求解熱傳導方程的高精度隱式差分格式畢業(yè)論文

大學畢業(yè)論文(設計)題目:求解熱傳導方程的高精度隱式差分格式所屬院系：數(shù)學與系統(tǒng)科學學院 專業(yè)：信息與計算科學聲明本人重聲明該畢業(yè)論文（設計）是本人在開依沙爾老師指導下獨立完成的，本人擁有自主知識產(chǎn)權，沒有抄襲、剽竊他人成果，由此造成的知識產(chǎn)權糾紛由本人負責。聲明人（簽名）：年月日亞庫甫江.買買提同學在指導老師的指導下，按照任務書的容，獨立完成了該畢業(yè)論文（設計），指導教師已經(jīng)詳細審閱該畢業(yè)論文（設計）。指導教師（簽名）：年月日新疆大學畢業(yè)論文（設計）任務書班級：信計07-2姓名：亞庫甫江.買買提論文（設計）題目：求解熱傳導方程的高精度隱式差分格式專題：畢業(yè)設計論文（設計）來源：教師自擬要求完成的容：學習和掌握一維熱傳導方程已有的各種差分格式的基礎上，擴散方程對空間變量應用緊致格式離散，對時間變量應用梯形方法，構造熱傳導方程的精度為數(shù)值格式，討論格式的穩(wěn)定性，最后數(shù)值例子來驗證。發(fā)題日期：2012年12月2實習實訓單位：數(shù)學學院地點：數(shù)學學院論文頁數(shù)：19頁；圖紙數(shù)：4指導教師：開依沙爾老師教研室主任）摘要本文首先對熱傳導方程經(jīng)典差分格式進行復習和討論，然后熱傳導方程對空間變量四階緊致格式進行離散,時間變量保持不變，把一維熱傳導方程轉化為常微分方程組的初值問題,再利用梯形方法構造熱傳導方程方程的時間二階空間四階精度的一種差分格式，并穩(wěn)定性進行分析，數(shù)值結果與Crank-Nicholson格式進行比較，數(shù)值結果表明,該方法是有效求解熱傳導方程的數(shù)值計算.關鍵詞:熱傳導方程,高精度緊致格式;梯形方法；兩層隱格式;Crank-Nicolson格式ABSTRACTThispaperfirststudyonsomeclassicalfinitedifferencefortheheatconductionequation,secondelysecondelyweapplycompactfinitedifferenceapproximationoffourthorderfordiscretizingspatialderivativesbutleavethetimevariableContinuous.ThisapproachresultsinasystemofODEs,whichcanthenbeusedtrapezodialformuladerivedfourthorderinspaceandsecondorderintimeunconditionallystableimplicitscheme.thestabilityandlocaltruncationerroroftheobtainedmethodareanalysied.NumericalexperimentsshowsthatthismethodUseful,efficientmethodforsolvingdiffusionequationKeywords:Heatconductioneqution;Higher-odercompactscheme;Trapezodialformula;Two-levelimplictscheme;Crank-Nicolsonscheme目錄引言...................................................................................................................................................1預備知識...........................................................................................................................................21.擴散方程的經(jīng)典差分格式............................................................................................................31.1顯式差分格..........................................................................................................................31.1.1顯式的截斷誤差........................................................................................................41.1.2顯式差分格式的穩(wěn)定性.............