圓的最值問題類型歸納

與圓相關(guān)的最值問題安陽(yáng)市龍安高級(jí)中學(xué)段可賀高中數(shù)學(xué)中，研究最多的一種曲線是圓。在研究圓的相關(guān)問題時(shí)，最值問題又是研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，現(xiàn)把常見的與圓相關(guān)的最值問題，總結(jié)如下。希望對(duì)讀者有些啟發(fā)。類型一、“圓上一點(diǎn)到直線距離的最值”問題分析：求圓上一點(diǎn)到直線距離的最值問題，總是轉(zhuǎn)化成求圓心到定直線的距離問題來解決。求圓C:(x-2)2+(y+3)2=4上的點(diǎn)到直線x-y+2=0的最大、最小距離.求圓C:(x-1)2+(y+1)2=2上的點(diǎn)與直線x-y+4=0距離的最大值和最小值.3、圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為________________.類型二、“圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值”問題分析：本質(zhì)是兩點(diǎn)間距離。涉及與圓相關(guān)的兩點(diǎn)的距離，總是轉(zhuǎn)化為圓心與定點(diǎn)距離問題來解決。已知點(diǎn)P（x,y）是圓x2＋y2-2x-4y+4＝0上一點(diǎn),求P到原點(diǎn)的最大最小距離.2.已知圓C：及點(diǎn)，若M是圓C上任一點(diǎn)，求最大值和最小值.3.已知x,y滿足條件x2＋y2-2x-4y+4＝0,求范圍.4.已知x,y滿足圓x2＋y2-2x-4y+4＝0,求范圍.5.已知x,y滿足圓x2＋y2-2x-4y+4＝0,求x2＋y2+2x+2y范圍.6.已知圓，點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo).類型三、“過定點(diǎn)的弦長(zhǎng)”問題1：已知直線和圓；

（1）時(shí)，證明與總相交。（2）取何值時(shí)，被截得弦長(zhǎng)最短，求此弦長(zhǎng)。2、已知C：（x－1）2＋(y－2)2=25，直線l：（2m＋1）x＋（m＋1）y－7m－4＝0(m∈R)．（1）求證：不論m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；（2）求直線l被圓C截得的線段的最短長(zhǎng)度以及這時(shí)直線l的方程．類型四、“切線長(zhǎng)”問題分析:切線長(zhǎng)問題總是轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離問題1、在直線2x＋y＋3＝0上求一點(diǎn)P，使由P向圓x2＋y2－4x＝0引得的切線長(zhǎng)長(zhǎng)度為最?。?.一束光線從點(diǎn)A（－1，1）出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C：（x－2）2＋（y－3）2＝1的最短路程是________________.4.已知P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求四邊形PACB的面積的最小值QPAx5.如圖，已知圓和定點(diǎn)A（2，1），由圓O外一點(diǎn)P（a，b）向圓O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足QPAx（1）求實(shí)數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系。（2）求線段PQ長(zhǎng)的最小值。（3）若以P為圓心所做的圓P與圓O有公共點(diǎn)，試求半徑取最小值時(shí)圓P的方程。類型五、利用“數(shù)形結(jié)合方法”解決直線與圓的問題（1）利用表達(dá)式的幾何意義“斜率”解決問題1.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值是2.已知實(shí)數(shù)x、y滿足，求的最大值與最小值。3..圓C：若點(diǎn)在圓上，求的最大值（2）利用直線的“斜率，截距”幾何意義解決問題1.若直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是__________.2.設(shè)集合，，若，求實(shí)數(shù)的取值