高考數(shù)學(xué)（理）一輪精選教師用書(shū)人教通用第10章8第8講離散型隨機(jī)變量的均值與方差正態(tài)分布

第8講離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布1．離散型隨機(jī)變量X的均值與方差已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，3，…，n)．均值(數(shù)學(xué)期望)方差計(jì)算公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpnD(X)＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi作用反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度標(biāo)準(zhǔn)差方差的算術(shù)平方根eq\r(D（X）)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b為常數(shù))．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù))．3．兩個(gè)特殊分布的期望與方差分布期望方差兩點(diǎn)分布E(X)＝pD(X)＝p(1－p)二項(xiàng)分布E(X)＝npD(X)＝np(1－p)(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；(3)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(6)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機(jī)變量，它不確定．()(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小．()(3)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ是正態(tài)分布的均值，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差．()(4)一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布．()(5)均值是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無(wú)關(guān)．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)√(5)×已知X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為()A.eq\f(7,3) B．4C．－1 D．1解析：選A.E(X)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq\f(2,3)＋3＝eq\f(7,3).已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝，則P(0＜ξ＜4)＝()A． B．C． D．解析：選A.由P(ξ＜4)，得P(ξ≥4)＝0.2.又正態(tài)曲線關(guān)于x＝2對(duì)稱，則P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝，所以P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.(2017·高考全國(guó)卷Ⅱ)，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX＝________．解析：依題意，X～B(100，)，所以DX＝100××()＝1.96.答案：一個(gè)人將編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同時(shí)就放對(duì)了，否則就放錯(cuò)了．設(shè)放對(duì)個(gè)數(shù)記為ξ，則ξ的期望的值為_(kāi)_______．解析：將四個(gè)不同小球放入四個(gè)不同盒子，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，共有Aeq\o\al(4,4)種不同放法，放對(duì)的個(gè)數(shù)ξ可取的值有0，1，2，4，其中P(ξ＝0)＝eq\f(9,Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(3,8)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)×2,Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,3)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,4)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,24)，E(ξ)＝0×eq\f(3,8)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,24)＝1.答案：1離散型隨機(jī)變量的均值與方差(高頻考點(diǎn))離散型隨機(jī)變量的均值與方差是高考命題的熱點(diǎn)，多以解答題的形式呈現(xiàn)，多為中檔題．高考對(duì)離散型隨機(jī)變量的均值與方差的考查主要有以下兩個(gè)命題角度：(1)古典概型背景下的離散型隨機(jī)變量的均值與方差；(2)與二項(xiàng)分布有關(guān)的均值與方差．[典例引領(lǐng)]角度一古典概型背景下的離散型隨機(jī)變量的均值與方差某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)．已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì)．(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差．【解】(1)由已知，有P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3).所以事件A發(fā)生的概率為eq\f(1,3).(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(4,15)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(4,15).所以隨機(jī)變量X的分布列為X012Peq\f(4,15)eq\f(7,15)eq\f(4,15)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(4,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(4,15)＝1.方差D(X)＝eq\f(4,15)(0－1)2＋eq\f(7,15)(1－1)2＋eq\f(4,15)(2－1)2＝eq\f(8,15).角度二與二項(xiàng)分布有關(guān)的均值與方差(2018·洛陽(yáng)市第一次統(tǒng)一考試)霧霾天氣對(duì)人體健康有傷害，應(yīng)對(duì)霧霾污染、改善空氣質(zhì)量的首要任務(wù)是控制PM，要從壓減燃煤、嚴(yán)格控車、調(diào)整產(chǎn)業(yè)、強(qiáng)化管理、聯(lián)防聯(lián)控、依法治理等方面采取重大舉措，聚焦重點(diǎn)領(lǐng)域，嚴(yán)格考核指標(biāo)．某省環(huán)保部門為加強(qiáng)環(huán)境執(zhí)法監(jiān)管，派遣四個(gè)不同的專家組對(duì)A、B、C三個(gè)城市進(jìn)行治霾落實(shí)情況抽查．