【新教材】2022學年高中數(shù)學人教A版必修第二冊課時作業(yè)6.2.1　向量的加法運算

課時作業(yè)2向量的加法運算時間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))等于(A)A．eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\o(DB,\s\up6(→))C．eq\o(BD,\s\up6(→)) D．eq\o(CB,\s\up6(→))解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋0＝eq\o(BC,\s\up6(→)).故選A．2．(多選)如圖，△ABC中，AD，BE，CF分別是BC，CA，AB上的中線，它們交于點G，則下列各等式中正確的是(ACD)A．eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))B．eq\o(DG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up6(→))C．eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))D．eq\o(CG,\s\up6(→))＝－2eq\o(FG,\s\up6(→))解析：由題意可知G為△ABC的重心，由三角形重心的性質(zhì)可知eq\o(DG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(GA,\s\up6(→))顯然成立，故B錯誤．選項A，C，D都成立．3．若向量a表示向東走1km，向量b表示向南走1km，則向量a＋b表示(A)A．向東南走eq\r(2)km B．向東南走2kmC．向東北走eq\r(2)km D．向東北走2km解析：如圖所示，a＋b表示向東南方向走eq\r(2)km.故選A．4．已知下列各式：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))；②(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))；④eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)).其中結(jié)果為0的個數(shù)是(B)A．1 B．2C．3 D．4解析：由向量加法的運算法則知①④的結(jié)果為0.故選B．5．在平行四邊形ABCD中，若|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD是(B)A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不確定解析：依題意，平行四邊形ABCD中，|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|，則平行四邊形ABCD的兩條對角線相等．故四邊形ABCD為矩形．故選B．6．a(chǎn)、b為非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則(A)A．a(chǎn)∥b，且a與b方向相同B．a(chǎn)、b是共線向量C．a(chǎn)＝－bD．a(chǎn)、b無論什么關(guān)系均可解析：當兩個非零向量a與b不共線時，a＋b的方向與a、b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|；向量a與b同向時，a＋b的方向與a、b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量a與b反向且|a|<|b|時，a＋b的方向與b的方向相同(與a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.二、填空題7．如圖，在平行四邊形ABCD中：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).8．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，則|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1.解析：由題知△ABD為等邊三角形，所以|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1.9．若|a|＝|b|＝1，則|a＋b|的取值范圍為[0,2]，當|a＋b|取得最大值時，向量a，b的方向相同．解析：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知0≤|a＋b|≤2.當|a＋b|取得最大值時，向量a，b的方向相同．三、解答題10.如圖所示，P，Q是△ABC的邊BC上兩點，且BP＝QC．求證：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→)).證明：因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))，而由題知eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(QC,\s\up6(→))，所以eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＋(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→)).11．長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸．現(xiàn)有一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.(1)試用向量表示水速、船速及船實際航行的速度；(2)求船實際航行的速度的大小與方向(用與水速之間的夾角表示，精確到度)．解：(1)如圖所示，eq\o(AD,\s\up6(→))表示船速，eq\o(AB,\s\up6(→))表示水速，以AD，AB為鄰邊作平行四邊形ABCD，則eq\o(AC,\s\up6(→))表示船實際航行的速度．(2)在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2km/h，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝5km/h，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋52)＝eq\r(29)km/h.因為tan∠CAB＝2.5，由計算器得∠CAB≈68°.所以船實際航行速度的大小為eq\r(29)km/h，方向與水速間的夾角約為68°.——能力提升類——12．如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，若AB＝1，則|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|等于(B)A．1 B．2C．3 D．2eq\r(3)解析：由正六邊形知eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2.故選B．13．已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|a|＝3，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，則|a＋b|＝3eq\r(3).解析：如圖，∵|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝3，∴平行四邊形OACB為菱形．連接OC、AB，則OC⊥AB，設(shè)垂足為D．∵∠AOB＝60°，∴AB＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝3.∴在Rt△BDC中，CD＝eq\f(3\r(3),2).∴|a＋b|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(3\r(3),2)×2＝3eq\r(3).14．已知△ABC是正三角形，給出下列等式：①|(zhì)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))|；②|eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|；③|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|；④|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))|.其中正確的有①③④.(寫出所有正確等式的序號)解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，而|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|，故①正確；|eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|，故②不正確；畫圖(圖略)可知③正確；|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|，|eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))|，故④正確．15.如圖，已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC、AC、AB的中點．求證：eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.證明：由題意知：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)).由平面幾何可知：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→)).∴eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→)))＋(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6