實際問題與二次函數(shù)-知識講解(基礎(chǔ))

實際問題與次函數(shù)—知講解（基礎(chǔ)【習(xí)標1.能運用二次函數(shù)分析和解決簡的實際問題，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識．2.經(jīng)歷探索實際問題與二次函數(shù)關(guān)系的過程，深刻理解二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型．【點理要一列次數(shù)應(yīng)題列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學(xué)習(xí)了二次函后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個變量的等式．對于應(yīng)用題要注意以下步驟：(1)審清題意，弄清題中涉及哪量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)(即函數(shù)關(guān)系)．設(shè)兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設(shè)變量的單位要準確．(3)列函數(shù)表達式，抓住題中含等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)．按目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題。檢所得解是否符合實際：即是否為所提問題的答案．寫答案．要詮：常見的問題：求最大小值如最大利潤、最大面積、最小周長)、涵洞、橋梁、拋物體、拋線的模型問題等.解決這些實際題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式要二建二函模求實問一般步驟：(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺讼担?2)已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標；(3)合理地設(shè)出所求函關(guān)系式(4)代入已知條件或點的坐標，求出關(guān)系式利用關(guān)系式求解問題．要詮：(1)利用二次函數(shù)解決實際問題要建立數(shù)學(xué)模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問.研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實際意.(2)對于本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)由低到處理好如下三個方面的問題：①首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；②學(xué)會從實際問題中建立二次函數(shù)的模型；③借助二次函數(shù)的性質(zhì)來解決實際問【型題

22222222類一利二函求際題的大小值（2015?東海縣二模宿松家福超市”以每件20元的價格進購一批商品銷一階段后發(fā)現(xiàn)該商品每天的銷售量y（）與售價x（元件）之間的函數(shù)關(guān)系如圖（≤x≤60（）每天銷售量y（件）與價（元件）之間的函數(shù)表達式；（）該商品每天的利潤為w（確定（元）與售價（元件的函數(shù)表達式，并求售價x為多少時，每天的利潤w最大？最利潤是多少？【思路點撥】（）別利用當(dāng)20時設(shè)y=ax+b，40＜x≤60，設(shè)y=mx+n，利用待定系數(shù)法求一函數(shù)解析式即可；（）用1）中所求進而得出w（）與售價（元件）的函數(shù)表達式，進而求出函數(shù)最值．【答案與解析】解）分兩種情況：當(dāng)≤x≤40時，設(shè)y=ax+b根據(jù)題意，得

，解得，故y=x+20；當(dāng)40≤60時設(shè)y=mx+n，根據(jù)題意，得

，解得

，故y=﹣2x+140；故每天銷售量y（件）與售價x元件）之間的函數(shù)表達式是：

x(20≤≤40)(40x60)（）

w

x20)(x20)x(20≤≤2x22180(40＜x≤

，當(dāng)20≤40時，﹣，由于1＞拋物開口向上，且x0時隨的增而增大，又20≤40因此當(dāng)時，w=40﹣400=1200最大值當(dāng)40＜x≤60時w=﹣+180x﹣2800=2（﹣45）+1250由于﹣＜，物線開口向下，＜x≤60，

22222222所以當(dāng)時，w=1250．最大值綜上所述，當(dāng)x=45時，w=1250最大值【點評1．讀懂題意，弄清各個數(shù)量之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵；2．在實際問題中遇到最大(小)問題時，往往先建立函數(shù)關(guān)系式，然后通過配方化為頂點式求解．舉反：【變營）某服店購進單價為元童裝若干件，銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價為元時平均每天能售出件，而當(dāng)銷售價每降低2元平均每天能多售出件當(dāng)每件的定價為元，該服裝店平均每天的銷售利潤最大．【答案22.【解析】解：設(shè)定價為x，根據(jù)題意得y=（x﹣15[8+2（﹣x）=﹣+88x∴y=﹣+88x﹣870=﹣2（﹣）+98∵a=﹣＜0∴拋物線開口向下，∴當(dāng)時，y=98最大值故答案為：．類二利二函解拋線建問2．如圖所示，某公路隧道橫截為拋物線，其最大高度為6米底部寬度OM為12米現(xiàn)以O(shè)點為原點，所在線為x軸立直角坐標系．直寫出點M及物線頂點P的標；求條拋物線的解析式；若搭建一個矩形支撐架ADCB，使D在拋物線上點地面OM上，則這個“支撐”總長的最大值是多少【答案與解析】(1)M(12，，P(6，．(2)設(shè)拋物線解析式為：

