人教版2022必修二立體幾何簡單幾何體的表面積與體積（含解析）

人教版2022必修二立體幾何簡單幾何體的表面積與體積一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為（

）A.

92

B.

9

C.

2722.一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是（

）A.

3π

B.

8π

C.

12π

D.

14π3.下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的表面積是（

）A.

12πa2

B.

6πa24.在三棱錐A?BCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長為3的正三角形，AB=3A.

21π

B.

6π

C.

24π

D.

15π5.經(jīng)過圓錐的軸的截面是面積為2的等腰直角三角形，則圓錐的側(cè)面積是（

）A.

42π

B.

4π

C.

26.已知正方體的體積是8，則這個正方體的外接球的體積是（

）A.

23π

B.

43π

C.

7.玉璧是我國傳統(tǒng)的玉禮器之一，也是“六瑞”之一，象征著吉祥等寓意.穿孔稱作“好”，邊緣器體稱作“肉”.《爾雅?釋器》“肉倍好謂之璧，好倍肉謂之璦，肉好“若一謂之環(huán)”.一般把體形扁平?周邊圓形?中心有一上下垂直相透的圓孔的器物稱為璧.如圖所示，某玉璧通高2.5cm，孔徑8cm.外徑A.

158.5πcm3

B.

160.8.底面半徑為1，母線長為3的圓錐的體積是（

）A.

22π3

B.

3π3

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑，園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為θ，這個角接近30°，若取θ=30°，側(cè)棱長為21米，則（

）A.

正四棱錐的底面邊長為6米

B.

正四棱錐的底面邊長為3米

C.

正四棱錐的側(cè)面積為243平方米

D.

正四棱錐的側(cè)面積為1210.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點，過A.

正方體ABCD?A1B1C1D1的外接球的體積為43π

B.

正方體ABCD?A11.已知球O是正三棱錐(底面為正三角形，點在底面的射影為底面中心)A?BCD的外接球，BC=3，AB=23，點E在線段BD上，且BD=6BE，過點E作球OA.

π

B.

2π

C.

3π

D.

4π12.已知正三棱錐P?ABC的底面邊長為1，點P到底面ABC的距離為2，則（

）A.

該三棱錐的內(nèi)切球半徑為26

B.

該三棱錐外接球半徑為7212

C.

該三棱錐體積為212

D.

AB三、填空題（共4題；共25分）13.已知球O是三棱錐P?ABC的外接球，PA=AB=PB=AC=2，CP=22，點D是PB的中點，且CD=7，則球14.15.已知正方體的所有頂點在一個球面上，若這個球的表面積為12π，則這個正方體的體積為________.16.某幾何體的三視圖如圖所示（網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1），則該幾何體的體積為________，其外接球的半徑為________.四、解答題（共6題；共65分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓錐的底面半徑為1，高為3，求圓錐的表面積.18.將圓心角為4π3，半徑為1cm的扇形，卷成圓錐形容器，求：（1）這個容器的側(cè)面積；（2）這個容器的容積.19.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，點F在棱CC1上，過B，（1）找到點E的位置，作出截面α（保留作圖痕跡），并說明理由；（2）已知CF=a，求α將正方體分割所成的上半部分的體積V1與下半部分的體積V20.已知一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是2、3、6，（1）求這個長方體的對角線長。（2）求這個長方體的的體積21.如圖是一個空間幾何體的三視圖，其正視圖與側(cè)視圖是邊長為4cm的正三角形、俯視圖中正方形的邊長為4cm，（1）畫出這個幾何體的直觀圖（不用寫作圖步驟）；（2）請寫出這個幾何體的名稱，并指出它的高是多少；（3）求出這個幾何體的表面積。22.

（1）某圓錐的側(cè)面展開圖為圓心角為120°，面積為3π的扇形，求該圓錐的表面積和體積.（2）已知直三棱柱ABC?A1B1C

答案解析部分一、單選題1.【答案】B【解析】【解答】由三視圖可知，該四棱錐的底面為邊長為3的正方形，高為3，如圖：

所以該四棱錐的體積為13故答案為：B

【分析】利用三視圖判斷幾何體的形狀，然后通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積．2.【答案】B【解析】【解答】由三視圖可知幾何體原圖是一個底面半徑為1高為3的圓柱，所以幾何體的表面積為π×1故答案為：B

【分析】由三視圖可知，該幾何體為圓柱，從而求表面積．3.【答案】C【解析】【解答】根據(jù)三視圖可知，該幾何體為如圖正方體中的三棱錐A?BCD，正方體的棱長等于a，三棱錐的外接球就是正方體的外接球，所以外接球的直徑2R=3因此外接球的表面積為S=4πR故答案為：C．

【分析】畫出幾何體的直觀圖，求解外接球的半徑，然后求解外接球的表面積即可．4.【答案】D【解析】【解答】設(shè)△BCD的外接圓圓心為O1，半徑為r，該三棱錐的外接球的球心為O，半徑為R∵3sin60°=2r，∴r=3∴S故答案為：D【分析】結(jié)合已知條件由正弦定理代入數(shù)值計算出外接圓的半徑，再由勾股定理計算出球的半徑再由球的表面積公式計算出結(jié)果即可。5.【答案】C【解析】【解答】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則l=2由題可知12∴r=2側(cè)面積為πrl=22故答案為：C.

【分析】根據(jù)題意由圓心角公式即可得出l與r的關(guān)系，結(jié)合已知條件即可求出半徑與母線的值，再把數(shù)值代入到側(cè)面積公式計算出結(jié)果即可。6.【答案】B【解析】【解答】正方體的體積為a3=8，則正方體棱長即R=a2+故答案為：B.

【分析】利用正方體的體積公式求出正方體的棱長，再利用正方體的體對角線等于正方體外接球的直徑，進(jìn)而利用勾股定理求出球的半徑，再利用球的體積公式，從而求出這個正方體的外接球的體積。7.【答案】C【解析】【解答】由題意知，該玉璧的體積為底面半徑為9cm，高為2.5cm的圓柱的體積減去底面半徑為4cm，高為2.故答案為：C.

【分析】由題意知，該玉璧的體積為底面半徑為9cm，高為2.5cm的圓柱的體積減去底面半徑為4cm，高為8.【答案】A【解析】【解答】因為圓錐的底面半徑為1，母線長為3，所以圓錐的高h(yuǎn)=3所以圓錐的體積為V=1故答案為：A.【分析】由圓錐的底面半徑為1，母線長為3，可知圓錐的高h(yuǎn)=32?二、多選題9.【答案】A,C【解析】【解答】如圖，在正四棱錐S?ABCD中，O為正方形ABCD的中心，H為AB的中點，則SH⊥AB，設(shè)底面邊長為2a．因為∠SHO=30°，所以O(shè)H=AH=a,OS=3在Rt△SAH中，a2所以a=3，底面邊長為6米，S=1故答案為：AC.

【分析】根據(jù)題意作出直觀圖，結(jié)合已知條件求解棱錐的底面邊長，側(cè)面積，判斷選項的正誤即可．10.【答案】A,C【解析】【解答】因為正方體ABCD?A所以正方體ABCD?A1B內(nèi)切球的半徑為1，所以正方體ABCD?A1B內(nèi)切球的表面積為4π×1如圖，M,N,S,T分別是棱AB,BC,C因為EMNFST在同一個平面內(nèi)，并且該平面與正方體的各條棱所成的角均相等，所以平面α被此正方體所截得的截面圖形為正六邊形EMNFST，邊長為2，因為正六邊形EMNFST的面積S=1B1到平面α的距離為4+4+4所以棱錐Ω的體積為13×33×故答案為：AC.

【分析】利用正方體與內(nèi)切球與外接球的位置關(guān)系，從而結(jié)合勾股定理求正方體體對角線或正方體棱長求出外接球和內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而利用球的表面積公式或體積公式求出方體ABCD?A1B1C1D1的外接球的體積和正方體ABCD?A1B1C1D1的外接球的表面積，再利用M,N,S,T分別是棱AB,BC,C11.【答案】B,C,D【解析】【解答】解：如下圖所示，其中O是球心，O′是等邊三角形BCD的中心，可得O′B=O′D=33BC=3，AO′在三角形BEO′中，BE=由余弦定理得O在三角形OO′E中，OE=OO′2+故最小的截面面積為π所以過點E作球O的截面，所以截面圓面積的取值范圍是[故答案為：BCD．

