2023年考研高等數(shù)學(xué)考前沖刺知識(shí)點(diǎn)

第頁(yè)共頁(yè)2023年考研高等數(shù)學(xué)考前沖刺知識(shí)點(diǎn)2023年考研高等數(shù)學(xué)考前沖刺知識(shí)點(diǎn)冪級(jí)數(shù)的常考題型：現(xiàn)對(duì)冪級(jí)數(shù)的?？碱}型做如下整理：展開(kāi)求和主要包括三種形式：1、系數(shù)為有理函數(shù)；2、系數(shù)中含有階乘；3、抽象型級(jí)數(shù)。其中出題頻次相對(duì)較高的是第一種。接下來(lái)我們就以往年考研試題為例，學(xué)習(xí)冪級(jí)數(shù)的根本解題思想：淺析利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分：極值點(diǎn)、拐點(diǎn)求解技巧：通過(guò)對(duì)歷年考研考試題目的研究，基此題目均是導(dǎo)函數(shù)圖形，斷定函數(shù)的極值點(diǎn)與拐點(diǎn)個(gè)數(shù)。結(jié)合極值點(diǎn)的求解過(guò)程，我們可以總結(jié)出圖形題的解題思路：〔1〕找駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)。即y’圖像中與x軸的交點(diǎn)，以及圖像中的無(wú)定義點(diǎn)。〔2〕再用第一充分?jǐn)喽?。即斷定某點(diǎn)左右兩側(cè)y’的正負(fù)，假設(shè)異號(hào)，那么為極值點(diǎn)。同理，假設(shè)求解拐點(diǎn)，〔1〕找y’’=0的點(diǎn)及二階不可導(dǎo)點(diǎn)。即y’圖像中切線程度的點(diǎn)，以及圖像中的無(wú)定義點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)?！?〕再用第一充分?jǐn)喽?。即斷定某點(diǎn)左右兩側(cè)y’的單調(diào)性，假設(shè)相反，那么為拐點(diǎn)。高數(shù)考點(diǎn)變化及重難點(diǎn)分析^p：一、極限的概念、性質(zhì)及計(jì)算重點(diǎn)：〔1〕函數(shù)極限的計(jì)算：七種未定式的計(jì)算，四那么運(yùn)算、等價(jià)無(wú)窮小交換、洛必達(dá)法那么、泰勒公式、對(duì)數(shù)恒等式、單側(cè)極限等方法的使用；〔2〕數(shù)列極限的計(jì)算：直接計(jì)算、夾逼準(zhǔn)那么、定積分定義、單調(diào)有界收斂準(zhǔn)那么。難點(diǎn)：〔1〕數(shù)列極限中利用夾逼準(zhǔn)那么和定積分定義求和式極限；利用單調(diào)有界收斂準(zhǔn)那么證明數(shù)列極限存在；〔2〕極限性質(zhì)和收斂性的討論。二、極限的應(yīng)用重點(diǎn)：〔1〕連續(xù)的定義和判斷連續(xù)點(diǎn)；〔2〕求曲線的程度、鉛直和斜漸近線；〔3〕導(dǎo)數(shù)的定義與微分〔4〕討論多元函數(shù)的極限、連續(xù)性、偏導(dǎo)性和可微性及其互相關(guān)系。難點(diǎn)：分段函數(shù)和抽象函數(shù)可導(dǎo)性的討論；多元函數(shù)可微性的判斷。三、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算重點(diǎn)：〔1〕一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算：初等函數(shù)〔含冪指函數(shù)〕、變限積分、隱函數(shù)、參數(shù)方程〔數(shù)一、數(shù)二〕、抽象函數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)等導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；〔2〕多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算：復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，全微分的計(jì)算。難點(diǎn)：變限積分求導(dǎo)、高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算、多元函數(shù)中抽象復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算。四、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用重點(diǎn)：〔1〕一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用：1〕幾何應(yīng)用：平面曲線的切線和法線；曲率和曲率半徑的計(jì)算，理解曲率圓〔數(shù)一數(shù)二〕；2〕物理應(yīng)用〔數(shù)一和數(shù)二〕：變化率；3〕經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用〔數(shù)三〕：邊際和彈性的概念、計(jì)算和經(jīng)濟(jì)學(xué)意義；4〕單調(diào)性和凹凸性：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性；理解凹凸性的幾何意義；5〕極值和拐點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)，掌握判斷的必要條件和充分條件；理解極值點(diǎn)和拐點(diǎn)的關(guān)系；6〕最值：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最大值和最小值，最值在相關(guān)實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用?！?