y(x

2

．∵拋線

y(

2

經(jīng)過點0，，∴

a2，

16

．∴拋線解析式為：

y

11(x，y6

2

x

．

(3)設(shè)A(m，0)，則，，

12,

16

mm

1，,2m6

．∴支架總長

ADDC

16

m

2

1m6

2

112(m33

2

．∵此次函數(shù)的圖象開口向下．∴當(dāng)m＝時有大值為15米．【點評根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為頂點式，又拋物線經(jīng)過原點，不難求出其解析式，設(shè)(m，，用含m的子表示支撐架總長AD+DC+CB，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解．類三利二函求水投等際題3．某跳水運動員進行10m跳臺跳水訓(xùn)練時，身(看一)在空中的運動路線是如圖所示坐標系下經(jīng)過原點O的條拋物線(圖標出的數(shù)據(jù)為已知條)．在跳某個規(guī)定動作時，正常情況下，該運動員在空中最高處距水面1

23

m，入水處距池邊的距離為4m同時，運動員在距離水面高度為以前必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會出現(xiàn)失誤．求條拋物線的關(guān)系式；(2)在某次試跳中測得運動員在中的運動路線(1)的拋物線，且運動員在空中調(diào)整好入水姿勢時，距池邊的水平距離為

3

35

m，問此次跳水會不會失?并通計算說明理由．【答案與解析】(1)在給定的直角坐標系下，設(shè)最高點為，入水點為，拋物線的關(guān)系式為

yax

．由題意知，、兩點的坐標依(0，0)(2-10)且頂點的縱坐標為

23

．

22∴

ac2,b

解得c0.

或

3∵拋物線對稱軸在y軸側(cè)，∴

b2

，又∵拋物線開口向下，∴a＜，＞，

a

25，b6

，＝．∴拋物線關(guān)系式為

y

25x26

．當(dāng)運動員在空中距池邊的水平距離為

3

35

m時即3x5

10816時，y6353

．∴此時運動員距水面的高為10因此，此次跳水會出現(xiàn)失誤．

163

．【點評(1)由圖中所示直角坐標系，可知拋物線經(jīng)過、A、三點O、B兩點坐標由分析可知O(0，0)、，-10)，點的縱標為

23

，故可設(shè)拋物線

y2

，求得a、b、的值．(2)會會產(chǎn)生失誤即運員完成動作時到水面的距離是否小于5米換句話說就是完成動作時所對應(yīng)的拋物線上的點的縱坐標絕對值是否小于．舉反：【變】一運動員在距籃下水平距離米處起投籃，球運行的路線是拋物線，當(dāng)球運行的水平距離為2.5米，到最大高度3.5米，然后準確落入籃圈，已知籃圈中心到地面的距離為3.05米若運動員身高1.8米球在頭頂上方0.25處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？【答案如圖建立直角坐標系∵點(2.5，是段拋物線的點∴設(shè)解析式為：(2.5)

2

≠（≤≤入點4,3.05求：a=-0.2∴yx2.5)

2

3.5（≤≤4即x2.25,

當(dāng)=0時，=2.25∴距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.2米類四利二函求形積題4．在一邊靠墻的空地上，用磚圍成三格矩形場地，如圖所示．已知磚墻在地面上占地總長度160m，問分隔墻在地面上的度x為多少時所圍場地總面積最?并求最大面?【思路點撥】利用矩形的面積公式建立所圍場地總面積與分隔墻在地面上的長度x的數(shù)關(guān)系式，寫成頂點式即