中考數(shù)學試題分類32 圓的有關性質(zhì)!9

第32章圓的有關性質(zhì)一、選擇題1.（2011廣東湛江16,4分）如圖，是上的三點，，則度．【答案】602.（2011安徽，7，4分）如圖，⊙O的半徑是1，A、B、C是圓周上的三點，∠BAC=36°，則劣弧eq\o(⌒,BC)的長是（）A．eq\f(π,5) B．eq\f(2,5)π C．eq\f(3,5)π D．eq\f(4,5)π【答案】B3.（2011福建福州，9，4分）如圖2,以為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦切小圓于點,若,則大圓半徑與小圓半徑之間滿足（）A． B． C． D． 圖圖2【答案】C4.（2011山東泰安，10，3分）如圖，⊙O的弦AB垂直平分半徑OC，若AB=eq\r(6)，則⊙O的半徑為（）A.eq\r(2)eq\r(2)C.eq\f(eq\r(2),2)D.eq\f(eq\r(6),2)【答案】A5.（2011四川南充市，9，3分）在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油。截面如圖，油面寬AB為6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面寬變?yōu)?分米，圓柱形油槽直徑MN為（）（A）6分米（B）8分米（C）10分米（D）12分米【答案】C6.（2011浙江衢州，1,3分）一個圓形人工湖如圖所示，弦是湖上的一座橋，已知橋長100m，測得圓周角，則這個人工湖的直徑為（）A.B.C.D.【答案】B7.（2011浙江紹興，4，4分）如圖，的直徑，點在上，若,則的度數(shù)是（）A.B.C.D.(第5題圖)(第5題圖)【答案】C8.（2011浙江紹興，6，4分）一條排水管的截面如圖所示.已知排水管的截面圓半徑，截面圓圓心到水面的距離是6，則水面寬是（）【答案】A9.（2011浙江省，5，3分）如圖，小華同學設計了一個圓直徑的測量器，標有刻度的尺子OA、OB在O點釘在一起，并使它們保持垂直，在測直徑時，把O點靠在圓周上，讀得刻度OE=8個單位，OF=6個單位，則圓的直徑為（）A.12個單位B.10個單位個單位D.15個單位【答案】B10．（2011四川重慶，6，4分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB＝40°則∠A的度數(shù)等于()A．60°B．50°C．40°D．30°【答案】B11.（2011浙江省嘉興，6，4分）如圖，半徑為10的⊙O中，弦AB的長為16，則這條弦的弦心距為（）（A）6 （B）8 （C）10 （D）12（第6題）（第6題）【答案】A12.（2011臺灣臺北，16）如圖(六)，為圓O的直徑，直線ED為圓O的切線，A、C兩點在圓上，平分∠BAD且交于F點。若∠ADE＝，則∠AFB的度數(shù)為何？A．97B．104C．116D．142【答案】C13.（2011臺灣全區(qū)，24）如圖(六)，△ABC的外接圓上，AB、BC、CA三弧的度數(shù)比為12：13：11．自BC上取一點D，過D分別作直線AC、直線AB的并行線，且交于E、F兩點，則∠EDF的度數(shù)為何？A．55B．60C．65D．70【答案】Ｃ14.（2011甘肅蘭州，12，4分）如圖，⊙O過點B、C，圓心O在等腰Rt△ABC的內(nèi)部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6。則⊙O的半徑為A．6 B．13 C． D．AABCO【答案】C15.（2011四川成都，7,3分）如圖，若AB是⊙0的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，則∠BCD=（B）(A)116°(B)32°(C)58°（D)64°【答案】B16.（2011四川內(nèi)江，9，3分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC=60°,若⊙O的半徑OC為2，則弦BC的長為A．1 B． C．2 D．2【答案】D17.(2011江蘇南京，6，2分)如圖，在平面直角坐標系中，⊙P的圓心是（2，a）(a＞2)，半徑為2，函數(shù)y=x的圖象被⊙P的弦AB的長為，則a的值是A． B． C． D． (第6題)(第6題)ABOPxyy=x【答案】B18.（2011江蘇南通，8，3分）如圖，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中點，且OM＝3，則⊙O的半徑等于8 B.2 C.10 D.5【答案】D19.（2011山東臨沂，6，3分）如圖，⊙O的直徑CD＝5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OD＝3：5，則AB的長是（）A．2cm B．3cmC．4cm D．2cm【答案】C20．（2011上海，6，4分）矩形ABCD中，AB＝8，，點P在邊AB上，且BP＝3AP，如果圓P是以點P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）．(A)點B、C均在圓P外；(B)點B在圓P外、點C在圓P內(nèi)；(C)點B在圓P內(nèi)、點C在圓P外；(D)點B、C均在圓P內(nèi)．【答案】C21.（2011四川樂山6，3分）如圖（3），CD是⊙O的弦，直徑AB過CD的中點M，若∠BOC=40°，則∠ABD=A．40°B．60°C．70°D．80°【答案】C22.（2011四川涼山州，9，4分）如圖，，點C在上，且點C不與A、B重合，則的度數(shù)為（）A．B．或C．D．或【答案】D23.（2011廣東肇慶，7，3分）如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是BC延長線上一點，若∠BAD＝105°，則∠DCE的大小是AABCDEA．115° B．105° C．100° D．95°【答案】B24.（2011內(nèi)蒙古烏蘭察布，9，3分）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70，那么∠A的度數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】B25.