〕多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用：1〕多元函數(shù)極值：利用必要條件和充分條件求二元函數(shù)的極值；用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值；求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值；2〕空間解析幾何中的應(yīng)用〔數(shù)一〕：空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線；3〕方向?qū)?shù)和梯度〔數(shù)一〕：計(jì)算方向?qū)?shù)和梯度，理解二者之間的關(guān)系。難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的物理應(yīng)用；凹凸性的幾何意義；條件極值的計(jì)算。五、積分的計(jì)算重點(diǎn)：〔1〕不定積分：掌握兩類換元法和分部積分法；會(huì)求有理函數(shù)、三角有理式、指數(shù)有理式、根式等不定積分；〔2〕定積分：理解定積分的定義，掌握比擬定理和積分中值定理；利用牛頓萊布尼茨公式計(jì)算各種不同形式的定積分：初等函數(shù)、分段函數(shù)、對(duì)稱區(qū)間、抽象函數(shù)、遞推公式等；〔3〕二重積分：利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)計(jì)算二重積分。難點(diǎn)：反常積分的計(jì)算和收斂性的判別；二重積分中值定理的使用。六、積分的應(yīng)用重點(diǎn)：幾何應(yīng)用平面圖形的面積；旋轉(zhuǎn)體的體積；平面曲線的弧長(zhǎng)〔數(shù)一數(shù)二〕；旋轉(zhuǎn)曲面的面積〔數(shù)一數(shù)二〕。難點(diǎn)：〔1〕微元法的根本思想和局部公式的理解和記憶；〔2〕物理應(yīng)用〔數(shù)一數(shù)二〕：計(jì)算質(zhì)量、質(zhì)心、形心、變力做工、靜壓力、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等。七、常微分方程重點(diǎn)：〔1〕解方程：可別離變量的微分方程、齊次方程、一階線性微分方程、二階〔高階〕常系數(shù)線性微分方程、可降階的微分方程〔數(shù)一數(shù)二〕；〔2〕理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的構(gòu)造；〔3〕微分方程的應(yīng)用：利用微分學(xué)和積分學(xué)知識(shí)列出微分方程并求解。難點(diǎn)：〔1〕求解伯努利方程和歐拉方程〔數(shù)一〕；〔2〕利用物理知識(shí)列方程〔數(shù)一數(shù)二〕。八、不等式、中值定理與零點(diǎn)問(wèn)題〔證明推理局部〕重點(diǎn)：〔1〕不等式證明：利用單調(diào)性凹凸性證明不等式；〔2〕中值定理：利用羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理、柯西中值定理證明相關(guān)結(jié)論；〔3〕零點(diǎn)問(wèn)題：利用單調(diào)性、零點(diǎn)定理和羅爾定理等判斷函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題。難點(diǎn)：定理的理解及其使用范圍、輔助函數(shù)的構(gòu)造，泰勒中值定理的使用。九、無(wú)窮級(jí)數(shù)〔數(shù)一數(shù)三〕重點(diǎn)：〔1〕常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：利用級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)和比擬判別法、根值比值判別法判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，用萊布尼茨判別法判斷交織級(jí)數(shù)的斂散性；〔2〕冪級(jí)數(shù)：計(jì)算級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域；求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)；將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。難點(diǎn)：抽象級(jí)數(shù)斂散性的證明；抽象級(jí)數(shù)和函數(shù)的求解；傅里葉級(jí)數(shù)的計(jì)算和狄利克雷收斂定理。十、多元函數(shù)積分學(xué)〔數(shù)一〕重點(diǎn)：〔1〕利用直角坐標(biāo)和求坐標(biāo)計(jì)算三重積分；〔2〕會(huì)利用直接帶入法〔化為定積分〕計(jì)算第一類曲線積分；〔3〕會(huì)利用直接代入法〔化為定積分〕直接計(jì)算第二類曲線積分，利用格力公式計(jì)算第二類曲線積分；利用斯托克斯公式計(jì)算三維的第二類曲線積分；掌握曲線積分與途徑無(wú)關(guān)的條件，求二元函數(shù)全微分的原函