2020-2021高中數(shù)學(xué)人教版第二冊學(xué)案：8.6.2 第2課時直線與平面垂直的性質(zhì)含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精新教材2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊學(xué)案：8.6.2第2課時直線與平面垂直的性質(zhì)含解析第2課時直線與平面垂直的性質(zhì)[目標(biāo)]1.記住直線與平面垂直的性質(zhì)定理，并能應(yīng)用定理解決有關(guān)問題；2.會求直線到平面的距離．［重點]直線與平面垂直的性質(zhì)定理及應(yīng)用、直線到平面的距離．[難點］直線與平面垂直的性質(zhì)定理的理解．要點整合夯基礎(chǔ)知識點一直線與平面垂直的性質(zhì)定理［填一填］1．文字語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行．簡記為：若線面垂直，則線線平行．2．符號語言：eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(a⊥α，b⊥α））?b∥a.3．圖形語言：[答一答］1．兩條平行線中的一條垂直于一個平面,另一條也垂直于這個平面嗎？提示:垂直．因為兩條平行線中的一條垂直于這個平面,所以這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，所以另一條直線也垂直于這兩條相交直線,故另一條也垂直于這個平面．2．分別垂直于兩個平行平面的兩條直線是否平行？提示：平行．因為一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面的平行平面，所以這兩條直線垂直于同一個平面,所以這兩條直線平行．3．垂直于同一條直線的兩平面平行嗎？提示：平行．如右圖，過直線l作兩個平面，分別與兩個平面α，β相交于a，a′，b,b′,∵l⊥α，∴l(xiāng)⊥a，l⊥b.∵l⊥β，∴l(xiāng)⊥a′，l⊥b′.∴a∥a′，b∥b′。又a與b相交，a′與b′相交,∴α∥β?！啻怪庇谕粭l直線的兩個平面平行．知識點二直線到平面的距離[填一填]1．直線與平面平行，則直線上任意一點到平面的距離都相等，一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點這個到平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離．2．如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．［答一答]4．如果兩個平面平行，則如何求這兩個平面間的距離？提示：將這兩個平面間的距離轉(zhuǎn)化為其中一個面上的一個點到另一個平面的距離.典例講練破題型類型一線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用[例1]如圖，正方體A1B1C1D1。ABCD中，EF與異面直線AC、A1D都垂直相交．求證：EF∥BD1[分析]要證明EF∥BD1，轉(zhuǎn)化為證明EF⊥平面AB1C，BD1⊥平面AB1[證明]如圖所示，連接AB1，B1C，BD.因為DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD所以DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D,所以AC⊥平面BDD1.又BD1?平面BDD1，所以AC⊥BD1.同理可證BD1⊥B1C又AC∩B1C＝C所以BD1⊥平面AB1C因為EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，所以EF⊥B1又AC∩B1C＝C,所以EF⊥平面AB1所以EF∥BD1.若已知一條直線和某個平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個平面垂直，證明時注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì)。[變式訓(xùn)練1]如圖，四棱柱ABCD。A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD,AB＝AA1＝eq\r(2）。證明：A1C⊥平面BB1D1D證明：因為A1O⊥平面ABCD，所以A1O⊥BD。又底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，因為AC∩A1O＝O，所以BD⊥平面A1OC，所以BD⊥A1C又OA1是AC的中垂線，所以A1A＝A1C＝eq\r（2），且AC＝2，所以AC2＝AAeq\o\al(2，1）＋A1C2，所以△AA1C所以AA1⊥A1C又BB1∥AA1,所以A1C⊥BB1，因為BB1∩BD＝B所以A1C⊥平面BB1D1D類型二直線到平面的距離［例2]正方體ABCD。A1B1C1C1(1)直線A1A到平面B1BCC1（2）直線A1A到平面D1DBB1[解］(1)∵A1A∥平面B1BCC1∵A1B1⊥平面B1BCC1，∴直線A1A到平面B1BCC1的距離等于線段A1B1∵A1B1＝a，∴直線A1A到平面B1BCC1的距離等于a（2)連接A1C1，B1D1，BD，A1C1與B1D1交于點O1，如圖．