第十章動量矩定理

第十一章動量矩定理第一節(jié)動量矩的概念第二節(jié)轉(zhuǎn)動慣量第三節(jié)動量矩定理

第四節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程第五節(jié)質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理第六節(jié)剛體平面運動微分方程

本章重點1.轉(zhuǎn)動慣量的計算2.動量矩守衡3.剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程4.剛體平面運動微分方程第一節(jié)動量矩的概念一、質(zhì)點的動量矩動量mv對固定點O的動量矩為LO

=r

mv動量矩:物體機械運動強度的度量。質(zhì)量為m的質(zhì)點，t時刻速度為v，動量矩的量綱為dimL=ML2T－1。在國際單位制中，動量矩的單位為kg·m2／s在直角坐標(biāo)系中動量矩可表為:(mv)xyM1A1動量對過O點任一軸的矩為:LOl

=lo·(r

mv)[MO(mv)]z=

Mz(mv)

對z軸的動量矩二、質(zhì)點系的動量矩質(zhì)點系動量對固定點O的動量矩質(zhì)點系對固定軸z的動量矩，

z軸過O點，[LO]z

＝Lz三、剛體的動量矩1、剛體平動2、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動

Jz稱為剛體對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量。

3、剛體平面運動取通過質(zhì)心的平面圖形，將平面運動分解為隨質(zhì)心的平動加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，平面圖形對垂直于運動平面的固定軸的動量矩：CvC2.質(zhì)點系的絕對運動對動質(zhì)心的動量矩OxyzcxyzrircriMiLc=Lci=

ri

miviri=rc+rivi=vc+vriLO

=

ri

mivi=(rc+ri)

mivi=

rc

mivi+

ri

mivi=rc

P+Lc3.質(zhì)點系的相對運動對動質(zhì)心的動量矩Lcr

=Lcri=ri

mivriLc

=ri

mivi=

ri

mi(vc+vri)=(miri

)vc+ri

mivri

=LcrLO

=

rc

P+Lc=rc

P+Lcr當(dāng)rc

P

時,LO

=Lc

=Lcr第二節(jié)轉(zhuǎn)動慣量一、轉(zhuǎn)動慣量的定義

剛體對某軸z的轉(zhuǎn)動慣量Jz等于剛體內(nèi)各質(zhì)點的質(zhì)量與該質(zhì)點到軸z的距離平方的乘積之和。

rimi

質(zhì)量連續(xù)分布時轉(zhuǎn)動慣量的量綱dimJ＝ML2，常用單位為kg·m2二、回轉(zhuǎn)半徑

令轉(zhuǎn)動慣量為三、平行軸定理求轉(zhuǎn)動慣量可用方法：1、積分法；2、組合法；3、負質(zhì)量法；4、實驗法。四、轉(zhuǎn)動慣量的計算例10-1均質(zhì)細長桿長為l，質(zhì)量為m。試求(1)桿件對于過質(zhì)心C且與桿的軸線相垂直的z軸的轉(zhuǎn)動慣量；(2)桿件對于過桿端A且與z軸平行的z1軸的轉(zhuǎn)動慣量；(3)桿件對于z軸和z1軸的回轉(zhuǎn)半徑。ClAB解：桿的線密度zxdx1.求對z軸的轉(zhuǎn)動慣量取微段，其質(zhì)量為2.求對z1軸的轉(zhuǎn)動慣量z13.求桿件對于z軸和z1軸的回轉(zhuǎn)半徑。ClABzz1例10-2

半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)薄圓盤，試求圓盤對于過中心O且與圓盤平面相垂直的z軸的轉(zhuǎn)動慣量。解圓盤的面密度為

取圓盤上一半徑為r，寬度為dr的細圓環(huán)回轉(zhuǎn)半徑例10-3

沖擊擺擺桿長l，質(zhì)量為m1，擺盤質(zhì)量為m2，半徑為R，試求擺對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：設(shè)擺桿和擺盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量為J1、J2

挖去一半徑為的圓，試求其對于通過A的軸的轉(zhuǎn)動慣量。例10-4

半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤，在離圓心處解：設(shè)兩個圓盤的質(zhì)量分別為m1、m2，對軸A的轉(zhuǎn)動慣量為JA1、JA2，

