電磁場及電磁波課后習題及

電磁場與電磁波課后習題解答給定三個矢量A、B和C以下：Aexey2ez3Bey4ezCex5ez2求：（1）aA；（2）AB；（3）AB；（4）AB；（5）A在B上的重量；（6）AC；（7）A(BC)和(AB)C；（8）(AB)C和A(BC)。解（1）aAAexey2ez3ex1ey2ez3A1222(3)2141414（2）AB(exey2ez3)(ey4ez)exey6ez453（3）AB(exey2ez3)(ey4ez)－11（4）由cosABAB1111，得ABcos1(11)135.5AB1417238238（5）A在B上的重量ABAcosAB11ABB17exeyez（6）AC123ex4ey13ez10502exeyez（7）因為BC041ex8ey5ez20502exeyezAB123ex10ey1ez4041所以A(BC)(exey2ez3)(ex8ey5ez20)42(AB)C(ex10ey1ez4)(ex5ez2)42exeyez（8）(AB)C1014ex2ey40ez5502

1

exeyezA(BC)123ex55ey44ez118520三角形的三個極點為P1(0,1,2)、P2(4,1,3)和P3(6,2,5)。（1）判斷PP12P3能否為向來角三角形；（2）求三角形的面積。解（1）三個極點P(0,1,2)、P2(4,1,3)和P3(6,2,5)的地點矢量分別為1r1eyez2，r2ex4eyez3，r3ex6ey2ez5則R12r2r1ex4ez，R23r3r2ex2eyez8，R31r1r3ex6eyez7因而可知R12R23(ex4ez)(ex2eyez8)0故PP12P3為向來角三角形。（2）三角形的面積S1R12R231R12R231176917.13222求P(3,1,4)點到P(2,2,3)點的距離矢量R及R的方向。解rPex3eyez4，rPex2ey2ez3，則RPPrPrPex5ey3ez且RPP與x、y、z軸的夾角分別為xcos1(exRPP)cos1(5)32.31RPP35cos1eyRPP)cos1(3120.47y()RPP35zcos1(ezRPP)cos1(1)99.73RPP35給定兩矢量Aex2ey3ez4和Bex4ey5ez6，求它們之間的夾角和上的重量。解A與B之間的夾角為ABcos1(AB)cos1(31)131AB2977A在B上的重量為ABAB313.532B77給定兩矢量Aex2ey3ez4和Bex6ey4ez，求AB在Cex的重量。

A在B

eyez上

2

exeyez解AB234ex13ey22ez10641所以AB在C上的重量為(AB)C(AB)C2514.43C3證明：假如ABAC和ABAC，則BC；解由ABAC，則有A(AB)A(AC)，即(AB)A(AA)B(AC)A(AA)C因為ABAC，于是獲得(AA)B(AA)C故BC假如給定一未知矢量與一已知矢量的標量積和矢量積，那么便能夠確立該未知矢量。設A為一已知矢量，pAX而PAX，p和P已知，試求X。解由PAX，有APA(AX)(AX)A(AA)XpA(AA)X故得pAAPXAA(4,2在圓柱坐標中，一點的地點由,3)定出，求該點在：（1）直角坐標中的坐標；（2）球坐標中的坐標。3解（1）在直角坐標系中x4cos(23)2、y4sin(23)23、z3故該點的直角坐標為(2,23,3)。（2）在球坐標系中r225、tan1(43)53.1、2312043故該點的球坐標為(5,53.1,120)用球坐標表示的場Eer25，r2（1）求在直角坐標中點(3,4,5)處的E和Ex；（2）求在直角坐標中點(3,4,5)處E與矢量Bex2ey2ez組成的夾角。解（1）在直角坐標中點(3,4,5)處，r2(3)242(5)250，故Eer251r22ExexEEcosrx133225220（2）在直角坐標中點(3,4,5)處，rex3ey4ez5，所以2525rex3ey4ez5Er3102r2