................................................................................41.2隱式差分格式........................................................................................................................51.2.1隱式差分格式的截斷誤差.........................................................................................51.2.2隱式差分格式的穩(wěn)定性….........................................................................................61.3Crank-Nicolson格式….....................................................................................................61.3.1Crank-Nicolson差分格式的截斷誤差....................................................................71.3.2Crank-Nicolson差分格式的穩(wěn)定性…....................................................................82.高精度格式的構造…....................................................................................................................92.1梯形方法…….........................................................................................................................92.2本文格式的構造....................................................................................................................102.3穩(wěn)定性分析….......................................................................................................................113.數(shù)值實驗…...................................................................................................................................13結論……..........................................................................................................................................17致……..........................................................................................................................................18參考文獻…......................................................................................................................................19引言熱傳導方程是一類描述物理量隨時間的擴散和衰減規(guī)律的拋物型微分方程．自然環(huán)境、工程設備與生物機體中的許多物理現(xiàn)象，諸如氣體的擴散、液體的滲透、熱的傳導、以與半導體材料中雜質的擴散等都可用熱傳導方程來描述．由于物理問題本身的復雜性，其精確解往往不容易求得，因此研究其數(shù)值求解方法無疑具有非常重要的理論意義和工程應用價值[1]．求解該問題的數(shù)值方法主要有差分法、有限元法、邊界元法等，其中有限差分方法數(shù)值求解擴散方程的應用廣泛的有效地方法之一。目前求解該問題的主要的差分格式有顯式格式，隱式格式，Crank-Nicolson格式等[1,2,4]。