第三節(jié)動量矩定理、質(zhì)點動量矩定理質(zhì)點對固定點O的動量矩對時間求一階導(dǎo)數(shù)根據(jù)質(zhì)點的動量定理

因此得將矢量式向過O點的固定軸投影：

2、動量矩定理涉及到的量和動量定理相同。固定點O處常注意：1、點O為固定點，v為絕對速度。有未知的約束反力，用動量矩定理解題可求得運動量。二、質(zhì)點系動量矩定理設(shè)質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，取其中第i個質(zhì)點來考察，將作用根據(jù)質(zhì)點的動量矩定理和外力于該質(zhì)點上的力分為內(nèi)力i=1，2，3，…，n求和交換求和及求導(dǎo)的次序

將式向直角坐標(biāo)軸投影，

2、內(nèi)力不影響質(zhì)點系的動量矩。注意：1、包含力偶矩；三、動量矩守恒1、質(zhì)點動量矩守恒r、v組成的平面的方位不變。，（1）F過點O，稱為有心力，=常矢量。

F和軸z共面，=常數(shù)2、質(zhì)點系的動量矩守恒，LO＝常矢量。（1），Lz＝常量。（2）

用質(zhì)點系動量矩定理解題的方便在于（1）內(nèi)力不出現(xiàn)；(2）對未知外力通過的轉(zhuǎn)軸用動量矩定理，可方便地求運動量，常用于求解含單個繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的系統(tǒng)問題。解題步驟同動量定理。例10-5鼓輪重W，半徑為R，通過繩子懸掛一重W1的物體。在鼓輪作用一力偶M，試求重物上升的加速度。MWW1va4、用動量矩定理求解。解得解：

1、取質(zhì)點系為研究對象；2、作出受力圖；3、運動分析：重物作平動，鼓輪繞定軸轉(zhuǎn)動；例11-7

離心調(diào)速器的水平桿AB長為2a，可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動，其兩端各用鉸鏈與長為l的桿AC及BD相連，桿端各聯(lián)接重為W的小球C和D。起初兩小球用細線相連，使桿AC與BD均為鉛。如某瞬時此細線拉斷后，桿AC垂，系統(tǒng)繞z軸的角速度為θ角，不計各桿重量，求此時系統(tǒng)的角速度。與BD各與鉛垂線成4、系統(tǒng)動量矩守恒。解：

1、取質(zhì)點系為研究對象；2、作出受力圖；3、運動分析：小球作圓周運動；WWF1xF2xF1yF2yF1zF1x

第四節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程繞定軸轉(zhuǎn)動剛體對z軸的動量矩為

注意：1、剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程為一標(biāo)量方程，可解一個未知數(shù)?？汕蠼舛ㄝS轉(zhuǎn)動剛體兩類問題。2、轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時慣性的度量。3、α、ω、MZ(F)符號的規(guī)定應(yīng)一致。4、剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程適用于單個繞定軸轉(zhuǎn)動剛體。例11-8復(fù)擺的質(zhì)量為m，質(zhì)心為C，擺對懸點的轉(zhuǎn)動慣量為JO。求復(fù)擺微幅擺動的周期T。解：

1、取復(fù)擺為研究對象；2、作出受力圖；復(fù)擺微幅擺動時，有

4、建立定軸轉(zhuǎn)動微分方程3、運動分析：復(fù)擺繞定軸轉(zhuǎn)動；討論：1.此微分方程的解為2.測出零部件的擺動周期后，可計算出它的轉(zhuǎn)動慣量。

例11-9齒輪傳動系統(tǒng)，嚙合處兩齒輪的半徑分別為r1=0.2m和軸I上作用有主動力矩，軸II上有阻力矩轉(zhuǎn)向如圖所示。設(shè)各處的摩擦忽略不計，試求軸I的角加速度及r2=0.4m，對軸I、II的轉(zhuǎn)動慣量分別為兩輪間的切向壓力Ft。M2M1M1o1F1xF1yW1FtFrM2Fr’Ft’F2xF2yW2o2解：

1、取輪Ⅰ、Ⅱ為研究對象；2、作出受力圖；M2M14、建立定軸轉(zhuǎn)動微分方程聯(lián)立求解，得α1α23、運動分析：輪Ⅰ、Ⅱ繞定軸轉(zhuǎn)動；例11-10

均質(zhì)桿OA長l，質(zhì)量為m，其O端用鉸鏈支承，A端用細繩

解：

1、取桿為研究對象（一）用應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程求角加速度3、運動分析：桿繞定軸轉(zhuǎn)動懸掛。試求將細繩突然剪斷瞬時，鉸鏈O的約束反力。2、畫受力圖在該瞬時，角速度ω=0，但角加速度（二）應(yīng)用質(zhì)心運動定理求O處的反力