（2011重慶市潼南,3,4分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上,∠A=30°,則∠B的度數(shù)為A．15°B.30° C.45°D.60°【答案】D26.（2011浙江省舟山，6，3分）如圖，半徑為10的⊙O中，弦AB的長為16，則這條弦的弦心距為（）（A）6 （B）8 （C）10 （D）12（第6題）（第6題）【答案】A二、填空題1.（2011浙江省舟山，15，4分）如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點O，AD平分∠CAB交弧BC于點D，連結(jié)CD、OD，給出以下四個結(jié)論：①AC∥OD；②；③△ODE∽△ADO；④．其中正確結(jié)論的序號是．（第16題）（第16題）【答案】①④2.（2011安徽，13，5分）如圖，⊙O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，則⊙O的半徑是．【答案】eq\r(,5)3.（2011江蘇揚州，15,3分）如圖，⊙O的弦CD與直徑AB相交，若∠BAD=50°，則∠ACD=【答案】40°4.（2011山東日照，14，4分）如圖，在以AB為直徑的半圓中，有一個邊長為1的內(nèi)接正方形CDEF，則以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是．【答案】如：x2-x+1=0；5.（2011山東泰安，23，3分）如圖，PA與⊙O相切，切點為A，PO交⊙O于點C，點B是優(yōu)弧CBA上一點，若∠ABC==320，則∠P的度數(shù)為?！敬鸢浮?606.（2011山東威海，15，3分）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于點E，若AE=5,BE=1,,則∠AED=.【答案】30°7.（2011山東煙臺，16,4分）如圖，△ABC的外心坐標是__________.OOxyBCA【答案】（－2，－1）8.（2011浙江杭州，14，4）如圖，點A，B，C，D都在⊙O上，的度數(shù)等于84°，CA是∠OCD的平分線，則∠ABD十∠CAO=°．【答案】53°9.（2011浙江溫州，14，5分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D都在⊙O上，連結(jié)CA，CB，DC，DB．已知∠D=30°，BC＝3，則AB的長是．【答案】610．（2011浙江省嘉興，16，5分）如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點O，AD平分∠CAB分別交OC于點E，交弧BC于點D，連結(jié)CD、OD，給出以下四個結(jié)論：①S△AEC=2S△DEO；②AC=2CD；③線段OD是DE與DA的比例中項；④．其中正確結(jié)論的序號是．（第16題）（第16題）【答案】①④11.（2011福建泉州，16，4分）已知三角形的三邊長分別為3，4，5，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)所有可能的情況是 .（寫出符合的一種情況即可）【答案】2（符合答案即可）12.（2011甘肅蘭州，16，4分）如圖，OB是⊙O的半徑，點C、D在⊙O上，∠DCB=27°，則∠OBD=度。OODBC【答案】63°13.（2011湖南常德，7，3分）如圖2，已知⊙O是△ABC的外接圓，且∠C=70°，則∠OAB=__________.【答案】20°14.（2011江蘇連云港，15，3分）如圖，點D為邊AC上一點，點O為邊AB上一點，AD=DO.以O為圓心，OD長為半徑作半圓，交AC于另一點E，交AB于點F，G，連接EF.若∠BAC=22o，則∠EFG=_____.【答案】15.（2011四川廣安，19，3分）如圖3所示，若⊙O的半徑為13cm，點是弦上一動點，且到圓心的最短距離為5cm，則弦的長為________cm【答案】2416.（2011重慶江津，16，4分）已知如圖,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,∠B=30o,則∠D=____________.AABCD第16題圖【答案】150°17.(2011重慶綦江，13，4分)如圖,已知AB為⊙O的直徑，∠CAB＝30°,則∠D＝.【答案】：60°18.（2011江西南昌，13，3分）如圖，在△ABC中，點P是△ABC的內(nèi)心，則∠PBC+∠PCA+∠PAB=度.【答案】9019.(2011江蘇南京，13，2分)如圖，海邊有兩座燈塔A、B，暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）區(qū)域內(nèi)，∠AOB=80°，為了避免觸礁，輪船P與A、B的張角∠APB的最大值為______°．AABOP(第13題)【答案】4020．（2011上海，17，4分）如圖，AB、AC都是圓O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分別為M、N，如果MN＝3，那么BC＝_________．【答案】621.（2011江蘇無錫，18，2分）如圖，以原點O為圓心的圓交x軸于點A、B兩點，交y軸的正半軸于點C，D為第一象限內(nèi)⊙O上的一點，若∠DAB=20°，則∠OCD=_____________．yyxOABDC（第18題）【答案】6522.（2011湖北黃石，14，3分）如圖（5），△ABC內(nèi)接于圓O，若∠B＝300.AC＝，則⊙O的直徑為。【答案】223.（2011湖南衡陽，16，3分）如圖，⊙的直徑過弦的中點G，∠EOD=40°，則∠FCD的度數(shù)為．【答案】2024.（2011湖南永州，8，3分）如圖，在⊙O中，直徑CD垂直弦AB于點E，連接OB,CB，已知⊙O的半徑為2，AB=,則∠BCD=________度．（第8題）（第8題）【答案】3025.(20011江蘇鎮(zhèn)江,15,2分)如圖,DE是⊙O的直徑,弦AB⊥DE,垂足為C,若AB=6,CE=1,則OC=_____,CD=_____.答案：4，926.