雖然顯式格式計算簡單，但是穩(wěn)定性有所限制，一般隱式格式和Crank-Nicolson格式分別為一階和二階精度的絕對穩(wěn)定的隱式格式，還顯得誤差階不夠高，得到的結果也往往不能令人滿意,考慮到這些不足文[7]中半離散方法構造格式結果Crank-Nicolson格式進行比較，在文[10]待定參數(shù)法構造精度的顯式格式但是穩(wěn)定性條件比較苛刻，它文的穩(wěn)定性條件為，本文熱傳導方程對空間變量應用緊致格式離散，對時間變量應用梯形方法，構造熱傳導方程的精度為的絕對穩(wěn)定的隱式差分格式，并討論了穩(wěn)定性，數(shù)值值結果與經(jīng)典Crank-Nicholson格式進行比較，數(shù)值結果表明,該方法是有效求解擴散方程的數(shù)值計算.本文分為三大部分，第一部分簡單介紹熱傳導方程的經(jīng)典差分格式，第二部分主要介紹熱傳導方程的高精度格式的構造和穩(wěn)定性，第三部分給出具體的數(shù)值算例，結果與Crank-Nicolson格式，準確值進行比較，最后給出結論。預備知識利用下面的各種數(shù)值微分公式得到不同的差分格式截斷誤差：一般說來，微分方程的解不會精確地滿足差分方程。將差分方程中的各個項同時用微分方程的解在相應點的值代入，利用泰勒展開，就會得到一個誤差項，這個誤差項就是截斷誤差。相容性：若時間步長以與空間步長同時趨于，截斷誤差，就說差分格式與微分方程是相容的。一個差分格式與一個微分方程相容，則表明當時，差分算子與微分算子對任一光滑函數(shù)的作用是一樣的，所以可用相容的差分格式近似相應的微分方程，而截斷誤差則是對這一近似程度的一個度量。收斂性：考察差分格式在理論上的準確解能否任意逼近微分方程的解。如果當時間步長以與空間步長趨于時，，我們稱差分格式是收斂的，即時間步長以與空間步長趨于時，差分格式的解逼近于微分方程的解。穩(wěn)定性：差分格式的計算是逐層計算的，計算第層上的時，要用到第層上計算出來的結果。計算時的舍入誤差，必然會影響到的值，從而就要分析這種誤差傳播的情況。因此，一個有實用價值的數(shù)值方法應該具有能夠控制這種誤差影響的性能，這就是數(shù)值方法的穩(wěn)定性。精度：如果一個差分格式的截斷誤差，就說差分格式對時間是階精度的，對空間是階精度的。Lax等價定理：給定一個適定的線性初值問題以與與其相容的差分式，則差分格式的穩(wěn)定性是差分格式收斂性的充分必要條件。定理1（vonNeumann條件）微分方程的差分格式穩(wěn)定的必要條件是當，,對所有有，其中為增長因子（或增長矩陣），表示的特征值，為常數(shù)。定理2如果差分格式的增長矩陣是正規(guī)矩陣，則vonNeumann條件是差分格式穩(wěn)定的必要且充分條件。推論2.1當為實對稱矩陣，酉矩陣，Hermite矩陣時，vonNeumann條件是差分格式穩(wěn)定的充分必要條件。推論2.2當時，即只有一個元素，則vonNeumann條件是差分格式穩(wěn)定的充要條件。定理3如果存在常數(shù)使得，，則差分格式是穩(wěn)定的。熱傳導方程的經(jīng)典差分格式考慮一維熱傳導方程的初邊界問題：1.1顯式差分格式我們可以對用向前差分用二階差商得到差分格式為(1.1.1)1.1.1顯式差分格式的截斷誤差證：（用taylor展開）把上述代入差分格式中，得截斷誤差為：從上述可知，截斷誤差為，它對空間方向為一階截斷誤差而對時間方向為二階截斷誤差。1.1.2顯式差分格式的穩(wěn)定性證：先把差分格式公式(1.1.1)改寫為：其中利用穩(wěn)定性的Fourier方法，令，并將它代入上式就得到消去共因子有由此得到增長因子因為k>0,h>0且，所以必然左邊成立，則右邊為顯然這個格式是相容的。它在時穩(wěn)定的，因為按照Lax定理可知；它是條件收斂的（收斂條件）。1.2隱式差分格式我們可以對用向后差分，用二階差商，得到差分格式為：(1.2.1)隱式差分格式的截斷誤差證：（用taylor展開）把上述代入差分格式中，得截斷誤差為：從上述可知，截斷誤差為，它對時間方向為一階截斷誤差，而對空間為二階截斷誤差。隱式差分格式的穩(wěn)定性證:先用差分格式（1.2.1）為：其中利用穩(wěn)定性的Fourier方法令，，并將它代入上式就得到消去公因子有由此得到增長因子顯然這個格式是相容的。它是無條件穩(wěn)定，因為按照Lax定理可知，該格式收斂的。1.3、Crank-Nicolson格式我們在在前面討論的顯格式和隱格式，即：（1.3.1）（1.3.2）用乘（1.3.2），用乘（1.3.1），把其結果相加就得到一個差分格式（1.3.3）其中，我們乘差分格式公式(1.3.3）為加權隱式格式。從上述可以看到，當時的情況，此時我們把它單獨寫出（1.3.4）此格式一般稱作Crank-Nicolson格式。此外我們注意到，當時，公式(1.3.3）為向后差分格式（隱式格式）；當時，公式(1.3.3）為向前差分格式（顯式格式）。Crank-Nicolson差分格式的截斷誤差證：（用taylor展開）把上述代入差分格式中，得截斷誤差為：從上述可知，截斷誤差為，它對空間方向為二階截斷誤差，而對時間方向為二階截斷誤差，則此隱格式的精度為2。