3

故E與B組成的夾角為

EBcos1(EB)cos1(19(102))153.6EB32球坐標中兩個點(r1,1,1)和(r2,2,2)定出兩個地點矢量R1和R2。證明R1和R2間夾角的余弦為coscos1cos2sin1sin2cos(12)解由R1exr1sin1cos1eyr1sin1sin1ezr1cos1R2exr2sin2cos2eyr2sin2sin2ezr2cos2獲得cosR1R2R1R2sin1cos1sin2cos2sin1sin1sin2sin2cos1cos2sin1sin2(cos1cos21sin1sin2)cos1cos2sin1sin2cos(12)cos1cos2一球面S的半徑為5，球心在原點上，計算：S(er3sin)dS的值。(er3sin)dS(er3sin)erdS2解d3sin52sind752SS00在由r5、z0和z4圍成的圓柱形地區(qū)，對矢量Aerr2ez2z考證散度定理。解在圓柱坐標系中A1(rr2)(2z)3r242r5rz所以Addzd(3r2)rdr1200000又AdS(err2ez2z)(erdSredSezdSz)SS4252525ddz24rdrd12000000故有Ad1200AdSS求（1）矢量Aexx2eyx2y2ez24x2y2z3的散度；（2）求A對中心在原點的一個單位立方體的積分；（3）求A對此立方體表面的積分，考證散度定理。解（1）A(x2)(x2y2)(24x2y2z3)2x2x2y72x2y2z2xyz（2）A對中心在原點的一個單位立方體的積分為1212121Ad(2x2x2y72x2y2z2)dxdydz12121224（3）A對此立方體表面的積分4

1212(1)2dydz12121)2dydzAdS(S121221212212122x2(1)2dxdz12122x2(1)2dxdz1212212122121224x2y2(1)3dxdy12121)3dxdy124x2y2(121221212224故有Ad1AdS24S計算矢量r對一個球心在原點、半徑為a的球表面的積分，并求r對球體積的積分。2aa2sina3解rdSrerdSdd4SS00又在球坐標系中，r1(r2r)3，所以r2r2ard3r2sindrdd4a3000求矢量Aexex2ey2z沿xy平面上的一個邊長為2的正方形回路的線積分，此xyz正方形的兩邊分別與x軸和y軸相重合。再求A對此回路所包圍的曲面積分，考證斯托克斯定理。22222dy2解Adlxdxxdx0dy8C0000exeyez又Axyzex2yzez2xxx2y2z22所以AdS(ex2yzez2x)ezdxdy8S00故有Adl8AdSCS求矢量Aexxeyxy2沿圓周x2y2a2的線積分，再計算A對此圓面積的積分。Adlxdxxy2dy22422a4解(asinCCcossinacos)d40AyAx)ezdSa2a4AdSy2dSr2sin2rddrez(xSSyS004證明：（）R3；（2）R0；（3）(AR)A。此中Rexxeyyezz，A15為一常矢量。解（1）xyzRy3xzexeyez（2）Rxy0zxyy（3）設AexAxeyAyezAz，則ARAxxAyyAzz，故(AR)exx(AxxAyyAzz)eyy(AxxAyyAzz)ez(AxxAyyAzz)exAxeyAyezAzAzf(r)會有什么特色呢？一徑向矢量場Ferf(r)表示，假如F0，那么函數(shù)解在圓柱坐標系中，由

可獲得

F1d[rf(r)]0rdr

在球坐標系中，由

可獲得

f(r)CC為隨意常數(shù)。rF1d[r2f(r)]0Cr2drf(r)r2給定矢量函數(shù)Eexyeyx，試求從點P1(2,1,1)到點P2(8,2,1)的線積分Edl：（1）沿拋物線xy2；（2）沿連結該兩點的直線。這個E是守舊場嗎？解（1）EdlExdxEydyydxxdyCCC22yd(2y2)2y2dy6y2dy1411（2）連結點P(2,1,1)到點P2(8,2,1)直線方程為1x2x8即x6y40y1y222故EdlExdxEydyyd(6y4)(6y4)dy(12y4)dy14CC11因而可知積分與路徑?jīng)]關，故是守舊場。求標量函數(shù)x2yz的梯度及在一個指定方向的方導游數(shù)，此方向由單位矢量ex3ey4ez5定出；求(2,3,1)點的方導游數(shù)值。5050506

