高中數(shù)學(xué)函數(shù)極值-函數(shù)極值的幾種求法數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文

高中數(shù)學(xué)函數(shù)極值函數(shù)極值的幾種求法-數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文

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定理2.3使f:R2?R并且P?(x0,y0)是曲線C上的一個(gè)點(diǎn),有方程g(x,y)=0成立，則

在限制條件C上函數(shù)f有局部極值.假設(shè)函數(shù)

f

和函數(shù)g在點(diǎn)P都有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，點(diǎn)P

不是曲線C的端點(diǎn)，且?g(x0,y0)?0.因此存在?的值使得點(diǎn)(x0,y0,z0)是Lagrange函數(shù)的關(guān)鍵點(diǎn)

L(x,y,?)?f(x,y)??g(x,y).

證明.僅僅描述.因?yàn)辄c(diǎn)P不是曲線C的端點(diǎn)，且?g?0,則曲線C在點(diǎn)P處的切線與?g有關(guān).

如果?f在點(diǎn)P處與?g平行，則函數(shù)在點(diǎn)P處的切線有非零值.但另一方面函數(shù)f的值隨著P在C的運(yùn)動(dòng)增加減小,所以點(diǎn)P不是極值點(diǎn).因?yàn)?f和?g平行，所以存在?使得?f????g成立.例.求內(nèi)接于橢球于坐標(biāo)面

解：明顯地，當(dāng)長方體的體積最大時(shí)，長方體的各個(gè)頂點(diǎn)一定在橢球上.設(shè)長方體的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z)(x>0,y>0,z>0),則長方體的其他頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(±x,±y,±z)，并且長方體的體積為V=8xyz.我們要求V在條件

xa

22

xa

22

?

yb

22

?

zc

22

長方體的各個(gè)面平行?1的體積最大的長方體的體積，

?

yb

22

?

zc

22

?1?0下的最大值.(注意：因?yàn)榧s束條件是有邊界的，

故其一定存在極大或者極小值).其Lagrange函數(shù)為

22

?x2?yz

?L(x,y,z,?)?8xyz??????122?a2?bc??

并且存在穩(wěn)定點(diǎn)當(dāng)?L?0時(shí)，也就是說，當(dāng)

0?

?L?x?L?y?L?z

?8yz?2??8zx?2??8xy?2?

xabc

2

,,,.

0?

0?

y

2

z

2

22

?x2?yz?0???2?2?2?1???z?abc?

?L

時(shí).(注意：L?是約束方程.要想求得體積V的最大值，假設(shè)xyz?0，則可得x,y,z?0.)因此,用其他式子表示?,我們可以得到

???4a

2

yzx

??4b

2

zxyxa

22

??4c

2

xyzzc

,

22

消去?，有ya?xb和zb?yc.進(jìn)而得出

2

2

2

2

2

2

2

2

?

yb

22

22

?

，因此有

1?

xa

22

?

yb

22

?

zc

?3

xa

22

或者得出x?

a3

,同理可得出y?

b3

和z?

c3

(根據(jù)假設(shè)可得x,y,z都是正值).

所以函數(shù)L有且僅有一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)(

a3

,