Crank-Nicolson差分格式的穩(wěn)定性證：由差分格式公式（1.3.4）可以寫成如下形式其中消去公因子有由此得到增長因子顯然這個格式是相容的。它是無條件穩(wěn)定，因為按照Lax定理可知，Crank-Nicolson差分格式收斂的。2．高精度格式的構造本文熱傳導方程對空間變量應用四階緊致格式離散，對時間變量應用梯形方法，構造擴散方程的精度為的絕對穩(wěn)定的隱式差分格式2.1梯形方法[4]求解常微分方程初值問題對方程兩邊從到積分，得(2.1)用左矩形公式計算上式右側積分，即并用作為的近似值，得(2.2）故歐拉法也稱為矩形法。歐拉法形式簡單,但精度低，為了達到較高精度的計算公式，對歐拉法進行改進，用梯形公式計算(2.1)式右側積分，即并用作為的近似值，得到梯形公式:(2.3)(2.3)式稱為梯形公式,此方法稱為梯形法。2.2本文格式的構造下面我們考慮非齊次邊界條件的熱傳導方程（2.2.1）的右邊對x變量四階緊致格式離散(2.2.2)把(2.2.2)代入(2.2.1)后得到下面的常微分方程組，令(2.2.3)其中：，應用梯形方法得到本文格式（2.2.4）2.3穩(wěn)定性分析定理：本文差分格式（2.2.4）是絕對穩(wěn)定的；引理1假設為矩陣的特征值，為其相應的是特征值向量，則特征值為實數(shù)且滿足證明：令下面來看的特征值則：令兩邊乘寫成矩陣形式由此推出下面來看的特征值：令寫成矩陣形式：則的特征值為：它的譜半徑因此是絕對穩(wěn)定的。3數(shù)值實驗數(shù)值例子1給出下面的常系數(shù)一維擴散方程初邊值問題該方程的準確解為表一：h=0.1;tao=0.1;T=1，絕對誤差比較x隱式格式Crank-Nicolson格式本文格式0.18.1239E-032.7358E-041.3474E-040.21.4847E-025.0077E-042.4818E-040.32.0079E-026.7709E-043.3615E-040.42.3696E-027.9890E-043.9680E-040.52.5545E-028.6123E-044.2767E-040.62.5433E-028.5770E-044.2560E-040.72.3127E-027.8039E-043.8661E-040.81.8348E-026.1935E-043.0559E-040.91.0768E-023.6229E-041.7651E-04最大誤差2.5545E-028.6123E-044.2767E-04表二：當=0.001,T=1;時不同空間步長的收斂界的比較h隱式格式Crank-Nicolson格式本文格式最大誤差收斂階最大誤差收斂階最大誤差收斂階1/42.9321e-0032.6757e-0038.3652e-0061/89.3104e-0041.65506.7288e-0041.99154.8370e-0074.11221/164.3004e-0041.11441.6966e-0042.00481.0174e-0084.5712表三:當h=0.005,w=1T=1;是的不同空間步長的收斂界的比較隱式格式Crank-Nicolson格式本文格式最大誤差收斂階最大誤差收斂階最大誤差收斂階1/102.5355e-0024.3558e-0044.3448e-0041/201.2863e-0020.97901.0980e-0041.98811.0871e-0041.99881/406.4786e-0030.98952.8270e-0051.95752.7182e-0051.9998h=0.1;tao=0.1;T=1h=0.1;tao=0.1;T=1h=0.1;tao=0.1;T=1數(shù)值例子2給出下面的常系數(shù)一維擴散方程初邊值問題該方程的準確解為表一：h=0.1;tao=0.01;T=1，絕對誤差比較x隱式格式Crank-Nicolson格式本文格式0.11.1195E-051.2118E-061.2133E-070.22.1294E-052.3050E-062.3079E-070.32.9308E-053.1726E-063.1765E-070.43.4454E-053.7296E-063.7343E-070.53.6227E-053.9215E-063.9264E-070.63.4454E-053.7296E-063.7343E-070.72.9308E-053.1726E-063.1765E-070.82.1294E-052.3050E-062.3079E-070.91.1195E-051.2118E-061.2133E-07最大誤差3.6227E-053.9215E-063.9264E-07表二：當=0.001,T=1;時不同空間步長的收斂界的比較h隱式格式Crank-Nicolson格式本文格式最大誤差收斂階最大誤差收斂階最大誤差收斂階1/43.7094e-0053.3294e-0058.3072e-0071/89.7900e-0061.92