三角函數(shù)經(jīng)典練習(xí)題

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1．在直角三角形中，兩銳角為A、B，則BAsinsin（B）A．有最大值

2

1和最小值0B．有最大值

2

1，但無(wú)最小值

C．既無(wú)最大值也無(wú)最小值

D．有最大值1，但無(wú)最小值

提示：AAABA2sin2

1cossinsinsin=

=，注意到角度的取值范圍，因此選B．

2．已知集合{|cossin02}Eθθθθπ=θ，由9

5cossin2)cos(sin22222=

-+θθθθ，解得

9

82sin

2

=

θ，取算術(shù)根即得，因此選A．10．使得3

3)3

2tan(=+π

x成立，且∈x)20[π，的x個(gè)數(shù)是（B）

A．5

B．4

C．3

D．2

提示：函數(shù)tan(2)3

yxπ

=+的周期為

2

π

，所以在4個(gè)周期長(zhǎng)的區(qū)間里使3

3)32tan(=

+π

x的x必有

4個(gè)，因此選B．

11．若α是第三象限的角，且25

24sin-=α，則=2

tan

α

（D）

A．

3

4B．

4

3C．4

3-

D．3

4-

提示：25

7cos-

=α，α

αααααcos1sin2

cos

22cos

2

sin22

tan

2

+=

=

，代入求得，因此選D．

12．當(dāng)2

2

π

π

≤

≤-x時(shí)，函數(shù)xxxfcos3sin)(+=的（D）

A．最大值是1，最小值是1-

B．最大值是1，最小值是2

1-

C．最大值是2，最小值是2-

D．最大值是2，最小值是1-

提示：)3

sin(2)(π+=xxf，且2

2

π

π≤≤-x，因此選D．

13．函數(shù)xxy2cos)23

sin(+-=π

的最小正周期是（B）

A．

2

π

B．π

C．π2

D．π4

提示：用誘導(dǎo)公式．和．差角公式得12

cos

)122cos(22cos)6

2cos(π

π

π

+

=++=xxxy，因此選B．

14．已知點(diǎn)P（αααtancossin，-）在第一象限，則在]20[π，內(nèi)α的取值范圍是（B）

A)45()432(

ππππ

，，B．)45()24(ππππ，，C．)2345()432(ππππ，，D．)4

3()24(ππ

ππ，，

提示：0tancossin>>ααα，

，且在指定范圍內(nèi)，利用三角函數(shù)線分析，選B．15．若)2

2

(cottansinπ

απααα>，則∈α（B）

A．)4

2

(π

π

-

-

，B．)04

(，π

-

C．)4

0(π

，

D．)2

4(

π

π，

提示：即在)02

(，π

-

內(nèi)ααcottan>，因此選B．

16．已知βαsinsin>，這么下列命題成立的是（D）

A．若βα、是第一象限的角，則βαcoscos>

B．若βα、是第二象限的角，則βαtantan>

C．若βα、是第三象限的角，則βαcoscos>

D．若βα、是第四象限的角，則βαtantan>

提示：當(dāng)βα、是第四象限的角時(shí)，由已知可設(shè)112απα-=k，212kβπβ=-，其中

1102

π

αβ，即βαtantan>，因此選D．

17．函數(shù)x

xycossin21

++=

的最大值是（B）

A．12

2-

B．12

2+C．2

21-D．2

21--

提示：)

4

sin(221

π

+

+

=

xy，因此選B．

18．設(shè)βα、是一具鈍角三角形的兩個(gè)銳角，下列四個(gè)別等式中別正確的是（D）A1tantan+βα

D．

2

tan

)tan(2

1β

αβα++-+?

+=-+-+βαβαβαβαβα，因此選D．

19．振動(dòng)量)3

2

sin(3π

+

=xy的周期．振幅依次是（A）

A．34，

πB．34-，πC．3，

πD．3-，

π

提示：由概念知振幅為3，由2

1

2π

得周期，因此選A．

20．若A．B是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則點(diǎn)P)cossinsin(cosABAB--，在（B）A．第一象限B．第二象限C．第三象限