解222exx(xyz)eyy(xyz)ezz(xyz)ex2xyzeyx2zezx2yz故沿方向elex3ey4ez5的方導游數(shù)為5050r50rel6xyz4x2z5x2yl505050rz點(2,3,1)處沿el的方導游數(shù)值為z361660112oyl50505050Ayx試采納與推導直角坐標中AAxAz相xyz題圖似的方法推導圓柱坐標下的公式A1(rAr)AAz。rrrz解在圓柱坐標中，取小體積元如題圖所示。矢量場A沿er方向穿出該六面體的表面的通量為zzzzrArrr(rr)drdArrrdrdzz[(rr)Ar(rr,,z)rAr(r,,z)]z(rAr)rz1(rAr)rrr同理rrzzrrzzAdrdzAdrdzrzrz[A(r,,z)A(r,,z)]rArzAzrrrrrzAzzzrdrdAzzrdrdrr[Az(r,,zz)Az(r,,z)]rrzAzrrzAzA穿出該六面體的表面的通量為zz所以，矢量場ΨΨrΨΨz[1(rAr)AAz]rrrz故獲得圓柱坐標下的散度表達式Alim1(rAr)AAzrrrz0

7方程ux2y2z2給出一橢球族。求橢球表面上隨意點的單位法向矢量。a2b2c22x2y2z解因為uexa2eyb2ezc2u2(x2)2(y2)2(z2)2abc故橢球表面上隨意點的單位法向矢量為uxyznu(exa2eyb2ezc2)現(xiàn)有三個矢量A、B、C為Aersincosecos

(x)2(y)2(z)2a2b2c2cosesinBerz2sinez2cosez2rzsin

Cex(3y22x)eyx2ez2z

（1）哪些矢量能夠由一個標量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量能夠由一個矢量函數(shù)的旋度表

示？

2）求出這些矢量的源散布。解（1）在球坐標系中

A1(r2Ar)1(sinA)1Ar2rrsinrsin1(r2sincos)1(sincoscos)1(sin)r2rrsinrsin2coscos2sincoscos0sinrsinrrsinrerrersine1Arr2sinArrArsinAerrersine10r2sinrsincosrcoscosrsinsin故矢量A既能夠由一個標量函數(shù)的梯度表示，也能夠由一個矢量函數(shù)的旋度表示；在圓柱坐標系中1(rBr1BBzB=)zrrr

81(rz2sin)1(z2cos)(2rzsin)rrrzz2sinz2sin2rsin2rsinrrerreezerreez110BrzrrzrBrrBBzz2sinrz2cos2rzsin故矢量B能夠由一個標量函數(shù)的梯度表示；直角在座標系中C=CxCyCzxyz(3y22x)(x2)(2z)0xyzexeyezCxyzez(2x6y)3y22xx22z故矢量C能夠由一個矢量函數(shù)的旋度表示。（2）這些矢量的源散布為A0，A0；B=2rsin，B0；C0，Ce(2x6y)z利用直角坐標，證明(fA)fAAf解在直角坐標中fAAff(AxAyAz)(AxfAyfAzfxyzxy)z(fAxAxAyAyf)(fAzAzf)f)(fxxyyzz(fAx)(fAy)(fAz)(fA)xyz證明(AH)HAAH解依據(jù)算子的微分運算性質，有(AH)A(AH)H(AH)式中A表示只對矢量A作微分運算，H表示只對矢量H作微分運算。9

由a(bc)c(ab)，可得A(AH)H(AA)H(A)同理H(AH)A(HH)A(H)故有(AH)HAAH利用直角坐標，證明(fG)fGfG解在直角坐標中fGf[ex(GzGyGxGz)ezGyGx)]y)ey(zx(yzxfG[ex(GzfGyf)ey(GxfGzf)ez(GyfGxf)]yzzxxy所以ffGfGex[(Gzyfey[(Gxzfez[(Gyx(fGz)ex[

(fGy)ez[x

fGz)(GyffGy)]yzzfGx)(GzffGz)]zxxfGy)(GxffGx)]xyy(fGy)ey[(fGx)(fGz)]z]zx(fGx)](fG)y

利用散度定理及斯托克斯定理能夠在更廣泛的意義下證明(u)