2020-2021數(shù)學(xué)蘇教版第一冊章末綜合測評6冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)新教材蘇教版必修第一冊章末綜合測評6冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)含解析章末綜合測評(六）冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)(滿分：150分時間：120分鐘）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．若函數(shù)f(x）是定義在R上的奇函數(shù)，feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,4)））＝1，當(dāng)x〈0時,f(x)＝log2（－x）＋m，則實(shí)數(shù)m＝()A．－1B．0C．1D．2C［∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù),feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，4)))＝1，且x〈0時，f（x）＝log2（－x)＋m，∴feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(1,4)))＝log2eq\f（1，4）＋m＝－2＋m＝－1,∴m＝1．故選C．]2．若a>1，－1〈b<0，則函數(shù)y＝ax＋b的圖象一定在()A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限A[y＝ax的圖象在第一、二象限．∵－1<b<0，∴y＝ax＋b的圖象是由y＝ax的圖象向下平移｜b|個單位長度,可知y＝ax＋b的圖象過第一、二、三象限．］3．若log34·log48·log8m＝log416，則mA．eq\f(1，2) B．9C．18 D．27B[log416＝2，由換底公式得log34·log48·log8m＝log3m＝2,∴4．已知函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2x，x≥a，－x,x<a)），若函數(shù)f(x）存在實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（)A．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－∞，0)） B．eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－∞,1))C．eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1，＋∞)） D．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，＋∞)）D[函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥a,－x，x<a)）的圖象如圖：若函數(shù)f(x）存在實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，＋∞）．故選D．］5．函數(shù)y＝f(x)的圖象與g(x）＝log2x(x〉0）的圖象關(guān)于直線y＝x對稱,則f(－2）＝（)A．－1 B．1C．－eq\f（1，4) D．eq\f（1,4)D［由y＝f(x）的圖象與g（x）＝log2x的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，可知f（x）與g（x）互為反函數(shù)．令log2x＝－2，得x＝eq\f(1,4)，即f(－2）＝eq\f(1，4）．］6．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0。A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜bC．c＜a＜b D．b＜c＜aB[∵a＝log20.2＜0，b＝20.2＞1,c＝0．20。3∈(0,1)，∴a〈c〈b．故選B．]7．已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，f（x＋1）為偶函數(shù)，且對?x1〈x2≤1，滿足eq\f(fx2－fx1，x2－x1）〈0．若f(3)＝1，則不等式f(log2x)<1的解集為（）A．eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）,8)) B．(1,8）C．eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)）)∪（8，＋∞) D．