實(shí)際問題與二次函數(shù)-知識(shí)講解(基礎(chǔ))

實(shí)際問題與次函數(shù)—知講解（基礎(chǔ)【習(xí)標(biāo)1.能運(yùn)用二次函數(shù)分析和解決簡(jiǎn)的實(shí)際問題，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)．2.經(jīng)歷探索實(shí)際問題與二次函數(shù)關(guān)系的過程，深刻理解二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型．【點(diǎn)理要一列次數(shù)應(yīng)題列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學(xué)習(xí)了二次函后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個(gè)變量的等式．對(duì)于應(yīng)用題要注意以下步驟：(1)審清題意，弄清題中涉及哪量，已知量有幾個(gè)，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)(即函數(shù)關(guān)系)．設(shè)兩個(gè)變量，注意分清自變量和因變量，同時(shí)還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確．(3)列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)．按目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題。檢所得解是否符合實(shí)際：即是否為所提問題的答案．寫答案．要詮：常見的問題：求最大小值如最大利潤(rùn)、最大面積、最小周長(zhǎng))、涵洞、橋梁、拋物體、拋線的模型問題等.解決這些實(shí)際題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式要二建二函模求實(shí)問一般步驟：(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；(2)已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)合理地設(shè)出所求函關(guān)系式(4)代入已知條件或點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)系式利用關(guān)系式求解問題．要詮：(1)利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問.研究實(shí)際問題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意.(2)對(duì)于本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)由低到處理好如下三個(gè)方面的問題：①首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；②學(xué)會(huì)從實(shí)際問題中建立二次函數(shù)的模型；③借助二次函數(shù)的性質(zhì)來解決實(shí)際問【型題

22222222類一利二函求際題的大小值（2015?東海縣二模宿松家福超市”以每件20元的價(jià)格進(jìn)購一批商品銷一階段后發(fā)現(xiàn)該商品每天的銷售量y（）與售價(jià)x（元件）之間的函數(shù)關(guān)系如圖（≤x≤60（）每天銷售量y（件）與價(jià)（元件）之間的函數(shù)表達(dá)式；（）該商品每天的利潤(rùn)為w（確定（元）與售價(jià)（元件的函數(shù)表達(dá)式，并求售價(jià)x為多少時(shí)，每天的利潤(rùn)w最大？最利潤(rùn)是多少？【思路點(diǎn)撥】（）別利用當(dāng)20時(shí)設(shè)y=ax+b，40＜x≤60，設(shè)y=mx+n，利用待定系數(shù)法求一函數(shù)解析式即可；（）用1）中所求進(jìn)而得出w（）與售價(jià)（元件）的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求出函數(shù)最值．【答案與解析】解）分兩種情況：當(dāng)≤x≤40時(shí)，設(shè)y=ax+b根據(jù)題意，得

，解得，故y=x+20；當(dāng)40≤60時(shí)設(shè)y=mx+n，根據(jù)題意，得

，解得

，故y=﹣2x+140；故每天銷售量y（件）與售價(jià)x元件）之間的函數(shù)表達(dá)式是：

x(20≤≤40)(40x60)（）

w

x20)(x20)x(20≤≤2x22180(40＜x≤

，當(dāng)20≤40時(shí)，﹣，由于1＞拋物開口向上，且x0時(shí)隨的增而增大，又20≤40因此當(dāng)時(shí)，w=40﹣400=1200最大值當(dāng)40＜x≤60時(shí)w=﹣+180x﹣2800=2（﹣45）+1250由于﹣＜，物線開口向下，＜x≤60，

22222222所以當(dāng)時(shí)，w=1250．最大值綜上所述，當(dāng)x=45時(shí)，w=1250最大值【點(diǎn)評(píng)1．讀懂題意，弄清各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵；2．在實(shí)際問題中遇到最大(小)問題時(shí)，往往先建立函數(shù)關(guān)系式，然后通過配方化為頂點(diǎn)式求解．舉反：【變營）某服店購進(jìn)單價(jià)為元童裝若干件，銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價(jià)為元時(shí)平均每天能售出件，而當(dāng)銷售價(jià)每降低2元平均每天能多售出件當(dāng)每件的定價(jià)為元，該服裝店平均每天的銷售利潤(rùn)最大．【答案22.【解析】解：設(shè)定價(jià)為x，根據(jù)題意得y=（x﹣15[8+2（﹣x）=﹣+88x∴y=﹣+88x﹣870=﹣2（﹣）+98∵a=﹣＜0∴拋物線開口向下，∴當(dāng)時(shí)，y=98最大值故答案為：．類二利二函解拋線建問2．如圖所示，某公路隧道橫截為拋物線，其最大高度為6米底部寬度OM為12米現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，所在線為x軸立直角坐標(biāo)系．直寫出點(diǎn)M及物線頂點(diǎn)P的標(biāo)；求條拋物線的解析式；若搭建一個(gè)矩形支撐架ADCB，使D在拋物線上點(diǎn)地面OM上，則這個(gè)“支撐”總長(zhǎng)的最大值是多少【答案與解析】(1)M(12，，P(6，．(2)設(shè)拋物線解析式為：

