梯形多步法和辛普森積分課件

梯形多步法和辛普森積分課件數(shù)值積分問(wèn)題數(shù)值積分是工程師和科學(xué)家經(jīng)常使用的基本工具，用來(lái)計(jì)算無(wú)法解析求解的定積分的近似解定積分的幾何意義：曲邊梯形的面積本章的目的是推導(dǎo)數(shù)值積分的基本原理如：不存在Ф(x)的解析表達(dá)，要求Ф(5)可通過(guò)求在區(qū)間0≤t≤5y=f(t)=t3/(et-1)之下的面積，得華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲幾個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值積分公式左/中/右矩形公式梯形公式華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲左矩形公式梯形公式中矩形公式右矩形公式華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲積分簡(jiǎn)介數(shù)值積分的目的是，通過(guò)在有限個(gè)采樣點(diǎn)上計(jì)算f(x)的值來(lái)逼近f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分

定義7.1設(shè)a=x0<x1<…<xM=b.稱形如且具有性質(zhì)的公式為數(shù)值積分或面積公式。項(xiàng)E[f]稱為積分的截?cái)嗾`差，值稱為面積節(jié)點(diǎn)，稱為權(quán)。華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲積分公式的數(shù)值精度定義7.2面積公式的精度為正整數(shù)n，n使得對(duì)所有次數(shù)i≤n的多項(xiàng)式Pi(x)，都滿足E[Pi]=0，而對(duì)某些次數(shù)為n+1的多項(xiàng)式Pn+1(x)有E[Pn+1]≠0通過(guò)研究f(x)為多項(xiàng)式時(shí)的情形可以預(yù)測(cè)E[Pi]的形式?？紤]任意i次多項(xiàng)式Pi(x)=aixi+ai-1xi-1+…+a1x+a0，如果i≤n，則對(duì)所有x，有Pi(n+1)(x)≡0，并且對(duì)所有的x，式成立

故截?cái)嗾`差的一般形式為E[f]=Kf(n+1)(c)，其中K是一個(gè)合理選擇的常數(shù)，n為精度注意：積分公式的數(shù)值精度定義沒(méi)有指定積分區(qū)間華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲基于多項(xiàng)式插值的面積公式通過(guò)M+1個(gè)等距點(diǎn)存在唯一的次數(shù)小于等于M的多項(xiàng)式PM(x)。當(dāng)用該多項(xiàng)式來(lái)近似[a,b]上的f(x)時(shí)，PM(x)的積分就近似等于f(x)的積分，這類(lèi)公式稱為牛頓－科特斯公式。當(dāng)使用采樣點(diǎn)x0=a和xM=b時(shí)，稱為閉型牛頓－科特斯公式華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲閉型牛頓－科特斯面積公式定理7.1

設(shè)xk=x0+kh為等距節(jié)點(diǎn)，且fk=f(xk)。前4個(gè)閉型N－C面積公式為（梯形公式）（辛普森公式）（辛普森3/8公式）（布爾公式）華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲利用N－C公式求數(shù)值積分例7.1函數(shù)f(x)=1+e-xsin(4x)，等距面積節(jié)點(diǎn)為x0=0.0,x1=0.5,x2=1.0,x3=1.5,x4=2.0,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為f0=1.00000,f1=1.55152,f2=0.72159,f3=0.93765,f4=1.13390,h=0.5華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲[x0,x1]上y=P1(x)的梯形積分公式[x0,x4]上y=P4(x)的布爾積分公式[x0,x3]上y=P3(x)的辛普森3/8積分公式[x0,x2]上y=P2(x)的辛普森積分公式華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲N－C公式的精度推論7.1

