，得，∴解得.所以橢圓的方程為：.…………分（2）顯然直線的斜率存在，否則直線與拋物線只有一個交點，不合題意，故可設(shè)直線的方程為，，由消去并整理得，∴.…………分∵拋物線的方程為，求導(dǎo)得，∴過拋物線上、兩點的切線方程分別是，，即，，解得兩條切線、的交點的坐標(biāo)為，即，……分∴∴.…………8分（3）假設(shè)存在點滿足題意，由（2）知點必在直線上，又直線與橢圓有唯一交點，故的坐標(biāo)為，設(shè)過點且與拋物線相切的切線方程為：，其中點為切點.令得，，解得或，…………10分故不妨取，即直線過點.綜上所述，橢圓上存在一點，經(jīng)過點作拋物線的兩條切線、（、為切點），能使直線過點.此時，兩切線的方程分別為和.