y(x

2

．∵拋線

y(

2

經(jīng)過點(diǎn)0，，∴

a2，

16

．∴拋線解析式為：

y

11(x，y6

2

x

．

(3)設(shè)A(m，0)，則，，

12,

16

mm

1，,2m6

．∴支架總長(zhǎng)

ADDC

16

m

2

1m6

2

112(m33

2

．∵此次函數(shù)的圖象開口向下．∴當(dāng)m＝時(shí)有大值為15米．【點(diǎn)評(píng)根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式，又拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，不難求出其解析式，設(shè)(m，，用含m的子表示支撐架總長(zhǎng)AD+DC+CB，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解．類三利二函求水投等際題3．某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10m跳臺(tái)跳水訓(xùn)練時(shí)，身(看一)在空中的運(yùn)動(dòng)路線是如圖所示坐標(biāo)系下經(jīng)過原點(diǎn)O的條拋物線(圖標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條)．在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，正常情況下，該運(yùn)動(dòng)員在空中最高處距水面1

23

m，入水處距池邊的距離為4m同時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在距離水面高度為以前必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢(shì)，否則就會(huì)出現(xiàn)失誤．求條拋物線的關(guān)系式；(2)在某次試跳中測(cè)得運(yùn)動(dòng)員在中的運(yùn)動(dòng)路線(1)的拋物線，且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí)，距池邊的水平距離為

3

35

m，問此次跳水會(huì)不會(huì)失?并通計(jì)算說明理由．【答案與解析】(1)在給定的直角坐標(biāo)系下，設(shè)最高點(diǎn)為，入水點(diǎn)為，拋物線的關(guān)系式為

yax

．由題意知，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)依(0，0)(2-10)且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

23

．

22∴

ac2,b

解得c0.

或

3∵拋物線對(duì)稱軸在y軸側(cè)，∴

b2

，又∵拋物線開口向下，∴a＜，＞，

a

25，b6

，＝．∴拋物線關(guān)系式為

y

25x26

．當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在空中距池邊的水平距離為

3

35

m時(shí)即3x5

10816時(shí)，y6353

．∴此時(shí)運(yùn)動(dòng)員距水面的高為10因此，此次跳水會(huì)出現(xiàn)失誤．

163

．【點(diǎn)評(píng)(1)由圖中所示直角坐標(biāo)系，可知拋物線經(jīng)過、A、三點(diǎn)O、B兩點(diǎn)坐標(biāo)由分析可知O(0，0)、，-10)，點(diǎn)的縱標(biāo)為

23

，故可設(shè)拋物線

y2

，求得a、b、的值．(2)會(huì)會(huì)產(chǎn)生失誤即運(yùn)員完成動(dòng)作時(shí)到水面的距離是否小于5米換句話說就是完成動(dòng)作時(shí)所對(duì)應(yīng)的拋物線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)絕對(duì)值是否小于．舉反：【變】一運(yùn)動(dòng)員在距籃下水平距離米處起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米，到最大高度3.5米，然后準(zhǔn)確落入籃圈，已知籃圈中心到地面的距離為3.05米若運(yùn)動(dòng)員身高1.8米球在頭頂上方0.25處出手，問：球出手時(shí)，他跳離地面的高度是多少？【答案如圖建立直角坐標(biāo)系∵點(diǎn)(2.5，是段拋物線的點(diǎn)∴設(shè)解析式為：(2.5)

2

≠（≤≤入點(diǎn)4,3.05求：a=-0.2∴yx2.5)

2

3.5（≤≤4即x2.25,

當(dāng)=0時(shí)，=2.25∴距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.2米類四利二函求形積題4．在一邊靠墻的空地上，用磚圍成三格矩形場(chǎng)地，如圖所示．已知磚墻在地面上占地總長(zhǎng)度160m，問分隔墻在地面上的度x為多少時(shí)所圍場(chǎng)地總面積最?并求最大面?【思路點(diǎn)撥】利用矩形的面積公式建立所圍場(chǎng)地總面積與分隔墻在地面上的長(zhǎng)度x的數(shù)關(guān)系式，寫成頂點(diǎn)式即