（2011內(nèi)蒙古烏蘭察布，14，4分）如圖，是半徑為6的⊙D的圓周，C點是上的任意一點，△ABD是等邊三角形,則四邊形ABCD的周長P的取值范圍是【答案】27.（2011河北，16，3分）如圖7，點O為優(yōu)弧ACB所在圓的圓心，∠AOC=108°，點D在AB的延長線上，BD=BC,則∠D=__°．【答案】2728.（2011湖北荊州，12，4分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是直徑，∠B＝40°，則∠ACD的度數(shù)是.【答案】50°三、解答題1.（2011浙江金華，21，8分）如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上一點，以O為圓心，10為半徑作⊙O，分別與∠EPF兩邊相交于A、B和C、D，連結(jié)OA，此時有OA∥PE.（1）求證：AP＝AO；（2）若弦AB＝12，求tan∠OPB的值；（3）若以圖中已標明的點（即P、A、B、C、D、O）構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個點為 ，能構(gòu)成等腰梯形的四個點為 或 或 .證明：（1）∵PG平分∠EPF，∴∠DPO=∠BPO，∵OA//PE，∴∠DPO=∠POA，∴∠BPO=∠POA，∴PA=OA；……2分解：（2）過點O作OH⊥AB于點H，則AH=HB=AB，……1分∵tan∠OPB=，∴PH=2OH，……1分設OH=，則PH=2，由（1）可知PA=OA=10，∴AH=PH－PA=2－10，∵，∴，……1分解得（不合題意，舍去），， ∴AH=6，∴AB=2AH=12；……1分（3）P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.……2分(寫對1個、2個、3個得1分，寫對4個得2分)HHPABCODEFG2.（2011浙江金華，24，12分）如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），以OA為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點B是該半圓周上的一動點，連結(jié)OB、AB，并延長AB至點D，使DB＝AB，過點D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連結(jié)CF.（1）當∠AOB＝30°時，求弧AB的長；（2）當DE＝8時，求線段EF的長；（3）在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）連結(jié)BC,∵A（10，0）,∴OA=10,CA=5,∵∠AOB=30°,∴∠ACB=2∠AOB=60°,∴弧AB的長=;……4分OOBDECFxyA（2）連結(jié)OD,∵OA是⊙C直徑,∴∠OBA=90°,又∵AB=BD,∴OB是AD的垂直平分線,∴OD=OA=10,在Rt△ODE中，OE=,∴AE=AO－OE=10-6=4,由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA,∴,即，∴EF=3；……4分（3）設OE=x，①當交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，當∠ECF=∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點E為OC中點，即OE=，∴E1（，0）；當∠ECF=∠OAB時，有CE=5-x,AE=10-x，∴CF∥AB,有CF=,∵△ECF∽△EAD,∴,即,解得：,∴E2（，0）;OBOBDFCEAxyOBDFCEAxy②當交點E在點C的右側(cè)時，∵∠ECF＞∠BOA，∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，連結(jié)BE，∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，∴BE=AB=BD,∴∠BEA=∠BAO,∴∠BEA=∠ECF,∴CF∥BE,∴,∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED,∴,而AD=2BE,∴,即,解得,＜0（舍去），∴E3（，0）;OOBDFCEAxy③當交點E在點O的左側(cè)時，∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF.∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO連結(jié)BE，得BE==AB，∠BEA=∠BAO∴∠ECF=∠BEA,∴CF∥BE,∴,又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED,∴，而AD=2BE,∴,∴,解得,＜0（舍去）,∵點E在x軸負半軸上,∴E4（，0）,綜上所述：存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似,此時點E坐標為：（，0）、（，0）、（，0）、（，0）．……4分OOBDFCEAxy3.（2011山東德州22,10分）●觀察計算當，時，與的大小關系是_________________．當，時，與的大小關系是_________________．●探究證明如圖所示，為圓O的內(nèi)接三角形，為直徑，過C作于D，設，BD=b．（1）分別用表示線段OC，CD；（2）探求OC與CD表達式之間存在的關系（用含a，b的式子表示）．AABCOD●歸納結(jié)論根據(jù)上面的觀察計算、探究證明，你能得出與的大小關系是：_________________________．●實踐應用要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，求出鏡框周長的最小值．【答案】●觀察計算:>，=.…2分ABCABCOD（1），∴…3分AB為⊙O直徑,∴.，，∴∠A=∠BCD.∴△∽△.…4分∴.即,∴.…5分（2）當時,,=；時,,>．…6分●結(jié)論歸納:．………………7分●實踐應用設長方形一邊長為米,則另一邊長為米,設鏡框周長為l米，則≥．……………9分當,即（米）時,鏡框周長最?。藭r四邊形為正方形時,周長最小為4米.