2010年天津高考理科數學試題含答案Word版

2010年普通高等學校招生全國統一考試(天津卷)數學(理工類)本試卷分為第i卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試用時120分鐘，第I卷1至3頁，第n卷4至11頁?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第I卷注意事項：答第I卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，答在試卷上的無效。本卷共10小題，每小題5分，共50分。參考公式：?如果事件A、B互斥，那么 ?如果事件A、B相互獨立，那么P(AUB)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A)P(B)?棱柱的體積公式V=Sh, 棱錐的體積公式V=-sh3其中S標示其中其中S標示棱錐的底面積。h示棱h表示棱柱的同Ioh示棱一.選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。i是虛數單位，復數—1+37_1-2/(A)l+i (B)5+5i (C)-5-5i(D)-l-i(2)函數f(x)二2’一女的零點所在的一個區(qū)間是(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)(3)命題“若f(x)是奇函數，則f(-x)是奇函數”的否命題是(A)若f(x)是偶函數，則f(-x)是偶函數(B)若f(x)不是奇函數，則f(-x)不是奇函數(C)若f(-x)是奇函數，則f(x)是奇函數(D)若f(-x)不是奇函數，則f(x)不是奇函數(4)閱讀右邊的程序框圖，若輸出s的值為-7,則判斷框內可填寫(A)i<3? (B)i<4?(C)i<5?(D)i<6?(C)i<5?(D)i<6?(5)已知雙曲線X2y(5)已知雙曲線X2y2一會二|包＞0,方＞0)的一條漸近線方程是y=Av，它的一個焦點在拋物線V2-24.X的準線上，則雙曲線的方程為(A)儲/二］36108一(B)927(C)(C)10836(D)Hi279(6)已知是首項為1的等比數列,是的前n項和，且,則數列的前5項和為(A)15T或5 (B)3116或5 (C)3116(D)15V(7)在AABC中，內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若-b?=43bcsinC=2V3sinB，則A二(A)3(V6(f(C)120c(D)150。(8)若函數f(x)=log2>0,

1logt(-x)tx<0，若f(a)>f(-a)，則實數a的取值范圍A(A)(-1,0)U(0,1) (B)(-8,-1)u(1,+°°)(-1,0)U(l,+oo) (D)(-8,-1)U(0,1)(9)設集合A=[x||x-a|<1/ -[x|x-&|>2.#e??).若AuB,則實數a,b必滿足 一(A)—1:3(B)—卜3(C)u-h\<3(D)（10）如圖，用四種不同顏色給圖中的人忑工尸忑尸六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法用（A）288種（B）264種（C）240種（D）168種2010年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）數學（理工類）第H卷注意事項：.答卷前將密封線內的項目填寫清楚。.用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上。.本卷共12小題，共100分。二.填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分，把答案天災題中橫線上。(11)甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個數用莖葉圖表示如下圖，中間一列的數字表示零件個數的十位數，兩邊的數字表示零件個數的個位數，則這10天甲、乙兩人日加工零件的平均數分別為(12)一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積(13)已知圓C(13)已知圓C的圓心是直線\x為參數)與x軸的交點，且圓C與直線x+y+3=0相切，則圓C的方程為(14)如圖，四邊形ABCD是圓。的內接四邊形，延長AB和DC相交于點P,PB_1PC1_1PA-2tPD-3，則

的值為(15)如圖，在中，BC的值為(15)如圖，在中，BC\AIiCAD_AB而二石而4D=1，則*(16)設函數----4ft?V(x)</(A-1)mJ恒成立，則實數的取值范圍是

三、解答題：本大題共6小題，共76分。解答題寫出文字說明，證明過程或演算步驟。(17)(本小題滿分12分)已知函數f(x)-2V3sinxcosx+2cos' eR)(I)求函數cns況的最小正周期及在區(qū)間cns況上的最大值和最小值；(II)若,求的值。(18).(本小題滿分12分)某射手每次射擊擊中目標的概率是23，且各次射擊的結果互不影響。(I)假設這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標的概率(II)假設這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標。另外2次未擊中目標的概率；(Ill)假設這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分，記為射手射擊3次后的總的分數，求的分布列。(19)(本小題滿分12分)如圖，在長方體ABCD-44的中，EF分別是棱BCcc\上的點,CF=AB=2CEAB\AD\AAX=\\1A(1)求異面直線Er所成角的余弦值;(2)證明AF±平面4ED(3)求二面角4—ED—F的正弦值。(20)(本小題滿分12分)已知橢圓x2y1r+=1(￡J>ft>0)/A2'的離心率43

