人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)16.3二次根式的加減教案及反思（2課時(shí)）

16．3二次根式的加減第1課時(shí)二次根式的加減教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】會(huì)進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算，利用二次根式的加減法解決生活實(shí)際問(wèn)題．【過(guò)程與方法】經(jīng)歷由實(shí)際問(wèn)題引入數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，提高學(xué)生的抽象概括能力，進(jìn)而掌握二次根式的加減運(yùn)算方法．【情感態(tài)度】培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真觀察、思考的習(xí)慣，鍛煉嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、一絲不茍的科學(xué)精神．【教學(xué)重點(diǎn)】二次根式的加減法運(yùn)算方法．【教學(xué)難點(diǎn)】二次根式的加減法的實(shí)際應(yīng)用．教學(xué)過(guò)程一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)【問(wèn)題】現(xiàn)有一塊長(zhǎng)dm，寬5dm的木板，能否采用如圖所示的方式，在這塊木板上截出兩個(gè)面積分別是8dm2和18dm2的正方形木板？【教學(xué)說(shuō)明】可借助多媒體(或幻燈片)展示木板，嘗試截取兩個(gè)正方形木塊，并引導(dǎo)學(xué)生思考．解決問(wèn)題的關(guān)鍵在哪里？如何解決？激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望．二、思考探究，獲取新知讓學(xué)生相互討論，共同探究，尋求解決問(wèn)題的方案．與此同時(shí)，教師可設(shè)置如下問(wèn)題幫助學(xué)生進(jìn)行理解和分析：1．兩個(gè)正方形木塊的邊長(zhǎng)分別是多少？2．最大正方形木板的邊長(zhǎng)與原長(zhǎng)方形木板的寬5dm的大小如何？3．兩個(gè)正方形木板的邊長(zhǎng)之和與長(zhǎng)方形木板的長(zhǎng)dm的大小關(guān)系如何？你認(rèn)為用什么辦法來(lái)得出結(jié)論？4．談?wù)勀阍讷@得結(jié)論的過(guò)程中的想法，你有哪些新的認(rèn)識(shí)？在學(xué)生充分交流，初步形成認(rèn)知后，師生共同探討：上述實(shí)際問(wèn)題中，實(shí)質(zhì)是求eq\r(8)與eq\r(18)這兩個(gè)二次根式的和，我們可以這樣來(lái)計(jì)算：eq\r(8)＋eq\r(18)＝2eq\r(2)＋3eq\r(2)(化成最簡(jiǎn)二次根式)＝(2＋3)eq\r(2)(被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式的合并)＝5eq\r(2).【教學(xué)說(shuō)明】本環(huán)節(jié)教師要放手讓學(xué)生自主探究，自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并嘗試解決問(wèn)題，并能總結(jié)規(guī)律，形成認(rèn)知．同時(shí)，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的完成情況，能否正確進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，能否運(yùn)用分配律將二次根式合并．【歸納總結(jié)】二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并．三、典例精析，掌握新知【例1】計(jì)算：(1)eq\r(80)－eq\r(45)；(2)eq\r(16x)＋eq\r(64x).【分析】將所給出的二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用類似整式的加減方法來(lái)進(jìn)行二次根式的加減．解：(1)原式＝4eq\r(5)－3eq\r(5)＝(4－3)eq\r(5)＝eq\r(5)；(2)原式＝4eq\r(x)＋8eq\r(x)＝(4＋8)eq\r(x)＝12eq\r(x).【例2】計(jì)算：(1)3eq\r(48)－9eq\r(\f(1,3))＋eq\r(27)；(2)(eq\r(12)＋eq\r(20))＋(eq\r(3)－eq\r(5))．