專題11利用導(dǎo)數(shù)證明不等式(原卷版)

專題11利用導(dǎo)數(shù)證明不等式考點(diǎn)一單變量不等式的證明1.待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性即可得證．2.若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手時，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個都便于求導(dǎo)的函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目標(biāo)．3.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題中，最常見就是ex和lnx與其他代數(shù)式結(jié)合的難題，對于這類問題，可以先對ex和lnx進(jìn)行放縮，使問題簡化，便于化簡或判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)．常見的放縮公式如下：(1)ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取等號；(2)ex≥ex，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號；(3)當(dāng)x≥0時，ex≥1＋x＋eq\f(1,2)x2,當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取等號；(4)當(dāng)x≥0時，ex≥eq\f(e,2)x2＋1,當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取等號；(5)eq\f(x－1,x)≤lnx≤x－1≤x2－x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號；(6)當(dāng)x≥1時，eq\f(2x－1,x＋1)≤lnx≤eq\f(x－1,\r(x))，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號．考點(diǎn)二雙變量不等式的證明破解含雙參不等式的證明的關(guān)鍵一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式；二是巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果．考點(diǎn)三證明與數(shù)列有關(guān)的不等式(1)證明此類問題時常根據(jù)已知的函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)n的不等式替代函數(shù)不等式中的自變量．通過多次求和達(dá)到證明的目的．此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常由第一問根據(jù)待證式的特征而得到．(2)已知函數(shù)式為指數(shù)不等式(或?qū)?shù)不等式)，而待證不等式為與對數(shù)有關(guān)的不等式(或與指數(shù)有關(guān)的不等式)，還要注意指、對數(shù)式的互化，如ex＞x＋1可化為ln(x＋1)＜x等．專項突破一單變量不等式的證明1．已知，，．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時，求證：．2．已知函數(shù).(1)若在上有2個零點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)證明：.3．已知函數(shù)，．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：．4．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若且，求證：.5．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：.6．已知函數(shù).(1)若有兩個極值點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時，證明：.7．已知函數(shù)的最小值為．(1)求實數(shù)的值；(2)求證：當(dāng)時，．8．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，證明：.9．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時，證明：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．10．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：.11．已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的極值；(2)證明：對任意，都有．12．已知函數(shù)，(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，求證：.13．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．14．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，證明：．專項突破二雙變量不等式的證明1．已知函數(shù)，（）．(1)若存在兩個極值點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，為的兩個極值點(diǎn)，證明：．2．已知函數(shù).(1)若在上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)記的兩個極值點(diǎn)為，，求證：.3．設(shè)函數(shù)(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)任意正實數(shù)，當(dāng)時，試判斷與的大小關(guān)系并證明4．記函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.(1)討論的極值點(diǎn)個數(shù)；(2)當(dāng)時，令，若是關(guān)于的方程的兩個相異的實數(shù)根，證明：.5．已知函數(shù)，且．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有三個極值點(diǎn)，且，求證：．6．已知函數(shù)(1)當(dāng)時，若對任意的都有求m的最大值(2)若函數(shù)有且只有兩個不同的零點(diǎn)求證7．已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)．(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)是的兩個零點(diǎn)，證明：．8．已知函數(shù).(1)若，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求實數(shù)的值；(2)若，是的兩個極值點(diǎn)，且，證明：.9．已知函數(shù)，．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：；(3)設(shè)a，b為正數(shù)，且，證明：．10．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，若滿足，求證：．11．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)方程的兩個根分別為,，證明：.12．已知實數(shù)，設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)單調(diào)遞增，求a的最大值；(3)設(shè)是的兩個不同極值點(diǎn)，是的最大零點(diǎn)．證明：．注：是自然對數(shù)的底數(shù)．13．已知函數(shù)．(1)若直線與的圖像相切，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求實數(shù)m和b的值；(2)若函數(shù)在上存在兩個極值點(diǎn)，且，證明：．14．已知函數(shù)(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線的方程；(2)若有兩個極值點(diǎn)m，n，證明：．專項突破三證明與數(shù)列有關(guān)的不等式1．已知關(guān)于的函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，2．設(shè)函數(shù)(1)求曲線在處的切線方程；(2)證明：當(dāng)且時，.3．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值，并求函數(shù)的極值；(2)①若當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；②證明：當(dāng)時，．4．已知函數(shù)f(x)＝lnx﹣ax+1（a∈R）．(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[]上的最大值；(2)證明：．5．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)，求證：．6．已知函數(shù)．