設(shè)f(x)充分可微，則N－C面積公式的E[f]包含一個(gè)高階的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。梯形公式的精度為n=1，如果f∈C2[a,b]，則辛普森公式的精度為n=3，如果f∈C4[a,b]，則辛普森3/8公式的精度為n=3，如果f∈C4[a,b]，則布爾公式的精度為n=5，如果f∈C6[a,b]，則華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲步長(zhǎng)的選擇因?yàn)楦鱾€(gè)公式所需節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，如果固定求積區(qū)間[a,b]的端點(diǎn)，則對(duì)不同公式要采用不同的步長(zhǎng)。梯形公式、辛普森公式、辛普森3/8公式和布爾公式的步長(zhǎng)分別為h=b-a,h=(b-a)/2,h=(b-a)/3和h=(b-a)/4例7.2分別將區(qū)間[0,1]作1、2、3、4等分華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲例7.2對(duì)于梯形公式，h=1對(duì)于辛普森公式，h=1/2對(duì)于布爾公式，h=1/4對(duì)于辛普森3/8公式，h=1/3華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲[0,1]上y=P1(x)的梯形積分公式[0,1]上y=P4(x)的布爾積分公式[0,1]上y=P3(x)的辛普森3/8積分公式[0,1]上y=P2(x)的辛普森積分公式例7.2該定積分的真解為華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲公式的比較為對(duì)面積公式進(jìn)行公平的比較，必須在每種方法中進(jìn)行相同次數(shù)的函數(shù)求值對(duì)上例中的梯形公式、辛普森公式和布爾公式，每種方法都要在給定區(qū)間[0,1]上進(jìn)行5次函數(shù)求值。對(duì)梯形公式而言，則要在4個(gè)子區(qū)間[x0,x1],[x1,x2],[x2,x3]和[x3,x4]上使用，稱之為組合梯形公式；同理，在兩個(gè)子區(qū)間[x0,x2]和[x2,x4]上應(yīng)用辛普森公式，稱之為組合辛普森公式華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲組合公式例7.3在區(qū)間[0,1]上取相同的步長(zhǎng)h=1/4，進(jìn)行5次函數(shù)求值組合梯形公式組合辛普森公式華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲例7.3組合梯形公式組合辛普森公式布爾公式的結(jié)果該定積分的真解可見(jiàn)，依然是布爾公式的結(jié)果最接近真實(shí)值華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲組合梯形公式組合辛普森公式華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲驗(yàn)證面積公式的精度面積公式的定義中沒(méi)指定積分區(qū)間一切次數(shù)i≤n的多項(xiàng)式Pi(x)都可用函數(shù)族{1,x,x2,x3,…,xn}的線性組合來(lái)表示可以在任意容易計(jì)算定積分的區(qū)間上計(jì)算各個(gè)次數(shù)i不高于n的冪函數(shù)xi的定積分，并與面積公式求得的結(jié)果相比較，從而確定面積公式的精度例7.4華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲組合面積公式理論數(shù)學(xué)中，曲線y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分的幾何意義是該區(qū)間中曲線下的面積求定積分的思想：分割－求和－求極限組合面積公式：求區(qū)間[a,b]上曲線y=f(x)下面積的方法是用區(qū)間{[xk,xk+1]},k=0,1,…上的一系列曲邊梯形的面積來(lái)逼近用“有限”來(lái)逼近“無(wú)限”華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲組合梯形公式定理7.2設(shè)等距節(jié)點(diǎn)xk=a+kh,k=0,1,…,M將區(qū)間[a,b]劃分為寬度為h=(b-a)/M的M個(gè)子區(qū)間[xk,xk+1]。M個(gè)子區(qū)間的組合梯形公式有3種等價(jià)表示方法：它們是區(qū)間[a,b]上f(x)積分的逼近，記為華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲組合梯形公式（續(xù)1）x0x1xf(x)x2hhx3hhx4分段一次逼近華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲組合梯形公式（續(xù)2）計(jì)算積分真實(shí)值I=5216.926477323024…華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲組合辛普森公式定理7.3設(shè)等距節(jié)點(diǎn)xk=a+kh,k=0,1,…,2M將區(qū)間[a,b]劃分為寬度為h=(b-a)/(2M)的2M個(gè)等距子區(qū)間[xk,xk+1]。M個(gè)子區(qū)間[xk,xk+2]上的組合辛普森公式有3種等價(jià)表示方法：它們是區(qū)間[a,b]上f(x)積分的逼近，記為華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲組合辛普森公式（續(xù)1）x0x2xf(x)x4hhxn-2hxn…...分段二次逼近hx3x1xn-1華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲組合辛普森公式（續(xù)2）多次應(yīng)用辛普森法則華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲組合辛普森公式（續(xù)3）計(jì)算積分n=2,h=2n=4,h=1真實(shí)值I=5216.926477323024…華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲組合面積公式的誤差分析組合梯形公式和組合辛普森公式的誤差項(xiàng)當(dāng)步長(zhǎng)h趨向零時(shí)，哪個(gè)公式的誤差更快地收斂到零當(dāng)f(x)的導(dǎo)數(shù)已知時(shí)，如何利用誤差項(xiàng)估計(jì)為得到給定精度的近似所需的子區(qū)間數(shù)華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲梯形公式的誤差分析推論7.2設(shè)區(qū)間[a,b]劃分為寬度為h=(b-a)/M的M個(gè)子區(qū)間[xk,xk+1],組合梯形公式是對(duì)積分的逼近如果f∈C2[a,b]，則存在值c,a<c<b，使得誤差項(xiàng)ET(f,h)具有形式華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲辛普森公式的誤差分析推論7.3設(shè)區(qū)間[a,b]劃分為寬度為h=(b-a)/(2M)的2M個(gè)等寬子區(qū)間[xk,xk+1],組合辛普森公式是對(duì)積分的逼近如果f∈C4[a,b]，則存在值c,a<c<b，使得誤差項(xiàng)ES(f,h)具有形式華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲例7.7、7.8分別用組合梯形公式、組合辛普森公式求函數(shù)在區(qū)間[1,6]上的定積分考察積分區(qū)間等距劃分為10,20,40,80,160個(gè)子區(qū)間的情況MhT(f,h)ET(f,h)=O(h2)S(f,h)Es(f,h)=O(h4)100.58.19385457-0.010375408.183015490.00046371200.258.18604926-0.002570068.183447500.00003171400.1258.18412019-0.000640988.183477170.00000204800.06258.18363936-0.000160158.183479080.000000131600.031258.18351924-0.000040038.183479200.00000001積分真實(shí)值