【分析】在第(2)小題中，應(yīng)注意去括號(hào)的方法，同時(shí)防止出現(xiàn)eq\r(3)－eq\r(5)＝－eq\r(2)的錯(cuò)誤．解：(1)原式＝12eq\r(3)－3eq\r(3)＋3eq\r(3)＝(12－3＋3)eq\r(3)＝12eq\r(3)；(2)原式＝2eq\r(3)＋2eq\r(5)＋eq\r(3)－eq\r(5)＝(2＋1)eq\r(3)＋(2－1)eq\r(5)＝3eq\r(3)＋eq\r(5).【教學(xué)說(shuō)明】以上兩例，應(yīng)讓學(xué)生先獨(dú)立完成，并分別選派兩名中等成績(jī)同學(xué)上黑板進(jìn)行演算．教師巡視，了解全班學(xué)生的掌握情況，并對(duì)有困難的同學(xué)及時(shí)予以點(diǎn)撥，幫助他們加深對(duì)新知的理解．最后，師生共同評(píng)析黑板上的作業(yè)，教師還可適時(shí)將巡視中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題展示給全班同學(xué)，達(dá)到理解新知的目的．【例3】如圖，實(shí)驗(yàn)中學(xué)計(jì)劃在校園內(nèi)修建一個(gè)正方形的花壇，在花壇中央還要修一個(gè)正方形的小噴水池，設(shè)計(jì)者需要考慮有關(guān)的周長(zhǎng)，如果小噴水池的面積為8m2，花壇的綠化面積為10m2，則花壇的外周與小噴水池的周長(zhǎng)一共是多少米？【分析】利用正方形的面積公式求出邊長(zhǎng)，再根據(jù)周長(zhǎng)公式即可得解．解：由題可知，花壇的外周圍成的大正方形的面積為8＋10＝18m2，邊長(zhǎng)為eq\r(18)m＝3eq\r(2)m，小噴水池的邊長(zhǎng)為eq\r(8)m＝2eq\r(2)m，故花壇的外周與小噴水池的周長(zhǎng)一共是4×3eq\r(2)＋4×2eq\r(2)＝20eq\r(2)m.【教學(xué)說(shuō)明】本例展示了二次根式的加減在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理分析，理清解題思路與步驟，再讓學(xué)生自主完成解答過(guò)程．最后教師可以給出示范性解題過(guò)程，也可以用幻燈片展示學(xué)生的優(yōu)秀作業(yè)及有代表性問(wèn)題作業(yè)，讓學(xué)生通過(guò)觀察與反思，加深對(duì)知識(shí)的理解．四、運(yùn)用新知，深化理解1．下列計(jì)算是否正確？為什么？(1)eq\r(8)－eq\r(3)＝eq\r(8－3)；(2)eq\r(4)＋eq\r(9)＝eq\r(4＋9)；(3)3eq\r(2)－eq\r(2)＝2eq\r(2).解：(1)不正確，兩邊不相等；(2)不正確，兩邊不相等；(3)正確．2．以下二次根式：①eq\r(12)；②eq\r(22)；③eq\r(\f(2,3))；④eq\r(27)中，與eq\r(3)可以合并的有__①④__(填序號(hào))．3．計(jì)算5eq\r(a)－3eq\r(b)－7eq\r(a)＋9eq\r(b)的最后結(jié)果是__6eq\r(b)－2eq\r(a)__.4．計(jì)算下列各題：(1)eq\r(18)＋(eq\r(98)－eq\r(27))；(2)(eq\r(24)＋eq\r)－(eq\r(\f(1,8))－eq\r(6))．解：(1)原式＝10eq\r(2)－3eq\r(3)；(2)原式＝3eq\r(6)＋eq\f(1,4)eq\r(2).5．先化簡(jiǎn)，再求值：(6xeq\r(\f(y,x))＋eq\f(3,y)eq\r(xy3))－(4yeq\r(\f(x,y))＋eq\r(36xy))，其中x＝eq\f(3,2)，y＝27.解：原式＝6eq\r(xy)＋3eq\r(xy)－(4eq\r(xy)＋6eq\r(xy))＝－eq\r(xy)，當(dāng)x＝eq\f(3,2)，y＝27時(shí)，原式＝－eq\r(\f(3,2)×27)＝－eq\f(9,2)eq\r(2).【教學(xué)說(shuō)明】學(xué)生自主完成上面前3個(gè)題，教師巡視，后兩個(gè)題稍難，教師適當(dāng)予以點(diǎn)撥．五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)師生共同回顧本節(jié)主要知識(shí)點(diǎn)及需要注意的問(wèn)題．(1)知識(shí)要點(diǎn)：二次根式加減的一般思路，①不是最簡(jiǎn)二次根式的，應(yīng)化成最簡(jiǎn)二次根式；②相同的二次根式一定要進(jìn)行合并．(2)需注意的問(wèn)題：①應(yīng)能將化簡(jiǎn)的二次根式化簡(jiǎn)后再進(jìn)行計(jì)算，不要出現(xiàn)eq\r(8)－eq\r(2)是最后結(jié)果的類似錯(cuò)誤；②相同的二次根式合并時(shí)，只需把它們的系數(shù)相加減，根式不變，不相同的二次根式不能進(jìn)行加減，防止出現(xiàn)3eq\r(5)－2eq\r(2)＝(3－2)(eq\r(5)－eq\r(2))＝eq\r(5)－eq\r(2)的錯(cuò)誤．