第五節(jié)質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點系中各質(zhì)點對質(zhì)心C的動量矩為：

一、質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩LO

=

rc

P+Lc=rc

P+Lcr二、質(zhì)點系對固定點O的動量矩：三、質(zhì)點系相對質(zhì)心動量矩定理三、質(zhì)點系對質(zhì)心動量矩守恒，LC＝常矢量

動量矩定理成立的點：1、固定點；2、質(zhì)心；3、加速度始終指向或背離質(zhì)心的點（常為速度瞬心）。第六節(jié)剛體平面運動微分方程剛體的平面運動可分解為隨質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。剛體相對于質(zhì)心的動量矩為：剛體的平面運動可用質(zhì)心運動定理和相對于質(zhì)心的動量矩定理描述：將質(zhì)心運動定理向

x，y

軸投影，剛體平面運動微分方程：例10-11

半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓輪沿水平直線純滾動。設(shè)輪的回轉(zhuǎn)半徑為ρC，作用于圓輪上的力偶矩為M，圓輪與地面靜摩擦因數(shù)為f。求（1）輪心的加速度；（2）地面對圓輪的約束力；（3）使圓輪只滾不滑的力偶矩M的大小。解：

1、取圓輪為研究對象；2、作圓輪的受力圖；4、建立平面運動微分方程。WCMaCrFNFα3、運動分析：圓輪作平面運動；在純滾動（即只滾不滑）的條件下，有WCMaCrFNFαxy解得圓輪只滾不滑的條件為F≤fFN

即WCMaCrFNFαWCMaCrFNFαA本例可用相對于瞬心A的動量矩定理求aC例10-12

均質(zhì)直桿AB長l，質(zhì)量為M，靜止于光滑水平面上如圖所示。若突然把繩OA剪斷，求此瞬時點B的加速度和桿AB的角加速度。

ABCO解：

1、取桿為研究對象；2、作桿的受力圖；4、建立平面運動微分方程。3、運動分析：桿作平面運動；剪斷繩OA的瞬時，角速度為零。FNWaCα×聯(lián)立(1)(2)(3)式得:-m=FN-mg

(1)(2)ACOFNW×aCαaBCaCaB對AB桿進行運動分析aB=aC+aBC0=

+(3)y向y軸投影：aB=aC+aBC向x軸投影：ACOFNW×aCαaBCaCaByx解得：例10-13

質(zhì)量為M長為l的均質(zhì)桿AB用等長的細繩懸掛靜止如圖所示.若突然把繩O2B剪斷,求此瞬時繩O1A的拉力T為多少.O1O2ABC解：

1、取桿為研究對象；2、作桿的受力圖；4、建立平面運動微分方程。3、運動分析：桿作平面運動；剪斷繩O2B的瞬時，角速度為零。×FTmgaCαO1O2ABC×FTmgaCα聯(lián)立(1)(2)(3)式得:(1)(2)y對桿進行運動分析：aC

=aA+aCA=(3)把上式向y軸投影得:aAaA例題10-14

均質(zhì)圓柱體O和C的質(zhì)量均為M，半徑相等。圓柱O可繞通過點O的水平軸轉(zhuǎn)動。一繩繞在圓柱O上，繩的另一端繞在圓柱C上。求圓柱下落時，其質(zhì)心C

的角加速度及AB段繩的拉力。OCAB解（一）用相對于固定點O的動量矩定理求解2、作受力圖；4、對于固定點O寫出的動量矩定理。3、運動分析：圓柱O作定軸轉(zhuǎn)動，圓柱C作平面運動；mgmgvAvBvBvCBωOωC1、取系統(tǒng)為研究對象；FOyFOxLo=Loo+Loc系統(tǒng)對固定點O的動量矩：OCABmgmgvAvBvBvCBωOωCFOyFOxOCAB

分別取兩圓柱為研究對象畫受力圖。其中FA

=FB

=FFAFBmgFOymg

FAR

=mR2αO/2=FR

(2)FBR

=mR2αC/2=FR

(3)αO=αC解得αC=2g/5RFOx取圓柱O為研究對象建立定軸轉(zhuǎn)動微分方程

FAR

=mR2αO/2解得:FA=0.2mgOAFAmgFOαOFOxOCABFAFBmgFOymgFOx

分別取兩圓柱為研究對象畫受力圖，其中FA

=FB

=F

FAR

=mR2αO/2=FR

(1)FBR

=mR2αC/2