【分析】根據(jù)題意首先求出外接圓的半徑從而即可求出截面圓的面積最大值，設(shè)過點E且垂直于OE的截面圓的半徑為r，由此可求出截面圓的面積最小值，由此得出其取值范圍即可。12.【答案】A,B,D【解析】【解答】如圖，PM是棱錐的高，則M是△ABC的中心，D是AB中點，S△ABC=3DM=13×32S△PBC=1所以S=3S設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則13Sr=V易知外接球球心在高PM上，球心為O，設(shè)外接球半徑為R，則(2?R)2由PM⊥平面ABC，AB?平面ABC得PM⊥AB，又CD⊥AB，CD∩PM=M，所以AB⊥平面PCD，PC?平面PCD，所以AB⊥PC，所以AB與PC所成的角為π2故答案為：ABD．

【分析】設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則13Sr=VP?ABC，r=3×61233三、填空題13.【答案】28π3【解析】【解答】由PA=AC=2，CP=22，可得CP2由點D是PB的中點，且PA=AB=PB=2，可求得AD=3又由CD=7,AC=2，可得CD又AD∩AP=A且AD,AB?平面PAB，所以AC⊥平面PAB，以△PAB為底面，AC為側(cè)棱補成一個直三棱柱，如圖所示，則三棱錐P?ABC的外接球即為該三棱柱的外接球，球心O到底面△PAB的距離為d=1由正弦定理，可得△PAB的外接圓的半徑為r=1所以球O的半徑為R=d所以球O的表面積為S=4πR故答案為：28π3

【分析】根據(jù)題意由線面垂直的判定定理即可證明AC⊥平面PAB，結(jié)合勾股定理求出三角形PAB外接圓的半徑，再由點到面的距離公式求出球的半徑，把數(shù)值代入到球的表面積公式計算出結(jié)果即可。14.【答案】【解析】【解答】，又因為，，，，，即，，。故答案為：。

【分析】利用已知條件結(jié)合圓的面積公式和勾股定理，從而求出的值。15.【答案】8【解析】【解答】設(shè)球的半徑為R，因為球的表面積為12π，所以4πR2=12π因為正方體的所有頂點在一個球面上，所以正方體的對角線長為2R=23設(shè)正方體的棱長為a，則a2+a所以正方體的體積為a3故答案為：8。

【分析】利用已知條件結(jié)合球的表面積公式，進(jìn)而求出球的半徑，因為正方體的所有頂點在一個球面上，所以正方體的對角線長為球的直徑，進(jìn)而求出正方體的體對角線，再利用勾股定理求出正方體的棱長，再利用正方體的體積公式，進(jìn)而求出正方體的體積。16.【答案】20；52【解析】【解答】根據(jù)三視圖可得如圖直觀圖，

由PD⊥底面ABCD，且底面為長方形，所以四棱錐P?ABCD的體積V=1由圖可補全為長方體ABCD?EFGP，所以體對角線PB為外接球直徑，PB=4

故四棱錐P?ABCD的外接球半徑為52故答案為：20；52

【分析】先把三視圖轉(zhuǎn)化為幾何體的直觀圖，然后求出幾何體的體積和球的半徑。四、解答題17.【答案】解：設(shè)圓錐的母線長為l，則l=3+1=2，所以圓錐的表面積為【解析】【分析】先求圓錐的側(cè)面積，再求底面積，即可得答案；18.【答案】（1）解：由題意可知，這個圓錐形容器的側(cè)面積為S=12×4π3×1=2π3(c所以，圓錐形容器的高為h=1因此，這個容器的容積為V=1【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由扇形的面積代入數(shù)值計算出結(jié)果即可。

(2)首先由圓錐底面圓的半徑即可計算出圓錐的高，再由圓錐體積公式代入數(shù)值計算出答案即可。19.【答案】（1）解：在正方形CDD1C1中，過F作FG//連接AG，在正方形ADD1A1內(nèi)過D1作D連接EB，ED1，則四邊形BED理由：由題意，平面α∩平面ADα∩平面BC1=BF，平面A應(yīng)有D1同理，BE//FD由作圖過程，F(xiàn)G//DC，F(xiàn)G=DC，又AB//所以AB//FG，AB=FG，所以四邊形所以AG//BF，由作圖過程，D1E//所以四邊形EAGD1是平行四邊形，所以D1又AG//BF，AG=BF，所以D1所以BED1F

（2）解：由題意，CF=a(0<a<1)，