I由上表可見(jiàn)，當(dāng)h減半時(shí)，組合梯形公式的誤差項(xiàng)序列ET(f,h)的衰減因子約為1/4；而組合辛普森公式的誤差項(xiàng)序列ES(f,h)的衰減因子約為1/16，這驗(yàn)證了推論7.2和推論7.3中關(guān)于兩個(gè)公式的誤差階分別為O(h2)和O(h4)的結(jié)論華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲利用誤差階確定區(qū)間劃分個(gè)數(shù)例7.9、7.10計(jì)算M和步長(zhǎng)h，使得組合梯形公式和組合辛普森公式對(duì)逼近定積分的誤差ET(f,h)和ES(f,h)小于5×10-9組合梯形公式：M=22822，步長(zhǎng)h=5/22822=0.000219086846組合辛普森公式：M=113，步長(zhǎng)h=5/113=0.02212389381可見(jiàn)，使用227次f(x)求值的組合辛普森公式與使用22823次f(x)求值的組合梯形公式得到同樣的精度。前者的函數(shù)求值次數(shù)只是后者的1%華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲數(shù)值積分精度與函數(shù)求值、區(qū)間劃分的關(guān)系從各階閉型N－C公式來(lái)看，函數(shù)求值的次數(shù)越多，則逼近的精度越高但從理論上可證明M≥8的N－C公式不穩(wěn)定，不能用來(lái)求解積分近似值從組合梯形公式和組合辛普森公式計(jì)算的積分近似值來(lái)看，劃分的子區(qū)間數(shù)越多，則逼近的精度越高但從例7.9、7.10可發(fā)現(xiàn)，僅僅通過(guò)區(qū)間劃分的方法提高精度的速度很慢華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲區(qū)間的劃分方法假如采用劃分子區(qū)間的方式來(lái)提高精度。如何選擇子區(qū)間的數(shù)目？采用二分區(qū)間的方法：開(kāi)始時(shí)是一個(gè)區(qū)間，對(duì)分成2個(gè)子區(qū)間，再將2個(gè)子區(qū)間各自二分得到4個(gè)子區(qū)間，…，不斷試驗(yàn)直至得到想要的精度這個(gè)過(guò)程生成一個(gè)梯形公式的序列{T(J)}華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲T(0)為20=1個(gè)梯形的面積T(1)為21=2個(gè)梯形的面積T(2)為22=4個(gè)梯形的面積T(3)為23=8個(gè)梯形的面積華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲連續(xù)梯形公式定理7.4設(shè)J≥1，點(diǎn){xk=a+kh}將[a,b]劃分為2J=2M個(gè)寬度為(b-a)/2J的子區(qū)間。梯形公式T(f,h)和T(f,2h)滿足如下關(guān)系：

