實際問題與二次函數(shù)-知識講解(基礎)

實際問題與次函數(shù)—知講解（基礎【習標1.能運用二次函數(shù)分析和解決簡的實際問題，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力和應用數(shù)學的意識．2.經(jīng)歷探索實際問題與二次函數(shù)關(guān)系的過程，深刻理解二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型．【點理要一列次數(shù)應題列二次函數(shù)解應用題與列整式方程解應用題的思路和方法是一致的，不同的是，學習了二次函后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個變量的等式．對于應用題要注意以下步驟：(1)審清題意，弄清題中涉及哪量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)(即函數(shù)關(guān)系)．設兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設變量的單位要準確．(3)列函數(shù)表達式，抓住題中含等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)．按目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應的問題。檢所得解是否符合實際：即是否為所提問題的答案．寫答案．要詮：常見的問題：求最大小值如最大利潤、最大面積、最小周長)、涵洞、橋梁、拋物體、拋線的模型問題等.解決這些實際題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式要二建二函模求實問一般步驟：(1)恰當?shù)亟⒅苯亲鴺讼担?2)已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標；(3)合理地設出所求函關(guān)系式(4)代入已知條件或點的坐標，求出關(guān)系式利用關(guān)系式求解問題．要詮：(1)利用二次函數(shù)解決實際問題要建立數(shù)學模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問.研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應具有實際意.(2)對于本節(jié)的學習，應由低到處理好如下三個方面的問題：①首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；②學會從實際問題中建立二次函數(shù)的模型；③借助二次函數(shù)的性質(zhì)來解決實際問【型題

22222222類一利二函求際題的大小值（2015?東海縣二模宿松家福超市”以每件20元的價格進購一批商品銷一階段后發(fā)現(xiàn)該商品每天的銷售量y（）與售價x（元件）之間的函數(shù)關(guān)系如圖（≤x≤60（）每天銷售量y（件）與價（元件）之間的函數(shù)表達式；（）該商品每天的利潤為w（確定（元）與售價（元件的函數(shù)表達式，并求售價x為多少時，每天的利潤w最大？最利潤是多少？【思路點撥】（）別利用當20時設y=ax+b，40＜x≤60，設y=mx+n，利用待定系數(shù)法求一函數(shù)解析式即可；（）用1）中所求進而得出w（）與售價（元件）的函數(shù)表達式，進而求出函數(shù)最值．【答案與解析】解）分兩種情況：當≤x≤40時，設y=ax+b根據(jù)題意，得

，解得，故y=x+20；當40≤60時設y=mx+n，根據(jù)題意，得

，解得

，故y=﹣2x+140；故每天銷售量y（件）與售價x元件）之間的函數(shù)表達式是：

x(20≤≤40)(40x60)（）

w

x20)(x20)x(20≤≤2x22180(40＜x≤

，當20≤40時，﹣，由于1＞拋物開口向上，且x0時隨的增而增大，又20≤40因此當時，w=40﹣400=1200最大值當40＜x≤60時w=﹣+180x﹣2800=2（﹣45）+1250由于﹣＜，物線開口向下，＜x≤60，

22222222所以當時，w=1250．最大值綜上所述，當x=45時，w=1250最大值【點評1．讀懂題意，弄清各個數(shù)量之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵；2．在實際問題中遇到最大(小)問題時，往往先建立函數(shù)關(guān)系式，然后通過配方化為頂點式求解．舉反：【變營）某服店購進單價為元童裝若干件，銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：當售價為元時平均每天能售出件，而當銷售價每降低2元平均每天能多售出件當每件的定價為元，該服裝店平均每天的銷售利潤最大．【答案22.【解析】解：設定價為x，根據(jù)題意得y=（x﹣15[8+2（﹣x）=﹣+88x∴y=﹣+88x﹣870=﹣2（﹣）+98∵a=﹣＜0∴拋物線開口向下，∴當時，y=98最大值故答案為：．類二利二函解拋線建問2．如圖所示，某公路隧道橫截為拋物線，其最大高度為6米底部寬度OM為12米現(xiàn)以O點為原點，所在線為x軸立直角坐標系．直寫出點M及物線頂點P的標；求條拋物線的解析式；若搭建一個矩形支撐架ADCB，使D在拋物線上點地面OM上，則這個“支撐”總長的最大值是多少【答案與解析】(1)M(12，，P(6，．(2)設拋物線解析式為：