186.9518e-0062.25984.6769e-0084.15071/164.2936e-0061.18911.6599e-0062.06639.7749e-0105.5803表三:當h=0.005,w=1T=1;是的不同空間步長的收斂界的比較隱式格式Crank-Nicolson格式本文格式最大誤差收斂階最大誤差收斂階最大誤差收斂階1/109.9096e-0043.1582e-0053.1587e-0051/202.7642e-0041.84209.7016e-0061.70289.7107e-0061.70171/409.5859e-0051.52792.5387e-0061.93412.5489e-0061.9297圖一：h=0.1;=0.01;T=1結論由表1-3和圖1可以看出本文針熱傳導方程構造出的一種兩層絕對穩(wěn)定的隱式差分格式截斷誤差為的，這個理論和數(shù)值試驗相符合；從由表1-3數(shù)值試驗結果說明本文所建立格式針對于，隱式差分格式和經(jīng)典的Crank-Nicolson格式比，更為準確的逼近近似解。致本畢業(yè)論文是在開依沙爾老師的指導下完成的，我首先要感開依沙爾老師，他對我進行了熱心的指導并提出嚴格的要求，提供很多課外的資料，論文研究工作中提出了很多寶貴的意見，使我的研究工作有了目標和方向。在這近幾個月的時間里，他對我進行了悉心的指導和教育，使我能夠不斷地學習提高，還要感同組論文設計人員，在他們熟悉部分對我的幫助，感父母養(yǎng)育之恩，感所有給我關心和幫助的同學和親朋好友。參考文獻[1]陸金甫,關治.偏微分方程數(shù)值解法[M]，第二版.：清華大學,2004[2]G.D.smithNumericalsolutionofpartialdifferentialequations(finitedifferencemethods)[M]，Thirdedition,Oxford:OxfordUniversityPress).1996[3]慶揚,王能超,易大義.數(shù)值分析[M],第四版,:清華大學,2001年8月[4]瑞霞，何志慶.微分方程數(shù)值方法[M],：華南理工大學，2005年12月，38-43.[5]R.A.UsmaniandR.P.Agarwal,AnA-stableextendedtrapezoidalruleforthenumericalintegrationofordinarydifferentialequations[J]putersMath.Applic.1995，11(12)：1183-1191.[6]JOHN.H.Mathews,著.渝等譯.數(shù)值方法（MATLAB版）[M]，第三版.：電子工業(yè),2000[7]馬明書,拋物型方程的一個新的顯格式[J].紡織高?；A科學學報,2001年6月第14卷第2期,133-135.[8]周順興.解拋物型偏微分方程的高精度差分格式[J].計算數(shù)學,1982,4(2):204～213.[9]田振夫.非齊次熱傳導方程的高精度隱式格式[J].大學學報,1996,17(3):34～38.[10]馬明書.一維拋物型方程的一個新的高精度顯式差分格式[J].數(shù)值計算與計算機應用,2001,22(2):156～160.大學本科生畢業(yè)論文(設計)評議書學院：數(shù)學與系統(tǒng)科學學院論文(設計)題目:求解熱傳導方程的高精度隱式差分格式學生:亞庫甫江.買買提專業(yè):信息與計算科學班級：2007-2指導教師:開依沙爾職稱:講師評價容具體要求得分方案論證（15分）能獨立查閱文獻和課題調研，能提出較科學、合理、可行得實施方案。13論文(設計)容（30分）堅持實事科學態(tài)度，沒有造假和抄襲行為。觀點、結論正確、論證充分、設計合理。容與專業(yè)要求相吻合，理論與實際聯(lián)系緊密。27工作量和難度（20分）遵守畢業(yè)論文（設計）管理制度，按期完成任務書規(guī)定的容，工作量飽滿，有一定難度。15論文(設計)質量（20分）結構合理、條理清楚、文理通順、用語符合專業(yè)要求；文體格式規(guī)、圖表清楚。圖樣繪制與技術要求符合國家標準，圖面質量符合要求。17創(chuàng)新性與應用價值（15分）具有一定的創(chuàng)新性和應用價值。11總分（100分）85指導教師評語:該論文討論熱傳導方程的高精度數(shù)值解法，應用空間方向四階緊致格式離散，時間方向梯形方法，構造熱傳導方程的精度為兩層絕對穩(wěn)定的隱式差分格式，討論了穩(wěn)定性，做了數(shù)值實例。與結果經(jīng)典的隱式差分格式和Crank-Nicholson差分格式比較，數(shù)值驗證該解法的可行性在寫作過程中，該同學查閱了查看參考文獻了解這方面的有關研究情況，做數(shù)值實例時用計算機編寫了程序，鍛煉了解決實際問題的能力。文章研究了一個較有實際意義的問題，在研究中思路清晰，結構嚴謹，對問題的討論有一定的深度，但是還有很多問題有待進一步的解決，希望以后的學習中不斷進步。指導教師（簽名）：