(1)若每個(gè)專家組隨機(jī)選取一個(gè)城市，四個(gè)專家組選取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一個(gè)城市沒(méi)有專家組選取的概率；(2)每一個(gè)城市都要由四個(gè)專家組分別對(duì)抽查情況進(jìn)行評(píng)價(jià)，并對(duì)所選取的城市進(jìn)行評(píng)價(jià)，每個(gè)專家組給檢查到的城市評(píng)價(jià)為優(yōu)的概率為eq\f(1,2)，若四個(gè)專家組均評(píng)價(jià)為優(yōu)則檢查通過(guò)不用復(fù)檢，否則需進(jìn)行復(fù)檢．設(shè)需進(jìn)行復(fù)檢的城市的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和期望．【解】(1)隨機(jī)選取，共有34＝81種不同方法，恰有一個(gè)城市沒(méi)有專家組選取的有Ceq\o\al(1,3)(Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,4))＝42種不同方法，故恰有一個(gè)城市沒(méi)有專家組選取的概率為eq\f(42,81)＝eq\f(14,27).(2)設(shè)事件A：“一個(gè)城市需復(fù)檢”，則P(A)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(15,16)，X的所有可能取值為0，1，2，3，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,4096)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up12(2)·eq\f(15,16)＝eq\f(45,4096)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)·eq\f(1,16)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,16)))eq\s\up12(2)＝eq\f(675,4096)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,16)))eq\s\up12(3)＝eq\f(3375,4096).所以X的分布列為X0123Peq\f(1,4096)eq\f(45,4096)eq\f(675,4096)eq\f(3375,4096)X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,16)))，E(X)＝3×eq\f(15,16)＝eq\f(45,16).eq\a\vs4\al()(1)求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的步驟①理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部取值．②求ξ取每個(gè)值的概率．③寫出ξ的分布列．④由均值的定義求E(ξ)．⑤由方差的定義求D(ξ)．(2)二項(xiàng)分布的期望與方差如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量．[提醒]均值E(X)由X的分布列唯一確定，即X作為隨機(jī)變量是可變的，而E(X)是不變的，它描述X取值的平均水平．[通關(guān)練習(xí)]1．體育課的投籃測(cè)試規(guī)則是：一位同學(xué)投籃一次，若投中則合格，停止投籃，若投不中，則重新投籃一次，若三次投籃均不中，則不合格，停止投籃．某位同學(xué)每次投籃命中的概率為eq\f(2,3)，則該同學(xué)投籃次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________．解析：投籃次數(shù)X的可能取值為1，2，3，且P(X＝1)＝eq\f(2,3)，P(X＝2)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(X＝3)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(1,3)))＝eq\f(1,9).隨機(jī)變量X的分布列為X123Peq\f(2,3)eq\f(2,9)eq\f(1,9)所以E(X)＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,9)＝eq\f(13,9).答案：eq\f(13,9)2．(2018·湖北黃岡三月調(diào)研)已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要對(duì)6只小白鼠進(jìn)行病毒DNA化驗(yàn)來(lái)確定哪一只受到了感染．下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定感染病毒的小白鼠為止．方案乙：將6只小白鼠分為兩組，每組三只，將其中一組的三只小白鼠的待化驗(yàn)物質(zhì)混合在一起化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果顯示含有病毒DNA，則表明感染病毒的小白鼠在這三只當(dāng)中，然后逐個(gè)化驗(yàn)，直到確定感染病毒的小白鼠為止；若化驗(yàn)結(jié)果顯示不含病毒DNA，則在另外一組中逐個(gè)進(jìn)行化驗(yàn)．(1)求執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的概率；(2)若首次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)為10元，第二次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)為8元，第三次及以后每次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)都是6元，求方案甲所需化驗(yàn)費(fèi)的分布列和期望．解：(1)執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的情況分兩種：第一種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果顯示不含病毒DNA，再?gòu)牧硪唤M中任取一只進(jìn)行化驗(yàn)，其恰含有病毒DNA，此種情況的概率為eq\f(Ceq\o\al(3,5),Ceq\o\al(3,6))×eq\f(1,Ceq\o\al(1,3))＝eq\f(1,6)，第二種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果顯示含病毒DNA，再?gòu)闹兄饌€(gè)化驗(yàn)，恰好第一只含有病毒，此種情況的概率為eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(3,6))×eq\f(1,Ceq\o\al(1,3))＝eq\f(1,6).所以執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的概率為eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,3).(2)設(shè)用方案甲化驗(yàn)需要的化驗(yàn)費(fèi)為η(單位：元)，則η的可能取值為10，18，24，30，36.P(η＝10)＝eq\f(1,6)，P(η＝18)＝eq\f(5,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,6)，P(η＝24)＝eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,6)，P(η＝30)＝eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，P(η＝36)＝eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，則化驗(yàn)費(fèi)η的分布列為η1018243036Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,3)所以E(η)＝10×eq\f(1,6)＋18×eq\f(1,6)＋24×eq\f(1,6)＋30×eq\f(1,6)＋36×eq\f(1,3)＝eq\f(77,3)(元)．