（－∞，1)∪(8，＋∞）A［因?yàn)閷?x1〈x2≤1，滿足eq\f(fx2－fx1，x2－x1)<0,所以y＝f（x）當(dāng)x≤1時,是單調(diào)遞減函數(shù),又因?yàn)閒（x＋1）為偶函數(shù),所以y＝f(x）關(guān)于直線x＝1對稱，所以函數(shù)y＝f(x)當(dāng)x>1時，是單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)閒(3)＝1，所以有f(－1）＝1，當(dāng)log2x≤1，即當(dāng)0〈x≤2時，f（log2x)<1?f(log2x）〈f(－1)?log2x〉－1?x〉eq\f（1,2），∴eq\f（1，2)〈x≤2；當(dāng)log2x〉1,即當(dāng)x>2時,f（log2x)〈1?f（log2x)〈f(3)?log2x<3?x<8，∴2<x〈8,綜上所述：不等式f（log2x)〈1的解集為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2），8))．故選A．］8．設(shè)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則()二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分,有選錯的得0分）9．已知a>0，且a≠1，下列函數(shù)中一定經(jīng)過點(diǎn)（2，1）的是（)A．y＝loga（x－1)＋1 B．y＝ax－2C．y＝（x－1）a D．y＝ax2－5ax＋6aABCD[因?yàn)閤＝2時，y＝loga(2－1）＋1＝1，y＝a2－2＝1,y＝(2－1)a＝1，y＝4a－10a＋10．設(shè)函數(shù)f（x）＝ln（1＋x)－ln(1－x），則f(x）是（）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．在(0,1）上是增函數(shù) D．在（0，1)上是減函數(shù)AC[由已知可得，f（x）的定義域?yàn)?－1，1),f（x)＝lneq\f(1＋x，1－x)＝lneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2,1－x)－1）)，又y＝eq\f（2,1－x）－1在(0,1)上為增函數(shù)，∴f(x）在(0，1)上是增函數(shù),又f（－x)＝ln（1－x)－ln(1＋x）＝－f（x）,∴f(x)為奇函數(shù)．故選AC．]11．設(shè)函數(shù)feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的定義域?yàn)镈，若對于任意x∈D,存在y∈D使eq\f(fx－fy，2）＝C(C為常數(shù)）成立,則稱函數(shù)f（x)在D上的“半差值”為C．下列四個函數(shù)中,滿足所在定義域上“半差值”為1的函數(shù)是（）A．y＝x3＋1(x∈R) B．y＝2x(x∈R)C．y＝lnx（x>0） D．y＝x2AC［即對任意定義域中的x，存在y，使得f（y）＝f(x）－2;由于A、C值域?yàn)镽，故滿足;對于B，當(dāng)x＝0時，函數(shù)值為1，此時不存在自變量y，使得函數(shù)值為－1,故B不滿足；對于D，當(dāng)x＝0時，不存在自變量y，使得函數(shù)值為－1,所以D不滿足．故選AC．］12．已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x，則以下結(jié)論錯誤的是(）A．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有eq\f（fx1－fx2,x1－x2)<0B．任意的x1，x2∈R且x1≠x2,都有eq\f（gx1－gx2，x1－x2)<0C．f（x）有最小值,無最大值D．g（x）有最小值，無最大值A(chǔ)BC［對A,f（x)＝ex－e－x中，y＝ex為增函數(shù)，y＝e－x為減函數(shù)．故f（x）＝ex－e－x為增函數(shù)．故任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有eq\f(f\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x1))－f\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x2)）,x1－x2）〉0．故A錯誤．對B，易得反例g(1)＝e1＋e－1，g（－1）＝e－1＋e1＝g(1）．故eq\f(g\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x1））－g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x2)），x1－x2）<0不成立．故B錯誤．對C，因?yàn)閒（x)＝ex－e－x為增函數(shù)，且當(dāng)x→－∞時f(x)→－∞，當(dāng)x→＋∞時f（x）→＋∞．故f(x)無最小值,無最大值．故C錯誤．對D,g(x）＝ex＋e－x≥2eq\r(ex·e－x)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)ex＝e－x即x＝0時等號成立．當(dāng)x→＋∞時，g（x）→＋∞．故g(x）有最小值，無最大值．故選ABC．]三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上）13．若函數(shù)f(x）＝x2－（a－2）x＋1（x∈R)為偶函數(shù)，則a＝，logaeq\f(2,7)＋logeq\s\do12（eq\f（1,a）)eq\f（8,7)＝．