………………10分4.（2011山東濟寧，19，6分）如圖，為外接圓的直徑，，垂足為點，的平分線交于點，連接，.(1)求證：；(2)請判斷，，三點是否在以為圓心，以為半徑的圓上？并說明理由.(第19題)(第19題)【答案】（1）證明：∵為直徑，，∴.∴. 3分（2）答：，，三點在以為圓心，以為半徑的圓上. 4分理由：由（1）知：，∴.∵，，，∴.∴. 6分由（1）知：.∴.∴，，三點在以為圓心，以為半徑的圓上. …7分5.（2011山東煙臺，25,12分）已知：AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，E是直線AB上一動點（不與點A、B、G重合），直線DE交⊙O于點F，直線CF交直線AB于點P.設⊙O的半徑為r.（1）如圖1，當點E在直徑AB上時，試證明：OE·OP＝r2（2）當點E在AB（或BA）的延長線上時，以如圖2點E的位置為例，請你畫出符合題意的圖形，標注上字母，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由..A.ABCDE.OG（圖2）ABCDEFP.OG（圖1）【答案】（1）證明：連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ.∵FQ是⊙O直徑，∴∠FDQ＝90°.∴∠QFD＋∠Q＝90°.∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.∴.∴OE·OP＝OF2＝r2.（2）解：（1）中的結(jié)論成立.理由：如圖2，依題意畫出圖形，連接FO并延長交⊙O于M，連接CM.∵FM是⊙O直徑，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝90°.∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE.∴，∴OE·OP＝OF2＝r2.6.（2011寧波市，25，10分）閱讀下面的情境對話，然后解答問題（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？（2）在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtABC是奇異三角形，求a：b：c；（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是上一點（不與點A、B重合），D是半圓eq\o(⌒,ABD)的中點，CD在直徑AB的兩側(cè)，若在⊙O內(nèi)存在點E使得AE＝AD，CB＝CE．eq\o\ac(○,1)求證：ACE是奇異三角形；eq\o\ac(○,2)當ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數(shù)．【答案】解：（1）真命題（2）在RtABC中a2＋b2＝c2，∵c＞b＞a＞0∴2c2＞a2＋b2，2a2＜c2＋b2∴若RtABC是奇異三角形，一定有2b2＝c2＋a2∴2b2＝a2＋（a2＋b2）∴b2＝2a2得：b＝eq\r(,2)a∵c2＝b2＋a2＝3a2∴c＝eq\r(,3)a∴a：b：c＝1：eq\r(,2)：eq\r(,3)(3)eq\o\ac(○,1)∵AB是⊙O的直徑ACBADB＝90°在RtABC中，AC2＋BC2＝AB2在RtADB中，AD2＋BD2＝AB2∵點D是半圓eq\o(⌒,ABD)的中點∴eq\o(⌒,AD)＝eq\o(⌒,BD)∴AD＝BD∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2∴AC2＋CB2＝2AD2又∵CB＝CE，AE＝AD∴AC2＝CE2＝2AE2∴ACE是奇異三角形eq\o\ac(○,2)由eq\o\ac(○,1)可得ACE是奇異三角形∴AC2＝CE2＝2AE2當ACE是直角三角形時由（2）可得AC：AE：CE＝1：eq\r(,2)：eq\r(,3)或AC：AE：CE＝eq\r(,3)：eq\r(,2)：1（Ⅰ）當AC：AE：CE＝1：eq\r(,2)：eq\r(,3)時AC：CE＝1：eq\r(,3)即AC：CB＝1：eq\r(,3)∵∠ACB＝90°∴∠ABC＝30°∴∠AOC＝2∠ABC＝60°(Ⅱ)當AC：AE：CE＝eq\r(,3)：eq\r(,2)：1時AC：CE＝eq\r(,3)：1即AC：CB＝eq\r(,3)：1∵∠ACB＝90°∴∠ABC＝60°∴∠AOC＝2∠ABC＝120°∴∠AOC＝2∠ABC＝120°∴∠AOC的度數(shù)為60°或120°7.（2011浙江麗水，21，8分）如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上一點，以O為圓心，10為半徑作⊙O，分別與∠EPF兩邊相交于A、B和C、D，連結(jié)OA，此時有OA∥PE.（1）求證：AP＝AO；（2）若弦AB＝12，求tan∠OPB的值；（3）若以圖中已標明的點(即P、A、B、C、D、O)構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個點為 ，能構(gòu)成等腰梯形的四個點為 或 或 .【解】（1）∵PG平分∠EPF，∴∠DPO=∠BPO，∵OA//PE，∴∠DPO=∠POA，∴∠BPO=∠POA，∴PA=OA；（2）過點O作OH⊥AB于點H，則AH=HB，∵AB=12，∴AH=6，由（1）可知PA=OA=10，∴PH=PA+AH=16，OH=eq\r(,102－62)=8，∴tan∠OPB=eq\f(OH,PH)=eq\f(1,2)；（3）P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.8.（2011廣東廣州市，25，14分）如圖7，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，點D在線段AC上．（1）證明：B、C、E三點共線；（2）若M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN=eq\r(,2)OM；（3）將△DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）后，記為△D1CE1（圖8），若M1是線段BE1的中點，N1是線段AD1的中點，M1N1=eq\r(,2)OM1是否成立？