均值與方差的實(shí)際應(yīng)用[典例引領(lǐng)](2018·廣西三市第一次聯(lián)考)某公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個(gè)面試方案：應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，按照題目要求獨(dú)立完成．規(guī)定：至少正確完成其中2道題的便可通過(guò)．已知6道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應(yīng)聘者乙每道題正確完成的概率都是eq\f(2,3)，且每道題正確完成與否互不影響．(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)請(qǐng)分析比較甲、乙兩人誰(shuí)面試通過(guò)的可能性大？【解】(1)設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為1，2，3.P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)；P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)；P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(0,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).應(yīng)聘者甲正確完成題數(shù)ξ的分布列為ξ123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)E(ξ)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2.設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為η，則η的可能取值為0，1，2，3.P(η＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,27)；P(η＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(6,27)；P(η＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(12,27)；P(η＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27).應(yīng)聘者乙正確完成題數(shù)η的分布列為η0123Peq\f(1,27)eq\f(6,27)eq\f(12,27)eq\f(8,27)E(η)＝0×eq\f(1,27)＋1×eq\f(6,27)＋2×eq\f(12,27)＋3×eq\f(8,27)＝2.(或因?yàn)棣恰獴(3，eq\f(2,3))，所以E(η)＝3×eq\f(2,3)＝2)(2)因?yàn)镈(ξ)＝(1－2)2×eq\f(1,5)＋(2－2)2×eq\f(3,5)＋(3－2)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5)，D(η)＝3×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).所以D(ξ)＜D(η)．綜上所述，從做對(duì)題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考查，兩人水平相當(dāng)；從做對(duì)題數(shù)的方差考查，甲較穩(wěn)定；從至少完成2道題的概率考查，甲面試通過(guò)的可能性大．eq\a\vs4\al()均值與方差的實(shí)際應(yīng)用(1)D(X)表示隨機(jī)變量X對(duì)E(X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平均偏離程度越大，說(shuō)明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，統(tǒng)計(jì)中常用eq\r(D（X）)來(lái)描述X的分散程度．(2)隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定．(2018·長(zhǎng)沙市統(tǒng)一模擬考試)張老師開(kāi)車上班，有路線①與路線②兩條路線可供選擇．路線①：沿途有A，B兩處獨(dú)立運(yùn)行的交通信號(hào)燈，且兩處遇到綠燈的概率依次為eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，若A處遇紅燈或黃燈，則導(dǎo)致延誤時(shí)間2分鐘；若B處遇紅燈或黃燈，則導(dǎo)致延誤時(shí)間3分鐘；若兩處都遇綠燈，則全程所花時(shí)間為20分鐘．路線②：沿途有a，b兩處獨(dú)立運(yùn)行的交通信號(hào)燈，且兩處遇到綠燈的概率依次為eq\f(3,4)，eq\f(2,5)，若a處遇紅燈或黃燈，則導(dǎo)致延誤時(shí)間8分鐘；若b處遇紅燈或黃燈，則導(dǎo)致延誤時(shí)間5分鐘；若兩處都遇綠燈，則全程所花時(shí)間為15分鐘．(1)若張老師選擇路線①，求他20分鐘能到校的概率；(2)為使張老師日常上班途中所花時(shí)間較少，你建議張老師選擇哪條路線？并說(shuō)明理由．解：(1)走路線①，20分鐘能到校意味著張老師在A，B兩處均遇到綠燈，記該事件發(fā)生的概率為P，則P＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).(2)設(shè)選擇路線①的延誤時(shí)間為隨機(jī)變量ξ，則ξ的所有可能取值為0，2，3，5.則P(ξ＝0)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝5)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋5×eq\f(1,6)＝2.設(shè)選擇路線②的延誤時(shí)間為隨機(jī)變量η，則η的所有可能取值為0，8，5，13.則P(η＝0)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,5)＝eq\f(6,20)，P(η＝8)＝eq\f(1,4)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,20)，P(η＝5)＝eq\f(3,4)×eq\f(3,5)＝eq\f(9,20)，P(η＝13)＝eq\f(1,4)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,20).η的數(shù)學(xué)期望E(η)＝0×eq\f(6,20)＋8×eq\f(2,20)＋5×eq\f(9,20)＋13×eq\f(3,20)＝5.因此選擇路線①平均所花時(shí)間為20＋2＝22分鐘，選擇路線②平均所花時(shí)間為15＋5＝20分鐘．所以為使張老師日常上班途中所花時(shí)間較少，建議張老師選擇路線②.正態(tài)分布[典例引領(lǐng)](1)(2018·長(zhǎng)春質(zhì)檢)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1，σ2)，若P(X＞2)，則P(0≤X≤1)＝()A． B．C． D．(2)已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3，6)內(nèi)的概率為()(附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%【解析】(1)P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X＞2)＝0.35.(2)由正態(tài)分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)≈7，P(－6＜ξ＜6)≈5，故P(3＜ξ＜6)＝eq\f(P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3）,2)＝eq\f57,2)＝9%，故選B.