（本題第一空2分，第二空3分）2－2［函數(shù)f（x)為偶函數(shù)，則f（x)＝f（－x),即：x2－(a－2)x＋1＝x2＋(a－2)x＋1恒成立，∴a－2＝0，a＝2．則logaeq\f(2，7)＋logeq\s\do12(eq\f(1，a)）eq\f(8,7）＝log2eq\f(2,7)＋log2eq\f（7,8）＝log2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2,7)×\f（7,8））)＝log2eq\f(1，4）＝－2．]14．已知a>0,若函數(shù)f(x)＝log3(ax2－x)在［3，4］上是增函數(shù),則a的取值范圍是．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，3），＋∞)）［要使f(x）＝log3(ax2－x)在［3，4]上單調(diào)遞增，則y＝ax2－x在［3,4]上單調(diào)遞增，且y＝ax2－x〉0恒成立，即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（1，2a)≤3，,9a－3〉0，)）解得a>eq\f（1，3)．］15．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染指數(shù)量Pmg/L,與時間th間的關(guān)系為P＝P0e－kt．如果在前5個小時消除了10%的污染物，則10小時后還剩％的污染物．81［由題意知，前5小時消除了10％，即（1－10%）P0＝P0·e－5k．解得k＝－eq\f(1,5）ln0．9．則10小時后還剩P＝P0·e－10k＝P0·e2ln0．9＝P0·eln0．81＝0．81P0＝81％P0．]16．設(shè)實(shí)數(shù)a，b是關(guān)于x的方程|lgx|＝c的兩個不同實(shí)數(shù)根,且a<b<10，則abc的取值范圍是．(0,1)［由題意知，在（0,10)上,函數(shù)y＝｜lgx｜的圖象和直線y＝c有兩個不同交點(diǎn)，所以|lga|＝|lgb｜,又因?yàn)閥＝lgx在(0，＋∞）上單調(diào)遞增，且a〈b<10,所以lga＝－lgb,所以lga＋lgb＝0，所以ab＝1，0<c〈lg10＝1，所以abc的取值范圍是(0,1)．]四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．(本小題滿分10分）已知指數(shù)函數(shù)f（x）＝ax(a〉0,且a≠1)過點(diǎn)(－2,9)．（1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2）若f（2m－1)－f(m＋3）〈0，求實(shí)數(shù)m[解］（1）將點(diǎn)(－2，9)代入f(x）＝ax(a>0，a≠1）得a－2＝9,解得a＝eq\f(1，3），∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,3))）eq\s\up12（x)．(2)∵f(2m－1)－f（m∴f（2m－1)<f（m∵f(x）＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,3)))eq\s\up12(x)為減函數(shù)，∴2m－1>m＋3，解得m∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(4,＋∞)．18．(本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)y＝f(x)且lg（lgy)＝lg(3x)＋lg（3－x)．(1）求f（x）的解析式及定義域;（2）求f（x)的值域．［解］(1）∵lg(lgy）＝lg（3x）＋lg(3－x），∴l(xiāng)g（lgy)＝lg[3x(3－x)］，∴l(xiāng)gy＝3x（3－x),∴y＝103x（3－x）,即f(x)＝103x(3－x）．∵eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（3x>0，,3－x〉0，）)∴0〈x〈3，即函數(shù)的定義域?yàn)?0,3）．（2)令t＝3x（3－x)＝－3eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f（3,2）)）eq\s\up12（2）＋eq\f（27，4），則f(x)＝10t．∵x∈(0，3），∴t∈eq\b\lc\(\rc\］(\a\vs4\al\co1（0,\f（27，4））），∴10t∈(1，10eq\s\up12(eq\f（27,4））］，∴函數(shù)的值域?yàn)椋?,10eq\s\up12(eq\f（27,4））]．19．(本小題滿分12分)已知冪函數(shù)y＝f（x）＝x－2eq\s\up12(m2－m＋3）,其中m∈{x|－2<x<2,x∈Z}，滿足:（1)是區(qū)間(0，＋∞）上的增函數(shù)；(2)對任意的x∈R，都有f（－x)＋f(x)＝0．求同時滿足(1),（2)的冪函數(shù)f（x)的解析式，并求x∈[0,3］時f（x)的值域．［解]因?yàn)閙∈｛x|－2<x<2，x∈Z｝，所以m＝－1,0，1．因?yàn)閷θ我鈞∈R，都有f(－x)＋f(x）＝0，即f（－x)＝－f(x），所以f（x）是奇函數(shù)．