「=-,連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4。(1)求橢圓的方程；(2)設直線I與橢圓相交于不同的兩點AJi,已知點A的坐標為(一冬0)，點納為)在線段的垂直平分線上，且,求的值(21)(本小題滿分14分)已知函數f(x)^xc~x(xeR)(I)求函數/(人)的單調區(qū)間和極值；(II)已知函數y=*(工)的圖象與函數.產的圖象關于直線X-1對稱，證明當X>1時，f(x)>(III)如果,且/q)二〃花),證明莉十后>2(22)(本小題滿分14分)在數列{q}中,%=0,且對任意k匚t*成等差數列，其公差為心O(I)若心2k,證明仃“11成等比數列(kW仁)(II)若對任意kFM由上2成等比數列，其公比為2010年普通高等學校招生全國統一考試(天津卷)數學(理工類)參考解答一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算。每小題5分，滿分50分。A (2)B (3)B (4)D(5)BC (7)A (8)C(9) D(10) B二填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分24分。24:23 (12)10T(jr11)7十黃=26后4H冬T三、解答題(17)本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數y- +的性質、同角三角函數的基本關系、兩角差的余弦等基礎知識，考查基本運算能力，滿分12分。(1)解：由/(x)-273sinxcos 2cos3f(x)=<3(2sinjccgsj}+(2cas"x-])= 電n2M+cow2m=3ain(2jc+—)所以函數的最小正周期為因為在區(qū)間/(x)=2sin上為增函數，在區(qū)間上為減函數，又712T人0A1J修D-1所以函數在區(qū)間上的最大值為2,最小值為-1(II)解：由(1)可知又因為Js心+泥+工］=-Jl-sin2(2%+工］=，6jVI°6j5尸(X=2)=C；x240243（II）解：設“第*次射擊擊中目標”為事件 '4。二12,3,4,5）;“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標”為事件A，則(III)解:由題意可知,(III)解:由題意可知,的所有可能取值為。［23,6

尸?—0）=?（444）一p《=1)=P(444)+P(444)十尸(444)22 322 39— 212 4尸（？-2）一尸（444）_彳其耳其3■一歷%工%工1)p《=3)=p(444)十尸p《=3)=p(444)十尸(444)=f(4=6)二尸(4月"0二2Y3；27所以的分布列是二0'1 -3屯 -4 -s -，iH-j1T-Jg.(19)本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，滿分12分。方法一：如圖所示，建立空間直角坐標系,點A為坐標原點，設AB=l，依題意得mi)凡凡4(1)解：易得于是所以異面直線與所成角的余弦值為(2)證明：已知于是《靖。)或=(哈1)麗-(0,21)cm(甌而號暨也=一工、 ■EP4。 5EF[T)35-(1,2,1)甌=卜1,擊)見書,0：AF")=0,EFDEFDu-(x,y.z)4 iiEB=O—y+z=02I八-xH—v=0W=O>2-1)ATAFED=0.因此，AF1EA]AFLED，又EA]cED=E所以AF1平面.4ED(3)解:設平面的法向量，則，即不妨令X=l,可得。由(2)可知，為平面的一個法向量。22cosa.-pb-fcosa.-pb-f于是,從而所以二面角的正弦值為方法二：(1)解：設AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE二鏈接B1C,BC1,設B1C與BC1交于點M,易知A1D〃B1C,由CE_CF_1CB-cq-4，可知EF〃BC1.故是異面直線EF與AID所成的角，易知BM二CM二，所以EM2CM2-BC23cos= =—2BMHJM5,所以異面直線FE與AID所成角的余弦值為35(2)證明：連接AC,設AC與DE交點N因為CDECI前一商一2,所以RiADCE\]Ri\CBA,從而ZCDE:ZBCA,又由于上CDE+ZCEE)」野，所以ZBCA+ZCED^W,故ACLDE,又因為CC1LDE且CC}nAC^C,所以DEL平面ACF,從而AFLDE.連接BF,同理可證B1CL平面ABF,從而AFXB1C,所以AFXA1D因為DEoAyD-D,所以AFL平面A1ED(3)解：連接A1N.FN,由(2)可知DEL平面ACF,又NF一平面ACF,A1N一平面ACF,所以DELNF,DETAIN,故易知,所以為二面角A1-ED-F易知,所以RtACNE□RtACBACN_ECBCAC，又所以CN=—5