課后作業(yè)1．布置作業(yè)：從教材“習(xí)題”中選取．2．完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí)．教學(xué)反思1．創(chuàng)設(shè)情境，給出實(shí)例．由學(xué)生主動(dòng)參與，經(jīng)過(guò)思考、討論、分析的過(guò)程，老師加以啟發(fā)和引導(dǎo)，類比得出二次根式的加減運(yùn)算法則．2．三個(gè)例題，旨在幫助學(xué)生理解二次根式的加減運(yùn)算．尤其是例2，要按照兩個(gè)步驟進(jìn)行計(jì)算，培養(yǎng)了學(xué)生利用概念、法則進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和科學(xué)精神，此外，例3還展示了二次根式的加減在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用．第2課時(shí)二次根式的混合運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】1．會(huì)進(jìn)行二次根式的乘、除、加、減混合運(yùn)算；2．能用多項(xiàng)式的乘法公式進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)計(jì)算．【過(guò)程與方法】通過(guò)具體問(wèn)題進(jìn)一步體會(huì)有理數(shù)運(yùn)算、二次根式的運(yùn)算以及整式的運(yùn)算之間的聯(lián)系，掌握二次根式混合運(yùn)算方法．【情感態(tài)度】通過(guò)多項(xiàng)式乘除法則及乘法公式在二次根式運(yùn)算中的應(yīng)用，體驗(yàn)遷移、化歸思想，使學(xué)生進(jìn)一步形成符號(hào)感，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)．【教學(xué)重點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算．【教學(xué)難點(diǎn)】多項(xiàng)式的乘除法則及乘法公式在二次根式運(yùn)算中的應(yīng)用方法．教學(xué)過(guò)程一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)【問(wèn)題】我們知道：(x＋y)·xy＝x·xy＋y·xy＝x2y＋xy2，(2x2y＋3xy2)÷xy＝2x2y÷xy＋3xy2÷xy＝2x＋3y，(x＋y)(x－y)＝x2－y2及(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，……試問(wèn)：如果上述各式中的x，y分別代表著一個(gè)二次根式，我們會(huì)有哪些新的收獲呢？【教學(xué)說(shuō)明】引入上述關(guān)于多項(xiàng)式的乘除算式及乘法公式，進(jìn)而提出新的問(wèn)題的目的在于暗示二次根式的運(yùn)算與多項(xiàng)式的運(yùn)算之間的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的求知欲望和探究意識(shí)．二、思考探究，獲取新知【探究1】由(x＋y)·z＝x·z＋y·z＝xz＋yz，你能求出(eq\r(6)＋eq\r(8))×eq\r(3)的值嗎？你是怎樣做的？我們可以這樣做：(eq\r(6)＋eq\r(8))×eq\r(3)＝eq\r(6)×eq\r(3)＋eq\r(8)×eq\r(3)＝eq\r(18)＋eq\r(24)＝3eq\r(2)＋2eq\r(6).【探究2】由(x2y＋xy)÷z＝eq\f(x2y,z)＋eq\f(xy,z)，你能求出(4eq\r(6)－3eq\r(2))÷2eq\r(2)的值嗎？由此你有何發(fā)現(xiàn)？類似地，請(qǐng)解決以下幾個(gè)小題．(1)(eq\r(2)＋3)(eq\r(2)－5)；(2)(eq\r(5)＋eq\r(3))(eq\r(5)－eq\r(3))；(3)(2eq\r(5)－eq\r(2))2.我們可以依照題中的解法進(jìn)行：(4eq\r(6)－3eq\r(2))÷2eq\r(2)＝4eq\r(6)÷2eq\r(2)－3eq\r(2)÷2eq\r(2)＝2eq\r(3)－eq\f(3,2).(1)(eq\r(2)＋3)(eq\r(2)－5)＝(eq\r(2))2－eq\r(2)×5＋3×eq\r(2)－3×5＝2－5eq\r(2)＋3eq\r(2)－15＝－2eq\r(2)－13；(2)(eq\r(5)＋eq\r(3))(eq\r(5)－eq\r(3))＝(eq\r(5))2－(eq\r(3))2＝5－3＝2；(3)(2eq\r(5)－eq\r(2))2＝(2eq\r(5))2－2×2eq\r(5)×eq\r(2)＋(eq\r(2))2＝20－4eq\r(10)＋2＝22－4eq\r(10).