人教B版（2022）高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步訓(xùn)練6.1.5　向量的線性運(yùn)算word版含答案

向量的線性運(yùn)算必備知識(shí)基礎(chǔ)練進(jìn)階訓(xùn)練第一層知識(shí)點(diǎn)一向量的線性運(yùn)算1.計(jì)算：(1)3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))；(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.2．(1)已知3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中a，b為已知向量)，求x；(2)已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝a，,2x－3y＝b，))其中a，b為已知向量，求x，y.知識(shí)點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用3．如圖所示，D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))B．－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))C．－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))D.eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))4．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，則()A．A，B，C三點(diǎn)共線B．A，B，D三點(diǎn)共線C．A，C，D三點(diǎn)共線D．B，C，D三點(diǎn)共線5．D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a,eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，給出下列命題：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.其中正確命題的序號(hào)為________．6．在△ABC中，已知點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，且eq\f(CD,DA)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,2)，設(shè)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b.求證：eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(b－a)．關(guān)鍵能力綜合練進(jìn)階訓(xùn)練第二層一、選擇題1．在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))等于()\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))\o(AM,\s\up6(→))C．2eq\o(AM,\s\up6(→))\o(MA,\s\up6(→))2．已知P，A，B，C是平面內(nèi)四點(diǎn)，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，則下列向量一定共線的是()\o(PC,\s\up6(→))與eq\o(PB,\s\up6(→))\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(PB,\s\up6(→))\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(PC,\s\up6(→))\o(PC,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))3．平面上有一個(gè)△ABC和一點(diǎn)O，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a,eq\o(OB,\s\up6(→))＝b,eq\o(OC,\s\up6(→))＝c.又OA，BC的中點(diǎn)分別為D，E，則向量eq\o(DE,\s\up6(→))等于()\f(1,2)(a＋b＋c)\f(1,2)(－a＋b＋c)\f(1,2)(a－b＋c)\f(1,2)(a＋b－c)4．如圖，△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，則eq\o(DE,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(1,3)a＋eq\f(3,4)b\f(5,12)a－eq\f(3,4)b\f(3,4)a＋eq\f(1,3)bD．－eq\f(3,4)a＋eq\f(5,12)b5．以下選項(xiàng)中，a與b不一定共線的是()A．a(chǎn)＝5e1－e2，b＝2e2－10e1B．a(chǎn)＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2C．a(chǎn)＝e1－2e2，b＝e2－2e1D．a(chǎn)＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2.6．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D是半圓弧AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．a(chǎn)－eq\f(1,2)b\f(1,2)a－bC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b\f(1,2)a＋b二、填空題7．已知向量a，b不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足向量等式5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，則x＝________，y＝________.8．(易錯(cuò)題)在三角形ABC中，點(diǎn)D為BC的三等分點(diǎn)，設(shè)向量a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))，用向量a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))＝________.9．在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝a；eq\o(AD,\s\up6(→))＝d，則d－a＝________，d＋a＝________.三、解答題10．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a,eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→)).學(xué)科素養(yǎng)升級(jí)練進(jìn)階訓(xùn)練第三層1．(多選題)如圖所示，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))的終點(diǎn)A，B，C在一條直線上，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CB,\s\up6(→)).設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝p，eq\o(OB,\s\up6(→))＝q，eq\o(OC,\s\up6(→))＝r，則以下等式中不成立的是()A．r＝－eq\f(1,2)p＋eq\f(3,2)qB．r＝－p＋2qC．r＝eq\f(3,2)p－eq\f(1,2)qD．r＝－q＋2p2．如圖，在△ABC中，延長(zhǎng)CB到D，使BD＝BC，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上移動(dòng)時(shí)，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則t＝λ－μ的最大值是________．3．(學(xué)科素養(yǎng)—邏輯推理)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上，且BN＝eq\f(1,3)BD.求證：M，N，C三點(diǎn)共線．6．向量的線性運(yùn)算必備知識(shí)基礎(chǔ)練1．