J1R必NCF中,NF-^CF2+CN2---KR^NA1-J41+AN2-連接A1C1,A1F在wa4c產中，4.二J.Cj+CF'，=mTS在用A4M在用A4M中，8XZ4JVF=A*+FN'-叱224汽?FN~~3O所以xinZJ^NF=專所以二面角Al-DE-F正弦值為叵3(20)本小題主要考察橢圓的標準方程和幾何性質，直線的方程，平面向量等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質及數形結合的思想，考查運算和推理能力，滿分12分(1)解：由a2a2,得3li=4f.，,再由a=2l)

由題意可知,—x2ax2i—4,由題意可知,—x2ax2i—4,U|Jab-2解方程組a-2bab=2得a=2,b=l所以橢圓的方程為,yl)，直線1的斜率(2)解：由(1)可知A(-2,0)o設B點的坐標為(xl,為k,則直線1,yl)，直線1的斜率于是A,B兩點的坐標滿足方程組y=機#十2)T〔不廿=1由方程組消去Y并整理，得(1+4攵2)/ 。6左2-4)=016〃二4

1+4/2—賺工,,4A

父尸"，從電產帝產,設線段AB是中點為M,則M的坐標為如2k「1+丁1+病)以下分兩種情況:(1)當k=0時，點B的坐標為(2,0)。線段AB的垂直平分線為y軸，于是&=(-2,-%),@=(2.-弱)由血血…4,得為-±26(2)當K-f0時，線段AB的垂直平分線方程為2k 1 麻工1+4*Q l+4t2令x=0,解得6比◎二(-2,-%),沙=(孫片—典)61c4電T+4TT+4A61c4電T+4TT+4AJL勺■及_4(I6^+15V-1)_q

(1+4A2)2整理得=2,故人=土日^所以」％=±邛^綜上(21)本小題主要考查導數的應用，利用導數研究函數的單調性與極值等基礎知識，考查運算能力及用函數思想分析解決問題的能力，滿分14分(I)解:f'(x)一(]一工把T令*斐)=0,解得戶1當x變化時，f'(x),當x)的變化情況如下表X(4,1)1(1、g)f'(x)+0 f(x)-|極大值-|所以￡?)在(一)內是增函數，在(1,十區(qū)，)內是減函數。函數f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=1(II)證明：由題意可知g(x)=f(2-x)，得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即尸㈤一把7十(工一2)，-?于是F9(x)=(x-1)(/-?一以一當x>1時，2x-2>0,從而1>0｝又€7>0,所以F'（x）>0,從而函數F（x）在［1,+8）是增函數。又F⑴二p—e=O,所以x〉l時,有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).in）證明：（i）若a一/再一i）二o,由（I）及「制）二「僅,）,則國二J二i一與苦小々矛盾「（2）若（再一1乂三一】）〉。，由（I）及f-j）=f（xj,得工產再與&H與矛盾b根據(1)(2)得(王—頊/—1)<0,不妨設±<L占>1.由（II）可知，f—J>屋4），則屋%）,所以f區(qū)）>f（2f），從而f（玉）>f（2-xj.因為x?>1，所以—.T?<'1,又由（I）可知函數f（x）在區(qū)間（-8,1）內事增函數，所以X>2_X-，即X.4%>2.（22）本小題主要考查等差數列的定義及通項公式，前n項和公式、等比數列的定義、數列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法。滿分14分。（I）證明：由題設，可得%+廣明廣植斥獷O所以為1+1-=9狄+「/_]>+（3_]一口2"3）"++（附—/）4A+4（六一1）4...^4x1=2k（k+l）=0,得3十/2凈正從而3=々十廣筮包￡十2于是②±1二3%42二”所以為+2二%+1a2kk為UI k '41 a2k所以4=2州，對任意+1-+2成等比數列。(II)證法一：(i)證明：由成等差數列,成等比數列,心氣+1及%-口 +。 + 12A2J aa~Q&々02k qk-\%。上%。上e

$/1時，可知力1,k從而」 1 =—1—+L即」 ! 1g>2)町72-1-I”T1 ”-1”-114-】所以是等差數列，公差為1。(II)證明：%=0=?，可得——=1+#-1=七得弘二所以所以“2ki2“2ki2=3+1=北」］從而白〃+2=。+1￥3+1 u2kka2k心JceM因此,因此,A7-2 _/5T)A7-2 _/5T):21亡一亞T1廠百7三以下分兩種情況進行討論:(1)當n為偶數時，設限2n1(ffl三，『)若m=l,則若mN2,則(W每I白(W每I白儂+爐￥?-丹阜!■1所以4不+必? ?陽I」WA+I)2fflr+2(ffl-1}+—Q——)=2jf———-2桐 所以4不+必? ?陽I」WA+I)