平行概念辨析 市賽獲獎(jiǎng)

平行概念辨析1．平行關(guān)系的判定和證明直線與直線平行的判定，主要是通過直線與平面平行的性質(zhì)定理、平面與平面平行的性質(zhì)定理或直線與平面垂直的性質(zhì)定理推理、論證的，以“面”定“線”是思考路線．直線與平面、平面與平面平行的判定，主要運(yùn)用判定定理．例1．已知正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、DB上各有一點(diǎn)P、Q，且AP=DQ，求證：PQ∥平面BCE．分析：證明線面平行有兩個(gè)途徑，一是利用線面平行的判定定理，二是利用面面平行的性質(zhì)．如果用第一種方法，需要在平面BEC內(nèi)找一條直線與PQ平行．由圖很自然地會(huì)先猜想EC是否就是平行PQ的直線，利用運(yùn)動(dòng)變化是判斷猜想是否正確的一個(gè)好方法，讓P點(diǎn)沿AE線段運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)過程中觀察PQ是否總和EC平行．由于AP=DQ，因此Q點(diǎn)隨P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，考慮極端情況，當(dāng)P接近A時(shí)，Q點(diǎn)接近P，顯然PQ不平行于EC，從而否定了這個(gè)猜想，怎樣在平面BEC內(nèi)找出與PQ平行直線呢？可采用“過直線，作平面，得交線”的辦法．過PQ作一平面與平面BEC相交，只要證明交線與PQ平行即可，過PQ作平面的方法有幾個(gè)，下面僅介紹其中一個(gè)．如果用第二種方法，需要作一個(gè)平面與平面BEC平行．證明1．連AQ并延長交BC于M，連結(jié)EM．∵ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴，∵ABCD和ABEF是有公共邊的正方形，并且AP=DQ，∴，∴PQ∥EM，又EM平面BEC，PQ平面BEC，∴PQ∥平面BEC．證法2．作PM∥EB交AB于M，連結(jié)MQ．∵PM∥EB∴，∴MQ∥AD，MQ∥BC．∴MQ∥平面BEC，同理MP∥平面BEC，又MP∩MQ=M，MP平面MPQ，MQ平面MPQ，∴平面MPQ∥平面BEC，PQ平面MPQ，∴PQ∥平面BEC．2．在有關(guān)平行關(guān)系的證明中，常用反證法或同一法，可舉適當(dāng)?shù)睦}，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)如何運(yùn)用這類證明方法．例2．已知，直線a平行于平面，B是平面內(nèi)的一點(diǎn)，且直線BC平行于直線a，求證：BC在平面內(nèi)．證明：如圖，過點(diǎn)B和直線A作平面β．∵B既在內(nèi)，又在β內(nèi)，∴∩β=．∵a∥，∴a∥，又BC∥a，而過只有一條直線與a平行，∴與BC重合∵在平面內(nèi)，∴BC在平面內(nèi)．評(píng)述：本題的證明方法是“同一法”．例3．求證如果一條直線和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面相交，那么它也和另一個(gè)平面相交，已知：平在α∥平面β，直線AB∩α=A．求證：直線AB和平面β相交．分析：用反證法證明，直線與平面的位置線有三種：直線在平面內(nèi)；直線與平面相交；直線與平面平行，因此本題欲證結(jié)論的反面應(yīng)是平行與在面內(nèi)兩種情況證明：(1)假設(shè)AB∥β，過AB作平面r，使β∩r=CD，則AB∥CD．∵AB∩α=A，A既在α內(nèi)，又在r內(nèi)．∴α∩r=．∵α∥β．∴∥CD．于是AB∥與AB∩=A矛盾∴AB不能與平面β平行．(2)假設(shè)ABβ，因?yàn)锳B∩α=A，則點(diǎn)A既在α內(nèi)，又在β內(nèi)，所以α與β相交于過A點(diǎn)的直線，這與α∥β矛盾．∴ABα由(1)(2)知，AB與平面