D．第四象限

提示：2

π

>+BA，∴

02

2

>->

>ABπ

π

，∴AABcos)2

sin(

sin=->π

，同理BAcossin>，

因此選B．21．若4

0π

βα

B．ba+AA，則角A的取值范圍是（C）A．)4

0(π

，

B．)2

4

(π

π，

C．)4

32

(π

π，

D．)4

3(

ππ，

提示：已知0)cos1(tanω，則其中的（A）A．10152==A，πωB．10215==A，πω

C．1715

22==

A，ω

D．1715

2==

A，πω

提示：A=10，轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率為15

1=f（圈/秒），∴周期151==

f

T，而ω

π

2=

T，故得．

35．函數(shù))0)(cos()sin()(>++=ωφωφωxxxf以2為最小正周期，且能在x=2時(shí)取最大值，則φ的一具值

是（A）A．4

3π-

B．4

5π-

C．4

7π

D．

2

π

提示：)22sin(21)(φω+=xxf，且222=ω

π，∴2

π

ω=

，反代即得．

36．函數(shù)2

2sin=x是1tan=x成立的（D）

A．充分而別必要條件

B．必要而別充分條件

C．充要條件

D．既別充分又別必要條件

提示：注意角的取值范圍變化．

37．函數(shù)2

5cos32cos2

1+

-=xxy的最小值為（B）

A．2

B．0

C．

4

1D．4

1-

提示：2

5cos3)1cos

2(212

+

--=xxy，∴2cos3cos2+-=xxy，且1|cos|≤x．

38．將函數(shù)))(6

sin(Rxxy∈+

=π

的圖像上所有的點(diǎn)向左平行挪移4

π

個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖像上各點(diǎn)的橫坐

標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)別變），則所得到的解析式為（B）A．)12

52sin(π+

=xyB．)12

52sin(

π+=xyC．)12

2sin(

π

-

=xyD．)24

52

sin(

π+

=xy

提示：左移得)6

4

sin(π

π

+

+

=xy，即)12

5sin(π+=xy，再將x變?yōu)?

x．

39．函數(shù)44

()tan(cossin

)2

2

xxfxx=-的最小正周期是（A）

A．2π

B．π

C．

2

π

D．

4

π

提示：()tancossin(,)2

fxxxxxkkZπ

π==≠+

∈，選A．

40．已知,1)cos(,3

1sin-=+=βαα則=+)2sin(βα_______．

[答案]3

1-

提示：)](sin[)2sin(βααβα++=+．

41．設(shè)xxtsincos+=，若0cossin33-t

t，∴03

t；綜合得02-=bxbay的最大值為

2

3，最小值為2

1-

，求函數(shù)bxay3sin4-=的單調(diào)區(qū)間、最

大值和最小正周期．

[解答]由已知條件得???

????

-=-=+；

，212

XXXaba解得?????==；，121ba∴xy3sin2-=，

其最大值為2，最小正周期為32π，

在區(qū)間[3

26

326π

ππ

π

kk+

+

-，]（Zk∈）上是增函數(shù)，

在區(qū)間[

3

22

326

πππ

π

kk++

，]（Zk∈）上是減函數(shù)．

47．已知,3

2

tan,3

1tan-

==βα求

β

αβαβα2

2

cos

sin)

sin()sin(-+的值．

[解答]利用和角、差角公式展開(kāi)，并借助分式的性質(zhì)，

分子分母同除以βα22coscos可得

原式＝

α

β

αβ

αβαβα2

2

22

2

2

2

tantan

tancos

sin)

sin(cos)cossin-=

-（＝1)2(1)3

1

32

(

1)

tantan

(122

2

-=--=-

-=-α

β

．

48．已知βαtan,tan是方程0342=--mxx的兩個(gè)根．（1）證明關(guān)于任意實(shí)數(shù)m，都有βαβαcoscos4)cos(=+；（2）若32)tan(2-=+mβα，求實(shí)數(shù)m的值．[解答]（1）3tantan,4tantan-==+βαβαm，

3cossincossin,

4cossincossin-=?=+∴β

βα

αβ

βα

αm，

即

βαβαβ

αα

ββαcoscos3sinsin,4coscoscossincossin-==+m，

βαβαβαβαβαcoscos4sinsincoscos,coscos4)sin(=-=+m，

即βαβαcoscos4)cos(=+；

（2）由（1）可得m=+)tan(βα，∴mm=-322，

即0322=--mm，∴1-=m，或2

3=

m．

49．已知Raaxxxf∈++=.(2sin3cos2)(2為常數(shù)）

（1）若，Rx∈求)(xf的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若]2

0[π

，∈x時(shí)，)(xf最大值為4，求a的值．

[解答]（1）1)6

2sin(22sin32cos1)(+++=+++=axaxxxfπ

，

當(dāng)時(shí)，2

26

222π

ππ

π

π+

≤+

≤-

kxk為單調(diào)增函數(shù)

)(xf，

即當(dāng))(6

3

xfkxk時(shí)，π

ππ

π+

≤≤-

為單調(diào)增函數(shù)，同理，當(dāng)為單調(diào)減函數(shù)