當(dāng)m＝－1時，f(x)＝x2只滿足條件（1)而不滿足條件（2）；當(dāng)m＝1時,f(x)＝x0，條件(1)、（2）都不滿足；當(dāng)m＝0時，f(x）＝x3條件（1）、(2)都滿足，且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．所以冪函數(shù)f(x）的解析式為f（x）＝x3所以x∈[0,3］時,函數(shù)f（x)的值域?yàn)閇0,27］．20．(本小題滿分12分)(1）已知－1≤x≤2,求函數(shù)f(x）＝3＋2·3x＋1－9x的值域；（2）已知－3≤logeq\s\do12（eq\f(1,2)）x≤－eq\f(3，2），求函數(shù)f(x）＝log2eq\f(x，2)·log2eq\f(x，4）的值域．[解]（1)f(x）＝3＋2·3x＋1－9x＝－(3x)2＋6·3x＋3，令3x＝t,則y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12，∵－1≤x≤2，∴eq\f（1,3)≤t≤9，∴當(dāng)t＝3，即x＝1時，y取得最大值12；當(dāng)t＝9，即x＝2時，y取得最小值－24，即f(x)的最大值為12，最小值為－24,所以函數(shù)f(x）的值域?yàn)椋郏?4，12]．（2)∵－3≤logeq\s\do12(eq\f(1,2）)x≤－eq\f(3，2）,∴－3≤eq\f(log2x，log2\f（1，2））≤－eq\f(3,2），即－3≤eq\f(log2x,－1）≤－eq\f(3，2),∴eq\f(3,2)≤log2x≤3．∵f（x）＝log2eq\f（x，2)·log2eq\f（x,4)＝(log2x－log22）·（log2x－log24)＝(log2x－1)·(log2x－2）．令t＝log2x，則eq\f(3，2)≤t≤3，f（x）＝g（t)＝(t－1)(t－2)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f（3,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1，4）．∵eq\f（3,2)≤t≤3，∴f(x)max＝g(3)＝2,f(x）min＝geq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3,2）))＝－eq\f(1,4）．∴函數(shù)f（x）＝log2eq\f(x，2）·log2eq\f（x，4）的值域?yàn)閑q\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（－\f（1，4），2)）．21．(本小題滿分12分)已知a＞0且滿足不等式22a＋1＞2(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;（2）求不等式loga（3x＋1)<loga(7－5x)的解集;(3)若函數(shù)y＝loga(2x－1)在區(qū)間[1，3］上有最小值為－2,求實(shí)數(shù)a的值．［解］（1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a∴a＜1，即0＜a＜1．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0,1）．(2）由(1)得,0＜a＜1，∵loga（3x＋1)<loga(7－5x），∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1〉0，，7－5x〉0，，3x＋1>7－5x，)）即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x〉－\f(1，3），,x〈\f（7，5），,x>\f（3,4），)）解得eq\f(3,4）<x〈eq\f(7，5)．即不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3,4）,\f（7,5)））．(3）∵0＜a＜1,∴函數(shù)y＝loga(2x－1)在區(qū)間［1，3］上為減函數(shù),∴當(dāng)x＝3時，y有最小值為－2，即loga5＝－2，∴a－2＝eq\f(1,a2）＝5,解得a＝eq\f（\r(5）,5）．22．（本小題滿分12分）如圖,已知A(x1，m)，B（x2，m＋2），C（x3，m＋4）(其中m≥2)是指數(shù)函數(shù)f（x)＝2x圖象上的三點(diǎn)．(1）當(dāng)m＝2時,求f(x1＋x2＋x3)的值;（2）設(shè)L＝x2＋x3－x1，求L關(guān)于m的函數(shù)L（m)；（3）設(shè)△ABC的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)S(m）及其最大值．[解］(1)由題意A(x1,m），B（x2，m＋2)，C(x3,m＋4)(其中m≥2)是指數(shù)函數(shù)f（x）＝2x圖象上的三點(diǎn),2x1＝m，2x2＝m＋2,2x3＝m＋4，當(dāng)m＝2時，2x1＝2,2x2＝4,2x3＝6，f（x1＋x2＋x3)＝2x1＋x2＋x3＝2x1·2x2·2x3＝2×4×6＝48．(2)x1＝log2m，x2＝log2（m＋2），x3＝log2（mL＝x2＋x3－x1＝log2(m＋2）＋log2(m＋4）－log2＝log2eq\f(m＋4m＋2,m）,即L（m)＝log2eq\f