若是，請證明；若不是，說明理由．ABABCDEMNO圖7ABCD1E1M1ON1圖8【答案】（1）∵AB為⊙O直徑∴∠ACB=90°∵△DCE為等腰直角三角形∴∠ACE=90°∴∠BCE=90°+90°=180°∴B、C、E三點共線．（2）連接BD，AE，ON．∵∠ACB=90°，∠ABC=45°∴AB=AC∵DC=DE∠ACB=∠ACE=90°∴△BCD≌△ACE∴AE=BD，∠DBE=∠EAC∴∠DBE+∠BEA=90°∴BD⊥AE∵O，N為中點∴ON∥BD，ON=eq\f(1,2)BD同理OM∥AE，OM=eq\f(1,2)AE∴OM⊥ON，OM=ON∴MN=eq\r(,2)OM（3）成立證明：同（2）旋轉(zhuǎn)后∠BCD1=∠BCE1=90°－∠ACD1所以仍有△BCD1≌△ACE1，所以△ACE1是由△BCD1繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°而得到的，故BD1⊥AE1其余證明過程與（2）完全相同．9.（2011浙江麗水，24，12分）如圖，在平面直角坐標系中，點A(10，0)，以OA為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點B是該半圓周上的一動點，連結(jié)OB、AB，并延長AB至點D，使DB＝AB，過點D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連結(jié)CF.（1）當∠AOB＝30°時，求弧AB的長；（2）當DE＝8時，求線段EF的長；（3）在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由.【解】(1)連結(jié)BC，∵A(10，0)，∴OA=10，CA=5，∵∠AOB=30°，∴∠ACB=2∠AOB=60°，∴eq\o(⌒,AB)的長=eq\f(60×π×5,180)=eq\f(5π,3)；（2）連結(jié)OD，∵OA是⊙C的直徑，∴∠OBA=90°，又∵AB=BD，∴OB是AD的垂直平分線，∴OD=OA=10，在Rt△ODE中，OE=eq\r(,OD2－DE2)=eq\r(,102－82)=6，∴AE=AO－OE=10－6=4，由∠AOB=∠ADE=90°－∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA，∴eq\f(AE,DE)=eq\f(EF,OE)，即eq\f(4,8)=eq\f(EF,6)，∴EF=3；(3)設OE=x，①當交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，當∠ECF=∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點E為OC的中點，即OE=eq\f(5,2)，∴E1(eq\f(5,2)，0)；當∠ECF=∠OAB時，有CE=5－x，AE=10－x，∴CF//AB，有CF=eq\f(1,2)AB，∵△ECF∽△EAD，∴eq\f(CE,AE)=eq\f(CF,AD)，即eq\f(5－x,10－x)=eq\f(1,4)，解得x=eq\f(10,3)，∴E2(eq\f(10,3)，0)；②當交點E在C的右側(cè)時，∵∠ECF>∠BOA∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，連結(jié)BE，∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，∴BE=AB=BD，∴∠BEA=∠BAO，∴∠BEA=∠ECF，∵CF//BE，∴eq\f(CF,BE)=eq\f(OC,OE)，∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED，∴eq\f(CF,AD)=eq\f(CE,AE)，而AD=2BE，∴eq\f(OC,2OE)=eq\f(CE,AE)，即eq\f(5,2x)=eq\f(x－5,10－x)，解得x1=eq\f(5+5eq\r(,17),4)，x2=eq\f(5－5eq\r(,17),4)<0（舍去），∴E3(eq\f(5+5eq\r(,17),4)，0)；③當交點E在O的左側(cè)時，∵∠BOA=∠EOF>∠ECF∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，連結(jié)BE，得BE=eq\f(1,2)AD=AB，∠BEA=∠BAO，∴∠ECF=∠BEA，∴CF//BE，∴eq\f(CF,BE)=eq\f(OC,OE)，又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED，∴eq\f(CE,AE)=eq\f(CF,AD)，而AD=2BE，∴eq\f(OC,2OE)=eq\f(CE,AE)，∴eq\f(5,2x)=eq\f(x+5,10+x)，解得x1=eq\f(－5+5eq\r(,17),4)，x2=eq\f(－5－5eq\r(,17),4)<0（舍去），∵點E在x軸負半軸上，∴E4(eq\f(5－5eq\r(,17),4)，0)，綜上所述：存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，此時點E坐標為：∴E1(eq\f(5,2)，0)、E2(eq\f(10,3)，0)、E3(eq\f(5+5eq\r(,17),4)，0)、E4(eq\f(5－5eq\r(,17),4)，0).10．（2011江西，21，8分）如圖，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為，點A為弦BC所對優(yōu)弧上任意一點（B，C兩點除外）。⑴求∠BAC的度數(shù)；⑵求△ABC面積的最大值.（參考數(shù)據(jù)：sin60°=，cos30°=，tan30°=.）【答案】（1）過點O作OD⊥BC于點D,連接OA.因為BC=，所以CD==.又OC=2，所以=，即=，所以∠DOC=60°.又OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60°.