【答案】(1)C(2)Beq\a\vs4\al()正態(tài)分布下的概率計(jì)算常見(jiàn)的兩類問(wèn)題(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問(wèn)題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，及曲線與x軸之間的面積為1.(2)利用3σ原則求概率問(wèn)題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個(gè)．[通關(guān)練習(xí)]1．若X～N(5，1)，則P(3＜X＜4)＝()A．5 B．3C．4 D．9解析：選D.依題意得P(3＜X＜4)＝eq\f(1,2)P(3＜X＜7)－eq\f(1,2)P(4＜X＜6)＝eq\f(1,2)×5－eq\f(1,2)×79.2．(2018·福建省畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè))若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，且P(X>5)＝P(X<－1)，則P(2<X<5)＝________．解析：因?yàn)殡S機(jī)變量X～N(μ，σ2)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱．又P(X>5)＝P(X<－1)，所以μ＝eq\f(5－1,2)＝2，所以P(2<X<5)＝P(X>2)－P(X>5)＝0.5－0.2＝0.3.答案：eq\a\vs4\al()隨機(jī)變量的均值、方差與樣本的平均值、方差的關(guān)系隨機(jī)變量的均值、方差是常數(shù)，它們不依賴于樣本的抽取，而樣本的平均值、方差是隨機(jī)變量，它們隨著樣本的不同而變化．期望與方差的一般計(jì)算步驟(1)理解X的意義，寫出X的所有可能取的值；(2)求X取各個(gè)值的概率，寫出分布列；(3)根據(jù)分布列，正確運(yùn)用期望與方差的定義或公式進(jìn)行計(jì)算．若X服從正態(tài)分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正態(tài)曲線的關(guān)于直線X＝μ對(duì)稱和曲線與x軸之間的面積為1的性質(zhì)．易錯(cuò)防范(1)E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定．隨機(jī)變量X是可變的，可取不同的值，而E(X)是不變的，它描述X取值的平均狀態(tài)．(2)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度，其中標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身具有相同的單位．(3)方差也是一個(gè)常數(shù)，它不具有隨機(jī)性，方差的值一定是非負(fù)的．1．罐中有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)X為取得紅球的次數(shù)，則X的方差D(X)的值為()A.eq\f(12,5) B.eq\f(24,25)C.eq\f(8,5) D.eq\f(2\r(6),5)解析：選B.因?yàn)槭怯蟹呕氐孛颍悦看蚊?試驗(yàn))摸得紅球(成功)的概率均為eq\f(3,5)，連續(xù)摸4次(做4次試驗(yàn))，X為取得紅球(成功)的次數(shù)，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3,5)))，所以D(X)＝4×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(24,25).2．某校在高三第一次模擬考試中約有1000人參加考試，其數(shù)學(xué)考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，即X～N(100，a2)(a＞0)，試卷滿分為150分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)不及格(低于90分)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的eq\f(1,10)，則此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?00分到110分(包含100分和110分)之間的人數(shù)約為()A．400 B．500C．600 D．800解析：選A.P(X＜90)＝P(X＞110)＝eq\f(1,10)，P(90≤X≤110)＝1－eq\f(1,10)×2＝eq\f(4,5)，P(100≤X≤110)＝eq\f(2,5)，1000×eq\f(2,5)A.3．(2017·高考浙江卷)已知隨機(jī)變量ξi滿足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0＜p1＜p2＜eq\f(1,2)，則()A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)解析：選A.根據(jù)題意得，E(ξi)＝pi，D(ξi)＝pi(1－pi)，i＝1，2，因?yàn)?<p1<p2<eq\f(1,2)，所以E(ξ1)<E(ξ2)．令f(x)＝x(1－x)，則f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調(diào)遞增，所以f(p1)<f(p2)，即D(ξ1)<D(ξ2)，故選A.4．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ－101Peq\f(1,2)eq\f(1,6)eq\f(1,3)那么ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝________，設(shè)η＝2ξ＋1，則η的數(shù)學(xué)期望E(η)＝________．解析：由離散型隨機(jī)變量的期望公式及性質(zhì)可得，E(ξ)＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＝－eq\f(1,6)，E(η)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))＋1＝eq\f(2,3).答案：－eq\f(1,6)eq\f(2,3)5．有10張火車票，其中3張是臥鋪，其他是硬座，從這10張火車票中任取兩張，用ξ表示取到臥鋪的張數(shù)，則E(ξ)等于________．解析：ξ服從超幾何分布P(ξ＝x)＝eq\f(Ceq\o\al(x,3)Ceq\o\al(2－x,7),Ceq\o\al(2,10))(x＝0，1，2)．所以P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,7),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(21,45)＝eq\f(7,15)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(21,45)＝eq\f(7,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15).所以E(ξ)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)6．袋中有20個(gè)大小相同的球，其中標(biāo)上0號(hào)的有10個(gè)，標(biāo)上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1，2，3，4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(hào)．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值．