【教學(xué)說(shuō)明】讓全班同學(xué)共同參與探究，相互交流，在類比的過(guò)程中嘗試給出問(wèn)題的答案．教師巡視，予以點(diǎn)撥，肯定學(xué)生的成績(jī)，并引導(dǎo)學(xué)生完善對(duì)二次根式混合運(yùn)算的初步認(rèn)識(shí)，最后師生共同給出問(wèn)題的結(jié)果．【歸納結(jié)論】1．二次根式的混合運(yùn)算與整式的運(yùn)算方法完全相同，即先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)．2．在二次根式的運(yùn)算中，多項(xiàng)式的乘法法則和乘法公式仍然適用．三、典例精析，掌握新知【例1】計(jì)算下列各題：(1)(4eq\r(6)－4eq\r(\f(1,2))＋3eq\r(8))÷2eq\r(2)；(2)(eq\r(10)＋eq\r(7))(eq\r(10)－eq\r(7))－(eq\r(2)＋1)2；(3)(－eq\r(3)－2eq\r(2))2＋eq\r(3)(eq\r(3)－eq\r(6))．【分析】對(duì)算式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行觀察分析，運(yùn)用二次根式加、減、乘、除的法則進(jìn)行運(yùn)算，需注意乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2ab＋b2的靈活運(yùn)用．解：(1)原式＝(4eq\r(6)－2eq\r(2)＋6eq\r(2))÷2eq\r(2)＝(4eq\r(6)＋4eq\r(2))÷2eq\r(2)＝4eq\r(6)÷2eq\r(2)＋4eq\r(2)÷2eq\r(2)＝2eq\r(3)＋2；(2)原式＝(eq\r(10))2－(eq\r(7))2－[(eq\r(2))2＋2×eq\r(2)×1＋12]＝10－7－(2＋2eq\r(2)＋1)＝－2eq\r(2).(3)原式＝(－eq\r(3))2＋2·(－eq\r(3))(－2eq\r(2))＋(－2eq\r(2))2＋eq\r(3)×eq\r(3)－eq\r(3)×eq\r(6)＝3＋4eq\r(6)＋8＋3－3eq\r(2)＝14＋4eq\r(6)－3eq\r(2).【例2】已知x＝eq\r(3)＋1，y＝eq\r(3)－1，求下列代數(shù)式的值．(1)x2＋2xy＋y2；(2)x2－y2【分析】分析：由條件易知x＋y＝2eq\r(3)，x－y＝2，而所求代數(shù)式中(1)可化為(x＋y)2，(2)可化為(x＋y)(x－y)，因而整體代入更簡(jiǎn)潔些，當(dāng)然直接代入求值也是可行的，只不過(guò)要復(fù)雜多了．解：∵x＝eq\r(3)＋1，y＝eq\r(3)－1，∴x＋y＝2eq\r(3)，x－y＝2.(1)原式＝(x＋y)2＝(2eq\r(3))2＝12；(2)原式＝(x＋y)·(x－y)＝2eq\r(3)×2＝4eq\r(3).【教學(xué)說(shuō)明】第1題可讓學(xué)生自主完成，并選派三名代表上黑板進(jìn)行演算．教師巡視，了解學(xué)生對(duì)二次根式混合運(yùn)算的掌握情況，及時(shí)予以幫助，幫助學(xué)生更好地掌握新知識(shí)．最后全班同學(xué)分析三位代表的解答過(guò)程及結(jié)果，深化理解．第2題仍可讓學(xué)生先自主探究，如果大部分學(xué)生選用直接代入求值時(shí)，教師仍應(yīng)肯定他們的成績(jī)，但需展示本例的最佳解題思路，達(dá)到融會(huì)貫通的目的．四、運(yùn)用新知，深化理解1．計(jì)算：(1)eq\r(2)(eq\r(3)＋eq\r(5))；(2)(eq\r(80)＋eq\r(40))÷eq\r(5)；(3)(eq\r(5)＋3)(eq\r(5)－2)；(4)(eq\r(a)＋eq\r(b))(2eq\r(a)－eq\r(b))．解：(1)原式＝eq\r(6)＋eq\r(10)；(2)原式＝4＋2eq\r(2)；(3)原式＝eq\r(5)－1；(4)原式＝eq\r(a)·2eq\r(a)－eq\r(a)·eq\r(b)＋2eq\r(a)·eq\r(b)－(eq\r(b))2＝2a＋eq\r(ab)－b.2．計(jì)算：(1)(eq\r(6)＋eq\r(2))(eq\r(6)－eq\r(2))；(2)(eq\r(x)＋eq\r(x－1))(eq\r(x)－eq\r(x－1))；(3)(2eq\r(5)－eq\r(3))2；(4)(1－2eq\r(3))(1＋2eq\r(3))－(2eq\r(3)－1)2.解：(1)原式＝4；(2)原式＝(eq\r(x))2－(eq\r(x－1))2＝x－(x－1)＝1；(3)原式＝(2eq\r(