（2）因為△ABC中的邊BC的長不變，所以底邊上的高最大時，△ABC面積的最大值,即點A是的中點時，△ABC面積的最大值.因為∠BAC=60°，所以△ABC是等邊三角形，在Rt△ADC中，AC=，DC=,所以AD===3.所以△ABC面積的最大值為×3×=3.11.（2011湖南常德，25，10分）已知△ABC，分別以AC和BC為直徑作半圓、P是AB的中點.（1）如圖8，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分別取點E、F，使則有結(jié)論①②四邊形是菱形.請給出結(jié)論②的證明；（2）如圖9，若（1）中△ABC是任意三角形，其它條件不變，則（1）中的兩個結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；（3）如圖10，若PC是的切線，求證：BBD【答案】證明：∵BC是⊙O2直徑，則O2是BC的中點又P是AB的中點.∴PO2是△ABC的中位線∴PO2=AC又AC是⊙O1直徑∴PO2=O1C=AC同理PO1=O2C=BC∵AC=BC∴PO2=O1C=PO1=O2C∴四邊形是菱形結(jié)論①成立，結(jié)論②不成立證明：在（1）中已證PO2=AC，又O1E=AC∴PO2=O1E同理可得PO1=O2F∵PO2是△ABC的中位線∴PO2∥AC∴∠PO2B=∠ACB同理∠PO1A=∠ACB∴∠PO2B=∠PO1A∵∠AO1E=∠BO2F∴∠PO1A+∠AO1E=∠PO2B+∠BO2F即∠PO1E=∠FO2P∴證明：延長AC交⊙O2于點D，連接BD.∵BC是⊙O2的直徑，則∠D=90°，又PC是的切線，則∠ACP=90°，∴∠ACP=∠D又∠PAC=∠BAD，∴△APC∽△BAD又P是AB的中點∴∴AC=CD∴在Rt△BCD中，在Rt△ABD中，∴∴12.（2011江蘇蘇州，26,8分）如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD.（1）弦長AB=________（結(jié)果保留根號）；（2）當∠D=20°時，求∠BOD的度數(shù)；（3）當AC的長度為多少時，以點A、C、D為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似？請寫出解答過程.【答案】解：（1）2.（2）解法一：∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角，∴∠BOD=∠B+∠BCO，∠BCO=∠A+∠D.∴∠BOD=∠B+∠A+∠D.又∵∠BOD=2∠A，∠B=30°，∠D=20°，∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°，∴∠BOD=2∠A=100°.解法二：如圖，連接OA.∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D.又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°，∴∠BOD=2∠DAB=100°.（3）∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D.∴要使△DAC與△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°.此時，∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°.∴△DAC∽△BOC.∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，∴AC=AB=.13.（2011江蘇蘇州，27,8分）已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓，P是半圓上的動點（不與點A、B重合），連接PA、PB、PC、PD.（1）如圖①，當PA的長度等于______時，∠PAB=60°；當PA的長度等于______時，△PAD是等腰三角形；（2）如圖②，以AB邊所在的直線為x軸，AD邊所在的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系（點A即為原點O），把△PAD、△PAB、△PBC的面積分別記為S1、S2、S3.設P點坐標為（a，b），試求2S1S3-S22的最大值，并求出此時a、b的值.【答案】解：（1）2；2或.（2）如圖，過點P分別作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分別為E、F，延長FP交BC于點G，則PG⊥BC.∵P點坐標為（a，b），∴PE=b，PF=a，PG=4-a.在△PAD、△PAB及△PBC中，S1=2a，S2=2b，S3=8-2a，∵AB是直徑，∴∠APB=90°.∴PE2=AE·BE，即b2=a（4-a）.∴2S1S3-S22=4a（8-2a）-4b2=-4a2+16a=-4（a-2）2+16.∴當a=2時，b=2，2S1S3-S22有最大值16.14.（2011江蘇泰州，26，10分）如圖，以點O為圓心的兩個同心圓中，矩形ABCD的邊BC為大圓的弦，邊AD與小圓相切于點M，OM的延長線與BC相交于點N．（1）點N是線段BC的中點嗎？為什么？（2）若圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圓的半徑．【答案】解：(1)N是BC的中點。原因：∵AD與小圓相切于點M，∴OM⊥AD，又AD∥BC，∴ON⊥BC，∴在大圓O中，由垂徑定理可得N是BC的中點．(2)連接OB，設小圓半徑為r，則有ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm,在Rt△OBN中，由勾股定理得OB2=BN2+ON2，即：（r+6）2=(r+5)2+52，解得r=7cm.∴小圓的半徑為7cm.15.（2011四川成都，27,10分）已知：如圖，以矩形ABCD的對角線AC的中點O為圓心，OA長為半徑作⊙0，⊙O經(jīng)過B、D兩點，過點B作BK⊥AC，垂足為K．過D作DH∥KB，DH分別與AC、AB、⊙O及CB的延長線相交于點E、F、G、H．(1)求證：AE=CK； (2)如果AB=，AD=(為大于零的常數(shù))，求BK的長；(3)若F是EG的中點，且DE=6，求⊙O的半徑和GH的長．