解：(1)X的分布列為X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5.D(X)＝()2×eq\f(1,2)＋()2×eq\f(1,20)＋()2×eq\f(1,10)＋()2×eq\f(3,20)＋()2×eq\f(1,5)＝2.75.(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×＝11，即a＝±2.又E(Y)＝aE(X)＋b，所以當(dāng)a＝2時(shí)，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.當(dāng)a＝－2時(shí)，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4.))7．(2018·合肥市第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))某公司在迎新年晚會(huì)上舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，有甲、乙兩個(gè)抽獎(jiǎng)方案供員工選擇．方案甲：?jiǎn)T工最多有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率均為eq\f(4,5).第一次抽獎(jiǎng)，若未中獎(jiǎng)，則抽獎(jiǎng)結(jié)束．若中獎(jiǎng)，則通過(guò)拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)．規(guī)定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎(jiǎng)金，不進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)；若正面朝上，員工則須進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)，且在第二次抽獎(jiǎng)中，若中獎(jiǎng)，則獲得獎(jiǎng)金1000元；若未中獎(jiǎng)，則所獲得的獎(jiǎng)金為0元．方案乙：?jiǎn)T工連續(xù)三次抽獎(jiǎng)，每次中獎(jiǎng)率均為eq\f(2,5)，每次中獎(jiǎng)均可獲得獎(jiǎng)金400元．(1)求某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(元)的分布列；(2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)，哪個(gè)方案更劃算？解：(1)X的可能取值為0，500，1000.P(X＝0)＝eq\f(1,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＝eq\f(7,25)，P(X＝500)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,5)，P(X＝1000)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,25)，所以某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(元)的分布列為X05001000Peq\f(7,25)eq\f(2,5)eq\f(8,25)(2)由(1)可知，選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X的期望E(X)＝500×eq\f(2,5)＋1000×eq\f(8,25)＝520，若選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)次數(shù)ξ～B(3，eq\f(2,5))，則E(ξ)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5)，抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X的期望E(X)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，故選擇方案甲較劃算．1．為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額．(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求：①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望．(2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說(shuō)明理由．解：(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X.①依題意，得P(X＝60)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為eq\f(1,2).②依題意，得X的所有可能取值為20，60.P(X＝20)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，P(X＝60)＝eq\f(1,2)，即X的分布列為X2060Peq\f(1,2)eq\f(1,2)所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝20×eq\f(1,2)＋60×eq\f(1,2)＝40(元)．(2)根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元．所以，先尋找期望為60元的可能方案．對(duì)于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10，10，10，50)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50，50，50，10)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，記為方案1.對(duì)于面值由20元和40元組成的情況，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，記為方案2.以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析：對(duì)于方案1，即方案(10，10，50，50)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1，則X1的分布列為X12060100Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)X1的期望為E(X1)＝20×eq\f(1,6)＋60×eq\f(2,3)＋100×eq\f(1,6)＝60，X1的方差為D(X1)＝(20－60)2×eq\f(1,6)＋(60－60)2×eq\f(2,3)＋(100－60)2×eq\f(1,6)＝eq\f(1600,3).對(duì)于方案2，即方案(20，20，40，40)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2，則X2的分布列為X2406080Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)X2的期望為E(X2)＝40×eq\f(1,6)＋60×eq\f(2,3)＋80×eq\f(1,6)＝60，X2的方差為D(X2)＝(40－60)2×eq\f(1,6)＋(60－60)2×eq\f(2,3)＋(80－60)2×eq\f(1,6)＝eq\f(400,3).由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望都符合要求，但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.2．(2017·高考全國(guó)卷Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm