第一章 專題強(qiáng)化 彈簧-小球模型 滑塊-斜(曲)面模型

專題強(qiáng)化彈簧一小球模型滑塊一斜（曲）面模型［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1?進(jìn)一步理解動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理、能量守恒定律的內(nèi)容及含義.2?會(huì)應(yīng)用動(dòng)量觀點(diǎn)和能量觀點(diǎn)分析這兩類模型.重點(diǎn)探究/啟迪思錐探究垂點(diǎn)一、彈簧一小球模型1.對(duì)兩個(gè)（或兩個(gè)以上）物體與彈簧組成的系統(tǒng)，在相互作用的過程中，若系統(tǒng)合外力為零,則滿足動(dòng)量守恒定律.2?在能量方面，由于彈簧發(fā)生形變，具有彈性勢(shì)能，系統(tǒng)的總動(dòng)能將發(fā)生變化，若系統(tǒng)所受的外力和除彈簧彈力以外的內(nèi)力不做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒?若還有其他外力和內(nèi)力做功，這些力做功之和等于系統(tǒng)機(jī)械能的改變量.3.彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(zhǎng)（或壓縮至最短）時(shí)，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢(shì)能最大?如系統(tǒng)每個(gè)物體除彈簧彈力外所受合力為零，當(dāng)彈簧為自然長(zhǎng)度時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)彈簧某一端的物體具有最大速度，此時(shí)彈性勢(shì)能為零.【例1】如圖1所示，光滑水平面上靜止著一質(zhì)量為m2的剛性小球，小球與水平輕質(zhì)彈簧相連，另有一質(zhì)量為m1的剛性小球以速度v0向右運(yùn)動(dòng)，并與彈簧發(fā)生相互作用，兩球半徑相同，求:（1）彈簧彈性勢(shì)能的最大值；（2）彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，m「m2兩球的速度大小.mmv2答案(1)2十:2(m］十m2)(2)(m1_m2)vo2m1vom1+m2m1+m2解析（1）兩球速度相同時(shí)，彈簧彈性勢(shì)能最大?以勺的方向?yàn)檎较颍蓜?dòng)量守恒疋律得mv二（m1+m2）v由能量守恒得2血］勺2-2（m1+m2）V2+Epmax解得e二m1空02pmax2(m1+m2)⑵從m1與彈簧接觸到彈簧第一次恢復(fù)原長(zhǎng)，整個(gè)過程兩球相當(dāng)于發(fā)生彈性碰撞，由動(dòng)量守22恒定律和能量守恒定律得:m1v0二m1v1'+m2p2'2v2l2m2v2l2m

+211l2m=2011

l2m丿2sm+11「=cv1A

m22m+11m【例2如圖2所示，用水平輕彈簧相連的質(zhì)量均為2kg的A、B兩物塊都以v=6m/s的速度在光滑水平地面上運(yùn)動(dòng)，彈簧處于原長(zhǎng)，質(zhì)量為4kg的物塊C靜止在前方，B與C碰撞后二者粘在一起運(yùn)動(dòng).在以后的運(yùn)動(dòng)中，求：A"R圖2當(dāng)彈簧的彈性勢(shì)能最大時(shí)，物塊A的速度多大？彈簧彈性勢(shì)能的最大值是多大？A的速度有可能向左嗎？為什么？答案(1)3m/s(2)12J(3)見解析解析(1)當(dāng)A、B、C三者的速度相等時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大.由于A、B、C三者組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以v的方向?yàn)檎较?，有?m^+)v二(mA+mB+認(rèn)解得叮二3m/s.(2)B、C碰撞時(shí)B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)碰后瞬間B、C兩者速度為vz,則：mBv二(mB解得：v=2m/s設(shè)彈簧的彈性勢(shì)能最大為Ep，根據(jù)能量守恒:1，丄丄丄Ep二^(mB+mC)v2十尹/2-[(mA+mB+mC)vA解得E二12J.p(3)A、B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒mAv+mBv=mAvA+(mB+mC)vB設(shè)A的速度向左，有莓＜0,爲(wèi)＞4m/s則作用后A、B、C動(dòng)能之和：+m+mC)vB2>48J實(shí)際上系統(tǒng)的總機(jī)械能為：E=Ep+2(mA+mB+mC)VA小球在圓弧軌道上能上升的最大高度；(小球在圓弧軌道上能上升的最大高度；(用v0、g表示)小球離開圓弧軌道時(shí)的速度大小.答案⑴器⑵中解析(1)小球在圓弧軌道上上升到最高時(shí)兩物體速度相同，系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒，規(guī)定小球運(yùn)動(dòng)的初速度方向?yàn)檎较?，有：mvo=3mv，得v二中根據(jù)機(jī)械能守恒得：2mv02=2X3mv2+mgh解得：h二宇3g(2)小球離開圓弧軌道時(shí)，根據(jù)動(dòng)量守恒，則有:mv0二mv1+2mv2根據(jù)機(jī)械能守恒，則有:二12J+36J二48J根據(jù)能量守恒定律，Ek＞E是不可能的，所以A不可能向左運(yùn)動(dòng).二、滑塊一斜(曲)面模型對(duì)于滑塊一斜(曲)面模型，系統(tǒng)所受合外力不為零，但常在某一方向上的合力為零，則在該方向上系統(tǒng)動(dòng)量守恒，再根據(jù)能量分析情況，結(jié)合能量規(guī)律列方程，聯(lián)立求解.【例3如圖3所示，有一質(zhì)量為m的小球，以速度v0滑上靜置于光滑水平面上的光滑圓弧軌道.已知圓弧軌道的質(zhì)量為2m,小球在上升過程中始終未能沖出圓弧，重力加速度為g，求：圖31_1丄12mv°2-2mv?十2X2mv22聯(lián)立以上兩式可得：V］二_|v0貝U小球離開圓弧軌道時(shí)的速度大小為中.【例4如圖4,光滑冰面上靜止放置一表面光滑的斜面體，斜面體右側(cè)一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰塊均靜止于冰面上.某時(shí)刻小孩將冰塊以相對(duì)冰面3m/s的速度向斜面體推出，冰塊平滑地滑上斜面體，在斜面體上上升的最大高度為h=0.3m(h小于斜面體的高度).已知小孩與滑板的總質(zhì)量為m1=30kg,冰塊的質(zhì)量為m2=10kg,小孩與滑板始終無相對(duì)運(yùn)動(dòng).取重力加速度的大小g=10m/s2.圖4求斜面體的質(zhì)量；通過計(jì)算判斷，冰塊與斜面體分離后能否追上小孩？答案(1)20kg(2)不能解析(1)規(guī)定向右的方向?yàn)檎较?冰塊在斜面體上運(yùn)動(dòng)到最大高度時(shí)兩者達(dá)到共同速度，設(shè)此共同速度為v，斜面體的質(zhì)量為m3.由水平方向動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律得m2v0二(m2式中v0二-3m/s為冰塊推出時(shí)的速度?聯(lián)立兩式并代入題給數(shù)據(jù)得m3二20kg.(2)設(shè)小孩推出冰塊后小孩的速度為V］，由動(dòng)量守恒定律有m1v1+m2v0二0,代入數(shù)據(jù)得V］=1m/s設(shè)冰塊與斜面體分離后的速度分別為V和v3，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有m2v0二m2V2+m3V3?丄一丄+12m2V02_2m2V22+2m3V32聯(lián)立兩式并代入數(shù)據(jù)得v2二1m/s由于冰塊與斜面體分離后的速度與小孩推出冰塊后的速度相同且處在后方，故冰塊不能追上小孩.隨堂演練/檢測(cè)評(píng)價(jià)達(dá)標(biāo)過關(guān)（彈簧一小球模型）如圖5所示，位于光滑水平桌面上的小滑塊P和Q質(zhì)量相等，Q與水平輕質(zhì)彈簧相連.設(shè)Q靜止，P以某一初速度向Q運(yùn)動(dòng)并與彈簧發(fā)生碰撞.在整個(gè)碰撞過程中,彈簧具有的最大彈性勢(shì)能等于（）JTQ莊尹戸和歹科P的初動(dòng)能P的初動(dòng)能的1P的初動(dòng)能的1P的初動(dòng)能的1答案B解析把小滑塊P和Q以及彈簧看成一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒?在整個(gè)碰撞過程中，當(dāng)小滑塊P和Q的速度相等時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大?設(shè)小滑塊P的初速度為v0，兩滑塊的質(zhì)量均為m，以v0的方向?yàn)檎较?，則mv0=2mv，得v二予，所以彈簧具有的最大彈性勢(shì)能Epm二2mv02~2X2mv2-4mv02-扌左初，故B正確.2.（滑塊一曲面模型）（多選）（2020.馬鞍山二中期末）如圖6所示，質(zhì)量為M的小車靜止于光滑的水平面上，小車的上表面和固定在小車上的1圓弧軌道相切且都光滑，一個(gè)質(zhì)量為m的小球以速度球以速度v0水平?jīng)_上小車,小球一定沿水平方向向左做平拋運(yùn)動(dòng)小球可能沿水平方向向左做平拋運(yùn)動(dòng)小球可能沿水平方向向右做平拋運(yùn)動(dòng)小球可能做自由落體運(yùn)動(dòng)答案BCD

解析小球沖上小車，又返回，到離開小車的整個(gè)過程，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，取水平向右為正方向?由動(dòng)量寸恒疋律得mV0二Mv+mv'由機(jī)械能守恒有:2mv02-*Mv2+2mv/2聯(lián)立得，v如果m<M，”與v0方向相反，小球離開小車后向左做平拋運(yùn)動(dòng)；如果m二M,d二0,小球離開小車后做自由落體運(yùn)動(dòng)；如果m>M,V與vo方向相同，小球離開小車后向右做平拋運(yùn)動(dòng)，所以B、C、D選項(xiàng)正確.3.（彈簧一小球模型）如圖7,在光滑水平直軌道上有三個(gè)質(zhì)量均為m的物塊A、B、C.B的左側(cè)固定一水平輕彈簧（彈簧左側(cè)的擋板質(zhì)量不計(jì)）.設(shè)A以速度v0向B運(yùn)動(dòng)，壓縮彈簧；當(dāng)A、B速度相等時(shí)，B與C恰好相碰并粘接在一起，然后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)?假設(shè)B和C碰撞過程時(shí)間極短，求從A開始?jí)嚎s彈簧直至與彈簧分離的過程中.（1）整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能；（2）彈簧被壓縮到最短時(shí)的彈性勢(shì)能.答案1答案113⑴石叫（2）48叫解析A、B相互作用過程動(dòng)量寸恒、機(jī)械能也寸恒，而B、C相碰粘接在一起時(shí)，動(dòng)量寸恒，機(jī)械能不寸恒，系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能則為B、C相碰過程中損失的機(jī)械能?當(dāng)A、B、C速度相等時(shí)，彈性勢(shì)能最大.⑴從A壓縮彈簧到A與B具有相同速度V］時(shí)，對(duì)A、B與彈簧組成的系統(tǒng)，以v0的方向?yàn)檎较?，由?dòng)量寸恒定律得mv。二2mV］①此時(shí)B與C發(fā)生完全非彈性碰撞，設(shè)碰撞后瞬間的速度為v2，損失的機(jī)械能為△￡.對(duì)B、C組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量寸恒定律和能量寸恒定律得m。]二2mv2②2mv]2-AE+2(2m)v22③聯(lián)立①②③式得AE二^mvo2.④160（2）由②式可知叮乞，A將繼續(xù)壓縮彈簧，直至A、B、C三者速度相同，設(shè)此速度為v3，此時(shí)彈簧被壓縮至最短，其彈性勢(shì)能為E，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律得mv0二3mv3⑤2mv02-=2（3m）v32+Ep@聯(lián)立④⑤⑥式得E二48mv02.480專題強(qiáng)化練/克雉解疑藉準(zhǔn)高效丫基礎(chǔ)強(qiáng)化練1.如圖1所示，水平彈簧的一端固定在豎直墻上，質(zhì)量為m的光滑弧形槽靜止在光滑水平面上，底部與水平面平滑連接，一個(gè)質(zhì)量也為m的小球從槽上h高處開始自由下滑（）在以后的運(yùn)動(dòng)過程中，小球和槽組成的系統(tǒng)動(dòng)量始終守恒在下滑過程中小球和槽之間的相互作用力始終不做功被彈簧反彈后，小球和槽都做速率不變的直線運(yùn)動(dòng)被彈簧反彈后，小球和槽的機(jī)械能守恒，小球能回到槽上h高處答案C解析小球從弧形槽上下滑過程中，小球和槽組成的系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒，但是，當(dāng)小球接觸彈簧的過程中，彈簧會(huì)對(duì)小球施加一個(gè)水平向左的外力，故在此運(yùn)動(dòng)過程中小球和槽組成的系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，A錯(cuò)誤；小球在弧形槽中下滑過程中和弧形槽之間產(chǎn)生了一個(gè)垂直于接觸面的彈力，而且在彈力水平分力的方向上兩者都發(fā)生了位移，故小球和弧形槽之間的相互作用力會(huì)做功，B錯(cuò)誤；小球下滑時(shí)，與光滑弧形槽在水平方向上動(dòng)量守恒，所以小球離開光滑弧形槽時(shí)，兩者速度大小相等、方向相反，因此，小球被彈簧反彈后，速度與光滑弧形槽速度相等，且都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，小球不能追上光滑弧形槽，C正確，D錯(cuò)誤.（多選）如圖2所示，與水平輕彈簧相連的物體A停放在光滑的水平面上，物體B沿水平方向向右運(yùn)動(dòng)，跟輕彈簧相碰.在B跟彈簧相碰后，對(duì)于A、B和輕彈簧組成的系統(tǒng)，下列說法中正確的是（）BvA彈簧壓縮量最大時(shí)，A、B的速度相同彈簧壓縮量最大時(shí)，A、B的動(dòng)能之和最小彈簧被壓縮的過程中系統(tǒng)的總動(dòng)量不斷減少物體A的速度最大時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能為零答案ABD解析物體B與彈簧接觸時(shí)，彈簧發(fā)生形變，產(chǎn)生彈力，可知B做減速運(yùn)動(dòng)，A做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，彈簧的壓縮量最大，故A正確.A、B和彈簧組成的系統(tǒng)能量守恒，彈簧壓縮量最大時(shí)，彈性勢(shì)能最大，此時(shí)A、B的動(dòng)能之和最小，故B正確?彈簧在壓縮的過程中，A、B和彈簧組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，故C錯(cuò)誤?當(dāng)兩者速度相等時(shí)，彈簧的壓縮量最大，然后A繼續(xù)加速，B繼續(xù)減速，彈簧逐漸恢復(fù)原長(zhǎng)，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)/的速度最大，此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為零，故D正確.3.（2020?日照市3月模擬）A、B兩小球靜止在光滑水平面上，用水平輕彈簧相連接，A、B兩球的質(zhì)量分別為m和M（m<M）.若使A球獲得瞬時(shí)速度隕如圖3甲），彈簧壓縮到最短時(shí)的長(zhǎng)度為厶；若使B球獲得瞬時(shí)速度e（如圖乙），彈簧壓縮到最短時(shí)的長(zhǎng)度為L(zhǎng)2,則L1與L2的大小關(guān)系為（）fc-tff甲6圖3A.L]>L2B.L]<L2C.L]=L2D.不能確定答案C解析當(dāng)彈簧壓縮到最短時(shí)，兩球的速度相同，對(duì)題圖甲取A的初速度方向?yàn)檎较?，由?dòng)量守恒定律得：mv二（m+M）v/由機(jī)械能守恒定律得：Ep二2mv2-2（m+M）v'2聯(lián)立解得彈簧壓縮到最短時(shí)E二mMv2（m+M）同理：對(duì)題圖乙取B的初速度方向?yàn)檎较?，?dāng)彈簧壓縮到最短時(shí)有：E二mMv22（m+M）故彈性勢(shì)能相等，則有:￡二厶2,故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.B能力綜合練在光滑的水平冰面上，放置一個(gè)截面為四分之一圓的半徑足夠大的光滑的可自由移動(dòng)的曲面，一個(gè)坐在冰車上的小孩手扶小球靜止在冰面上.某時(shí)刻小孩將小球以v0=2m/s的速度向曲面推出(如圖4所示).已知小孩和冰車的總質(zhì)量為m1=40kg，小球質(zhì)量為m2=2kg，曲面質(zhì)量為m3=10kg.試求小孩將球推出后還能否再接到球，若能，貝9求出再接到球后人的速度大小，若不能，則求出球再滑回水平冰面上的速度大小.答案能63m/s解析以小球被推出的方向?yàn)檎较颍送魄蜻^程，水平方向動(dòng)量守恒：0=m2v0+m1v1得匕二-0.1m/s球和曲面相互作用時(shí)，水平方向動(dòng)量守恒:m2v0二m2v2+m3v3由機(jī)械能守恒得：2m2v02-2m2v22+2m3v32得v2=-3m/slv2l>lv1l，所以人能再接住球，人接球的過程，由動(dòng)量守恒得：m1v1+m2v2二(m1+m2)v共得v共二-*m/s,負(fù)號(hào)表示方向向右.如圖5所示，靜止放置在光滑水平面上的A、B、C三個(gè)滑塊，滑塊A、B間通過一水平輕彈簧相連，滑塊A左側(cè)緊靠一豎直固定擋板P，某時(shí)刻給滑塊C施加一個(gè)水平?jīng)_量使其以初速度v0水平向左運(yùn)動(dòng)，滑塊C撞上滑塊B的瞬間二者粘在一起共同向左運(yùn)動(dòng)，彈簧被壓縮至最短的瞬間具有的彈性勢(shì)能為1.35J，此時(shí)撤掉固定擋板P，之后彈簧彈開釋放勢(shì)能，已知滑塊A、B、C的質(zhì)量分別為mA=mB=0.2kg，mC=0.1kg，(取\.'1^=3.16)求:滑塊C的初速度v0的大??；當(dāng)彈簧彈開后恢復(fù)原長(zhǎng)的瞬間，滑塊B、C的速度大小;從滑塊B、C壓縮彈簧至彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)的過程中，彈簧對(duì)滑塊B、C整體的沖量.答案(1)9m/s(2)1.9m/s(3)1.47N?s,方向水平向右解析⑴滑塊C撞上滑塊B的過程中，滑塊B、C組