【答案】解：（1）∵DH∥KB，BK⊥AC，∴DE⊥AC，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠KCB，∴Rt△ADE≌Rt△CBK，∴AE=CK.（2）在Rt△ABC中，AB=，AD=BC=，∴==，∵S△ABC=AB×BC=AC×BK，∴BK===.（3）連線OG，∵AC⊥DG，AC是⊙O的直接，DE=6，∴DE=EG=6，又∵EF=FG，∴EF=3；∵Rt△ADE≌Rt△CBK，∴DE=BK=6，AE=CK，在△ABK中，EF=3，BK=6，EF∥BK，∴EF是△ABK的中位線，∴AF=BF，AE=EK=KC；在Rt△OEG中，設OG=，則OE=，EG=6，，∴，∴.在Rt△ADF≌Rt△BHF中，AF=BF，∵AD=BC，BF∥CD，∴HF=DF，∵FG=EF，∴HF-FG=DF-EF，∴HG=DE=6.16.（2011四川宜賓,23，10分）已知：在△ABC中，以AC邊為直徑的⊙O交BC于點D，在劣弧eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))上到一點E使∠EBC=∠DEC，延長BE依次交AC于G，交⊙O于H．（1）求證：AC⊥BH；（2）若∠ABC=45°，⊙O的直徑等于10，BD=8，求CE的長．（23題圖）（23題圖）【答案】證明：⑴連接AD∵∠DAC=∠DEC∠EBC=∠DEC∴∠DAC=∠EBC又∵AC是⊙O的直徑∴∠ADC=90°∴∠DCA+∠DAC=90°∴∠EBC+∠DCA=90°∴∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90°∴AC⊥BH⑵∵∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45°∴∠BAD=45°∴BD=AD∵BD=8∴AD=8又∵∠ADC=90°AC=10（第23題解答圖）（第23題解答圖）∴由勾股定理，得.∴BC=BD+DC=8+6=14又∵∠BGC=∠ADC=90°∠BCG=∠ACD∴△BCG∽△ACD∴∴∴連接AE，∵AC是直徑∴∠AEC=90°又∵EG⊥AC∴△CEG∽△CAE∴∴∴.17.（2011江西南昌，21，8分）如圖，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為，點A為弦BC所對優(yōu)弧上任意一點（B，C兩點除外）。⑴求∠BAC的度數(shù)；⑵求△ABC面積的最大值.（參考數(shù)據(jù)：sin60°=，cos30°=，tan30°=.）【答案】（1）過點O作OD⊥BC于點D,連接OA.因為BC=，所以CD==.又OC=2，所以=，即=，所以∠DOC=60°.又OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60°.（2）因為△ABC中的邊BC的長不變，所以底邊上的高最大時，△ABC面積的最大值,即點A是的中點時，△ABC面積的最大值.因為∠BAC=60°，所以△ABC是等邊三角形，在Rt△ADC中，AC=，DC=,所以AD===3.所以△ABC面積的最大值為×3×=3.18.（2011上海，21，10分）如圖，點C、D分別在扇形AOB的半徑OA、OB的延長線上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并與弧AB相交于點M、N．（1）求線段OD的長；（2）若，求弦MN的長．【答案】（1）∵CD∥AB，∴∠OAB=∠C，∠OBA=∠D．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∴∠C=∠D．∴OC=OD．∵OA=3，AC=2，∴OC=5．∴OD=5．（2）過點O作OE⊥CD，E為垂足，連接OM．在Rt△OCE中，OC=5，，設OE=x，則CE=2x．由勾股定理得，解得x1=，x2=（舍去）．∴OE=．在Rt△OME中，OM=OA=3，ME===2。∴MN=2ME=4．19.（2011湖北黃岡，22，8分）在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，CD為∠BCA外角的平分線，F(xiàn)為弧AD上一點，BC=AF，延長DF與BA的延長線交于E．⑴求證△ABD為等腰三角形．⑵求證AC?AF=DF?FE

第

第22題圖BAFEDCM【答案】⑴由圓的性質(zhì)知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=∠DAB，故△ABD為等腰三角形．⑵∵∠DBA=∠DAB∴弧AD=弧BD又∵BC=AF∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA∴弧CD=弧DF∴CD=DF再由“圓的內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對角”知∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE②由①②得△DCA∽△FAE∴AC：FE=CD：AF∴AC?AF=CD?FE而CD=DF，∴AC?AF=DF?FE20．（2011廣東茂名，24，8分）如圖，⊙P與軸相切于坐標原點O(0，0)，與軸相交于點A(5，0)，過點A的直線AB與軸的正半軸交于點B，與⊙P交于點C．(1)已知AC＝3，求點Ｂ的坐標；(4分)(2)若AC＝,D是OＢ的中點．問：點O、P、C、D四點是否在同一圓上？請說明理由．如果這四點在同一圓上，記這個圓的圓心為，函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求的值(用含的代數(shù)式表示)．(4分)χ備用圖χ備用圖χ【答案】解：(1)解法一：連接OC，∵OA是⊙P的直徑，∴OC⊥AB，在Rt△AOC中，在Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO＝∠OAB∴Rt△AOC∽Rt△ABO，·∴，即，∴，∴解法二：連接OC，因為OA是⊙P的直徑，∴∠ACO＝90°在Rt△AOC中，AO＝5，AC＝3，∴OC＝4，過C作CE⊥OA于點E，則：，即：，∴，∴∴，設經(jīng)過A、C兩點的直線解析式為：．