A1A∥平面D1∵A1O1⊥平面D1DBB1，∴直線A1A到平面D1DBB1的距離等于線段A1O1的長，∵A1O1＝eq\f（\r(2），2)a，∴直線A1A到平面D1DBB1的距離為eq\f(\r（2）,2）a。求直線到平面的距離，前提是該直線和平面平行，在該直線上合理找點，過該點作出平面的垂線，即將線面距離轉(zhuǎn)化為點面距離.[變式訓(xùn)練2］如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB＝2，AD＝1，A1（1）證明：直線BC1平行于平面D1AC（2）求直線BC1到平面D1AC解：（1)證明：因為ABCD。A1B1C1D1故AB∥C1D1,AB＝C1D1，故四邊形ABC1D1為平行四邊形，故BC1∥AD1，顯然B不在平面D1AC上，于是直線BC1平行于平面D1（2）直線BC1到平面D1AC的距離即為點B到平面D1AC的距離，設(shè)為考慮三棱錐D1-ABC的體積，以平面ABC為底面，可得V＝eq\f（1，3)×(eq\f(1，2)×1×2）×1＝eq\f(1,3），而△AD1C中,AC＝D1C＝eq\r(5)，AD1＝eq\r（2)，cos∠ACD1＝eq\f(4，5)，sin∠ACD1＝eq\f(3,5），故S△AD1C＝eq\f(1,2）×eq\r（5）×eq\r（5)×eq\f(3，5）＝eq\f(3,2).所以,V＝eq\f(1，3)×eq\f（3,2)×h＝eq\f(1,3)，故h＝eq\f(2，3)，即直線BC1到平面D1AC的距離為eq\f（2,3）。課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．已知直線a，b，平面α，且a⊥α,下列條件中，能推出a∥b的是(C）A．b∥α B．b?αC．b⊥α D．b∩α＝A2．下列命題正確的是(A）①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α）)?b⊥α；②eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α）)?a∥b；③eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1(a⊥α，a⊥b)）?b∥α;④eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（a∥α，a⊥b)）?b⊥α.A．①②B．①②③C．②③④D．①②④解析：由線面垂直的性質(zhì)定理可得①②正確．3．如圖，線段AB在平面α的同側(cè),A、B到α的距離分別為3和5，則AB的中點到α的距離為4.解析：如圖，設(shè)AB的中點為M，分別過A、M、B向α作垂線，垂足分別為A1、M1、B1，則由線面垂直的性質(zhì)可知，AA1∥MM1∥BB1，連接A1B1，則四邊形AA1B1B為直角梯形,AA1＝3，BB1＝5，MM1為其中位線,∴MM1＝4。4．如圖，在三棱錐P.ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC＝90°，F(xiàn)是AC的中點,E是PC上的點，且EF⊥BC，則eq\f（PE,EC)＝1。解析：在三棱錐P-ABC中，因為PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面PAC.因為EF?平面PAC，所以EF⊥AB，因為EF⊥BC，BC∩AB＝B,所以EF⊥平面ABC，所以PA∥EF,因為F是AC的中點，E是PC上的點，所以E是PC的中點，所以eq\f（PE，EC）＝1。5．正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)面均為直角三角形，則此三棱錐的體積是eq\f(\r(2),3）。解析：設(shè)三棱錐為P.ABC,由已知得PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC.又PB⊥PC，PB＝PC，BC＝2,∴PB＝PC＝eq\r(2).∴VP。ABC＝VA.PBC＝eq\f（1，3）PA·S△PBC＝eq\f(1,3）×eq\r（2）×eq\f（1,2)×eq\r(2）×eq\r(2）＝eq\f（\r(2），3)?！菊n須掌握的兩大問題1．直線與平面垂直的性質(zhì)定理是線線、線面垂直以及線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化的橋梁,因此必須熟練掌握這些定理，并能靈活地運用它們．2．判定線面垂直的方法主要有以下四種：①直線與平面垂直的定義：一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，則這條直線和這個平面垂直．②直線和平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線和這個平面垂直．③直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于同一平面,eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（a∥