高數(shù)導(dǎo)數(shù)公式

高數(shù)導(dǎo)數(shù)公式第一頁，共29頁。另外還有反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：第二頁，共29頁。定理2.1

設(shè)函數(shù)

u(x)、v(x)在x處可導(dǎo)，在x

處也可導(dǎo)，(u(x)v(x))=u(x)v(x);(u(x)v(x))=u(x)v(x)+

u(x)v(x);導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算且則它們的和、差、積與商第三頁，共29頁。推論

1

(cu(x))

=cu(x)(c為常數(shù)).推論

2乘法法則的推廣：第四頁，共29頁。補(bǔ)充例題：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解根據(jù)推論1可得(3x4)=3(x4)，(5cosx)=5(cosx)，(cosx)=-sinx，(ex)=ex，(1)=0，故f(x)=(3x4

-ex+5cosx-1)=(3x4)

-(ex)+(5cosx)

-(1)=12x3

-ex-5sinx.f(0)=(12x3-ex-5sinx)|x=0=-1又(x4)=4x3，

例

1設(shè)f(x)=3x4–ex

+5cosx-1，求f(x)及f(0).

第五頁，共29頁。例

2設(shè)y=xlnx

，求y.解根據(jù)乘法公式，有y=(xlnx)=x(lnx)+(x)lnx第六頁，共29頁。解根據(jù)除法公式，有例

3設(shè)求y.第七頁，共29頁。教材P32例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解：

第八頁，共29頁。

高階導(dǎo)數(shù)如果可以對函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)再求導(dǎo)，所得到的一個新函數(shù)，稱為函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作f(x)或y或如對二階導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)，則稱三階導(dǎo)數(shù)，記作f(x)或四階或四階以上導(dǎo)數(shù)記為y(4)，y(5)，·

·

·，y(n)或·

·

·

，

而把f(x)

稱為f(x)的一階導(dǎo)數(shù).第九頁，共29頁。例3求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)解：二階以上的導(dǎo)數(shù)可利用后面的數(shù)學(xué)軟件來計算第十頁，共29頁。

推論

設(shè)

y=f(u)，u=(v)，v=(x)均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)

y=f[((x))]也可導(dǎo)，第十一頁，共29頁。以上法則說明：復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù).第十二頁，共29頁。第十三頁，共29頁。第十四頁，共29頁。先將要求導(dǎo)的函數(shù)分解成基本初等函數(shù),或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求出.

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵:正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).求導(dǎo)方法小結(jié)：第十五頁，共29頁。第十六頁，共29頁。例5：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）（2）（3）（4）第十七頁，共29頁。第十八頁，共29頁。第十九頁，共29頁。第二十頁，共29頁。第二十一頁，共29頁。

二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法求對自變量(或)的偏導(dǎo)數(shù)時,只須將另一自變量(或)看作常數(shù),直接利用一元函數(shù)求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算法則進(jìn)行計算.例1設(shè)函數(shù)求解：

第二十二頁，共29頁。例2設(shè)函數(shù)解：類似可得第二十三頁，共29頁。

二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)z=f(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)一般說來仍然是x,y

的函數(shù)，如果這兩個函數(shù)關(guān)于

x,y

的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)是f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).依照對變量的不同求導(dǎo)次序，二階偏導(dǎo)數(shù)有四個：（用符號表示如下）第二十四頁，共29頁。第二十五頁，共29頁。其中及稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù).類似的，可以定義三階、四階、…

、n

階偏導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)，稱為函數(shù)f(x,y)的一階偏導(dǎo)數(shù).注：當(dāng)兩個二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)時，它們是相等的即