解析：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.2．解析：(1)原方程化為3x＋3a＋3x－6a－4x＋4a－4b＝0.得2x＋a－4b＝0，即2x＝4b－a.∴x＝2b－eq\f(1,2)a.(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝a，①,2x－3y＝b，②))由②得y＝eq\f(2,3)x－eq\f(1,3)b，代入①，得3x＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x－\f(1,3)b))＝a，∴3x＋eq\f(8,3)x－eq\f(4,3)b＝a，∴x＝eq\f(3,17)a＋eq\f(4,17)b.∴y＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,17)a＋\f(4,17)b))－eq\f(1,3)b＝eq\f(2,17)a＋eq\f(8,51)b－eq\f(1,3)b＝eq\f(2,17)a－eq\f(3,17)b.綜上可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,17)a＋\f(4,17)b，,y＝\f(2,17)a－\f(3,17)b.))3．解析：解法一：∵D是AB的中點(diǎn)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)).解法二：eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[eq\o(CB,\s\up6(→))＋(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))]＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)).答案：B4．解析：∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))平行，又AB與BD有公共點(diǎn)B，則A，B，D三點(diǎn)共線．答案：B5．解析：如圖，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－b＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a.eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b.eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝b＋eq\f(1,2)(－b－a)＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0.答案：①②③④6．證明：∵eq\f(CD,DA)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,2)，∴eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(－b－a)＝－eq\f(1,3)b－eq\f(1,3)a.∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)b－eq\f(1,3)a＝eq\f(1,3)b－eq\f(1,3)a＝eq\f(1,3)(b－a)．關(guān)鍵能力綜合練1．解析：如圖，作出平行四邊形ABEC，因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以M也是AE的中點(diǎn)，由題意知，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→)).答案：C2．解析：因?yàn)閑q\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，即－2eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，所以eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(PB,\s\up6(→))共線．答案：B3．解析：eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)．答案：B4．解析：eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,12)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(3,4)a＋eq\f(5,12)b，故選D.答案：D5．解析：找出一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ使得a＝λb即可判斷a∥項(xiàng)中a＝－eq\f(1,2)b；B項(xiàng)中a＝4b；D項(xiàng)中a＝－eq\f(3,2)b，故A，B，D三項(xiàng)中a∥b，而C項(xiàng)中a＝e1－2e2，b＝－2e1＋e2，所以C項(xiàng)a與b不一定共線，故選C.答案：C6．解析：連接CD，OD，如圖所示．∵點(diǎn)C，D是半圓弧AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，∴AC＝CD，∠CAD＝∠DAB＝eq\f(1,2)×60°＝30°.∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°.由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥DO.由AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，∴∠CDA＝∠DAO，∴CD∥AO，∴四邊形ACDO為平行四邊形，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b.答案：D7．解析：因?yàn)閍與b不共線，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＝3y＋27，,8－y＝4x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－4.))答案：3－48．解析：因?yàn)镈為BC的三等分點(diǎn)，當(dāng)BD＝eq\f(1,3)BC時(shí)，如圖1，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.當(dāng)BD＝eq\f(2,3)BC時(shí)，如圖2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b.答案：eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b或eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b易錯(cuò)分析：本題出錯(cuò)的原因是忽視了三等分點(diǎn)是兩種情況，應(yīng)有eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))或eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→)).解題時(shí)條件轉(zhuǎn)化要全面準(zhǔn)確．9．解析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，d－a＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝c.d＋a＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.答案：cb10．解析：由已知得eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b.如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接DE，則四邊形DEBC為平行四邊形．所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)b.∵M(jìn)N＝eq\f(1,2)(AB＋DC)，MN∥AB，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)b))＝eq\f(3,4)b.學(xué)科素養(yǎng)升級(jí)練1．解析：因?yàn)閑q\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CB,\s\up6(→))＝3eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up