把點A(5，0)、代入上式得：，解得：，∴，∴點．(2)點O、P、C、D四點在同一個圓上，理由如下：連接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D為OB上的中點，∴，∴∠3＝∠4，又∵OP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∴PC⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD為斜邊的直角三角形，∴PD上的中點到點O、P、C、D四點的距離相等，∴點O、P、C、D在以DP為直徑的同一個圓上；由上可知，經(jīng)過點O、P、C、D的圓心是DP的中點，圓心，由(1)知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴，求得：AB＝，在Rt△ABO中，，OD＝，∴，點在函數(shù)的圖象上，∴，∴．21.（2011廣東肇慶，24，10分）已知：如圖，ABCSKIPIF1<0內(nèi)接于⊙O，ABSKIPIF1<0為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連結(jié)AD．（1）求證：∠DAC＝∠DBA；（2）求證：SKIPIF1<0是線段AF的中點；（3）若⊙O的半徑為5，AF＝，求tan∠ABF的值．ABCDEOFP【答案】(1）∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，∴∠DAC＝∠CBD∴∠DAC＝∠DBA(2）∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°又∵DE⊥AB于點E，∴∠DEB＝90°∴∠ADE+∠EDB＝∠ABD+∠EDB＝90°∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP∴PD＝PA又∵∠DFA+∠DAC＝∠ADE+∠PDF＝90°且∠ADE＝∠DAC∴∠PDF＝∠PFD∴PD＝PF∴PA＝PF即P是線段AF的中點(3）∵∠DAF＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°∴△FDA∽△ADB∴∴在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，即tan∠ABF＝22.（2011內(nèi)蒙古烏蘭察布，21，10分）如圖，在Rt△ABC中,∠ACB＝90°，D是AB邊上的一點，以BD為直徑的⊙0與邊AC相切于點E，連結(jié)DE并延長，與BC的延長線交于點F.(1）求證：BD=BF;(2）若BC=12,AD=8，求BF的長．【答案】⑴連結(jié)OE，則OE⊥AC,所以∠AEO=90°，∠AED=∠CEF,∠ACB＝90°∠CEF+∠F＝90°∠AED+∠OED＝90°∠OED=∠F又因為OD=OE所以∠OED=∠ODE∠ODE=∠FBD=BF⑵Rt△ABC和Rt△AOE中，∠A是公共角所以Rt△ABC∽Rt△AOE，設⊙0的半徑是r，則有求出r=8,所以BF=BD=1623.（2011湖北鄂州，22，8分）在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，CD為∠BCA外角的平分線，F(xiàn)為弧AD上一點，BC=AF，延長DF與BA的延長線交于E．⑴求證△ABD為等腰三角形．⑵求證AC?AF=DF?FE

第

第22題圖BAFEDCM【答案】⑴由圓的性質(zhì)知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=∠DAB，故△ABD為等腰三角形．⑵∵∠DBA=∠DAB∴弧AD=弧BD又∵BC=AF∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA∴弧CD=弧DF∴CD=DF再由“圓的內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對角”知∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE②由①②得△DCA∽△FAE∴AC：FE=CD：AF∴AC?AF=CD?FE而CD=DF，∴AC?AF=DF?FE24.（2010湖北孝感，23，10分）如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，P是上任一點（點P不與點A、B重合）.連AP、BP，過點C作CM∥BP交PA的延長線于點M.（1）填空：∠APC＝度，∠BPC＝度；（2分）（2）求證：△ACM∽△BCP；（4分）（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面積.（4分）【答案】解：（1）60,60；（2）∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC=60.∴∠M=180°－∠BPM=180－（∠APC+∠BPC）=180°－120°=60°.∴∠M=∠BPC=60°.（3）∵ACM≌BCP，∴CM=CP，AM=BP.又∠M=60°，∴△PCM為等邊三角形.∴CM=CP=PM=1+2=3.作PH⊥CM于H.在Rt△PMH中，∠MPH=30°.∴PH=.∴S梯形PBCM=.25.（2011湖北宜昌，21，8分）如圖D是△ABC的邊BC的中點，過AD延長線上的點E作AD的垂線EF，E為垂足，EF與AB的延長線相交于點F，點0在AD上，AO=CO，BC//EF.(1)證明:AB=AC；(2)證明:點0是AABC的外接圓的圓心；(3)當AB=5,BC=6時，連接BE若∠ABE=90°，求AE的長.【答案】解:(1)∵AE⊥EF，EF∥BC，∴AD⊥BC．(1分在△ABD和△ACD中，∵BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD．(或者：又∵BD＝CD，∴AE是BC的中垂線．)(2分)∴AB＝AC．(3分)(2)連BO，∵AD是BC的中垂線，∴BO＝CO．(或者：證全等也可得到BO＝CO．)又AO＝CO，∴AO＝BO＝CO．(4分)∴點O是△ABC外接圓的圓心．(5分)解法1：∵