時(shí)，＋)(3

26

xfkxkπππ

π+≤≤；

（2）當(dāng)1,412)(6

=∴=++=

aaxfx有最大值時(shí)，π

．

50．如圖扇形AOB的半徑為1，中心角為060，PQRS是扇形的內(nèi)接矩形，咨詢P在怎么樣位置時(shí)，矩形PQRS

的面積最大？并求出那個(gè)最大值．[解答]設(shè)∠)60,0((,00∈=xxAOP)，

則0

60cotsincos,sinxxRSxPS-==，

xxxxxS2

sin

332sin2

1sin)60cotsin(cos-

=-=∴

6

3

)2sin(3

32

2cos1332sin2

1-

+=

--

=φxxx，

其中3

3tan=

φ，因此當(dāng),9020=+φx即030=x時(shí)S有最大值

6

333-

．

51．判定函數(shù)?

?

??

?-+=xxysinsin1log

2

2

1的奇偶性，并求函數(shù)的最值．

[解析]推斷函數(shù)的奇偶性，先看定義域，然后考查f(x)同f(-x)是否具有相等或相反的關(guān)系，為方便運(yùn)算，常常依照題目本身的特點(diǎn)而轉(zhuǎn)化，為考查)()(xfxf-±是否為0，甚至也可考查)(xf與)(xf-的比值，觀看本題的特點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)，別妨先考查)

()(xfxf+-,求最值時(shí)若注意到sinx的有界性以及函數(shù)

的單調(diào)性，則最值易求：

函數(shù)?

?

??

?-+=xxxfsinsin1log

)(2

2

1的定義域?yàn)镽,又?

?

??

?++=+

-xxxfxfsinsin1log

)()(2

2

1＋

.01log

sinsin1log

2

12

2

1==??

??

?-+xx

.)(),()(為奇函數(shù)即函數(shù)xfxfxf-=-∴令],1,1[sin-∈=xt

上是單調(diào)遞減函數(shù)，

在是單調(diào)遞減函數(shù)

]1,1[1,log

2

2

1--+=

=tt

uuy

??

???-+=tty2

2

11log

則在[-1,1]上是增函數(shù)．()(

)1

2log12log12

2

1

max+=-==∴yt

時(shí)，當(dāng),

(

)

(

)1

2log

12log

12

2

1min-=+=-=yt時(shí)，當(dāng)．

[點(diǎn)評(píng)]（1）函數(shù)定義域?qū)τ谠c(diǎn)對(duì)稱是判定函數(shù)奇偶性的必要條件；

（2）要掌握利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值的辦法．

52．已知函數(shù)()().,0,2

sin

22

5sin2

1πθθ

θθ∈+-

=

f

（1）將()θf(wàn)表示為θcos的多項(xiàng)式；

（2）求曲線kky+=θcos與()θf(wàn)y=至少有一具公共點(diǎn)的實(shí)數(shù)k的取值．（注)sin4sin33sin:3θθθ-=．

[解析]這是一道帶指令性的三角形咨詢題，欲()θf(wàn)為對(duì)于θcos的多項(xiàng)式，必須思考去分母，這就需要在做出一定變換之后，可以約分，注意到

,22

2

5,

32

2

5,

2

2

θθ

θθθ

θθθ

θ

=-

=+

=+

有下列解法：

（1）

()θ

θθθθθθθ

θ

θsin225sin225sin21212

cos

2sin22cos25sin21???????????-+?????++

-=+-=f()θθθsin2sin3sin2121++-

θ

θθ

θ

θ

θθcossin22

32

1sin2cossin2sin4sin32

12

3

+-+

-

=+-+

-

=?

()

;1coscos2coscos1212

2

-+=+--=θθθθ

（2）令()()1,1,,0,cos-∈∈=ttπθθ

.122

-+=+ttkkt

()()tktkt

,01122

=+--+∴＝-1（舍），或.2

1+=

kt

則－1＜

2

1+k＜1，－3＜k＜1．

[點(diǎn)評(píng)]第（1）咨詢的求解方程別止上面給出的一種，還能夠嘗試通分后用和差化積變分子的辦法去做；而第（2）咨詢也能夠由一元二次方程的實(shí)根分布理論來(lái)指導(dǎo)求解．

53．如圖，在矩形ABCD中，1AB=

，BC=，此矩形沿地面上向來(lái)線滾動(dòng)，在滾動(dòng)過(guò)程中始終與地

面垂直，設(shè)直線BC與地面所成角為θ，矩形周旁邊最高點(diǎn)離地面的距離為()fθ．求：

（1）θ的取值范圍；（2）()fθ的解析式；（3）()fθ