y(x

2

．∵拋線

y(

2

經(jīng)過點0，，∴

a2，

16

．∴拋線解析式為：

y

11(x，y6

2

x

．

(3)設A(m，0)，則，，

12,

16

mm

1，,2m6

．∴支架總長

ADDC

16

m

2

1m6

2

112(m33

2

．∵此次函數(shù)的圖象開口向下．∴當m＝時有大值為15米．【點評根據(jù)題意設拋物線解析式為頂點式，又拋物線經(jīng)過原點，不難求出其解析式，設(m，，用含m的子表示支撐架總長AD+DC+CB，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解．類三利二函求水投等際題3．某跳水運動員進行10m跳臺跳水訓練時，身(看一)在空中的運動路線是如圖所示坐標系下經(jīng)過原點O的條拋物線(圖標出的數(shù)據(jù)為已知條)．在跳某個規(guī)定動作時，正常情況下，該運動員在空中最高處距水面1

23

m，入水處距池邊的距離為4m同時，運動員在距離水面高度為以前必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會出現(xiàn)失誤．求條拋物線的關(guān)系式；(2)在某次試跳中測得運動員在中的運動路線(1)的拋物線，且運動員在空中調(diào)整好入水姿勢時，距池邊的水平距離為

3

35

m，問此次跳水會不會失?并通計算說明理由．【答案與解析】(1)在給定的直角坐標系下，設最高點為，入水點為，拋物線的關(guān)系式為

yax

．由題意知，、兩點的坐標依(0，0)(2-10)且頂點的縱坐標為

23

．

22∴

ac2,b

解得c0.

或

3∵拋物線對稱軸在y軸側(cè)，∴

b2

，又∵拋物線開口向下，∴a＜，＞，

a

25，b6

，＝．∴拋物線關(guān)系式為

y

25x26

．當運動員在空中距池邊的水平距離為

3

35

m時即3x5

10816時，y6353

．∴此時運動員距水面的高為10因此，此次跳水會出現(xiàn)失誤．

163

．【點評(1)由圖中所示直角坐標系，可知拋物線經(jīng)過、A、三點O、B兩點坐標由分析可知O(0，0)、，-10)，點的縱標為

23

，故可設拋物線

y2

，求得a、b、的值．(2)會會產(chǎn)生失誤即運員完成動作時到水面的距離是否小于5米換句話說就是完成動作時所對應的拋物線上的點的縱坐標絕對值是否小于．舉反：【變】一運動員在距籃下水平距離米處起投籃，球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離為2.5米，到最大高度3.5米，然后準確落入籃圈，已知籃圈中心到地面的距離為3.05米若運動員身高1.8米球在頭頂上方0.25處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？【答案如圖建立直角坐標系∵點(2.5，是段拋物線的點∴設解析式為：(2.5)

2

≠（≤≤入點4,3.05求：a=-0.2∴yx2.5)

2

3.5（≤≤4即x2.25,

當=0時，=2.25∴距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.2米類四利二函求形積題4．在一邊靠墻的空地上，用磚圍成三格矩形場地，如圖所示．已知磚墻在地面上占地總長度160m，問分隔墻在地面上的度x為多少時所圍場地總面積最?并求最大面?【思路點撥】利用矩形的面積公式建立所圍場地總面積與分隔墻在地面上的長度x的數(shù)關(guān)系式，寫成頂點式即