梯形公式序列記T(0)=(h/2)(f(a)+f(b))，它是步長(zhǎng)為h=b-a的梯形公式。對(duì)于所有J≥1，記T(J)=T(f,h)，其中T(f,h)是步長(zhǎng)為h=(b-a)/2J的梯形公式華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲遞推梯形公式推論7.4由T(0)=(h/2)(f(a)+f(b))開(kāi)始，梯形公式序列{T(J)}可由以下遞推公式生成：其中J=1,2,…，h=(b-a)/2J，{xk=a+kh}例7.11華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲例7.11

用連續(xù)梯形公式計(jì)算如下積分的逼近T(0),T(1),T(2)和T(3).只需計(jì)算9個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，而且是根據(jù)遞推需要逐漸增加計(jì)算的華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲遞推辛普森公式定理7.5設(shè){T(J)}為由推論7.4產(chǎn)生的梯形公式序列，如果J≥1，且S(J)為區(qū)間[a,b]的2J個(gè)辛普森公式，則S(J)和T(J-1)與T(J)滿足關(guān)系式：例7.12華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲例7.12

用連續(xù)辛普森公式計(jì)算如下積分的逼近S(1),S(2)和S(3).利用連續(xù)梯形的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行組合，得到連續(xù)辛普森公式，誤差階提高了二階，由O(h2)提高到O(h4)華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲遞推布爾公式如果在區(qū)間[a,b]上對(duì)寬度為h=(b-a)/(4M)的4M個(gè)等間距子區(qū)間上應(yīng)用M次布爾公式，則稱之為組合布爾公式：

定理7.6設(shè){S(J)}為由定理7.5產(chǎn)生的辛普森公式序列，如果J≥2且B(J)為區(qū)間[a,b]上2J個(gè)子區(qū)間的布爾公式，則B(J)與辛普森公式S(J-1)和S(J)滿足關(guān)系華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲例7.13

用連續(xù)布爾公式計(jì)算如下積分的逼近B(2),B(3).利用連續(xù)辛普森的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行組合，得到連續(xù)布爾公式，誤差階提高了二階，由O(h4)提高到O(h6)利用連續(xù)布爾的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行組合，還可得到更高階的公式，誤差階由O(h6)提高到O(h8)，計(jì)算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后第5位華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲龍貝格積分由以上各式的余項(xiàng)規(guī)律，可作推廣：設(shè)用步長(zhǎng)h和2h得到一個(gè)逼近公式的兩個(gè)結(jié)果，則兩個(gè)結(jié)果的代數(shù)運(yùn)算將得到改進(jìn)，每次改進(jìn)將誤差項(xiàng)的階由O(h2N)提高到O(h2N+2).該提階過(guò)程稱為龍貝格積分華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲龍貝格積分的優(yōu)缺點(diǎn)N－C公式中，當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)大于等于9時(shí)，積分公式中有負(fù)的權(quán)值，公式不穩(wěn)定龍貝格積分公式中所有權(quán)全為正，公式穩(wěn)定；且等距節(jié)點(diǎn)容易計(jì)算橫坐標(biāo)的值每次提高誤差的階，函數(shù)求值次數(shù)幾乎增加一倍使用連續(xù)公式可以減少計(jì)算量華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲龍貝格積分的理查森改進(jìn)引理7.1給定Q的兩個(gè)逼近R(2h,K-1)和R(h,K-1)，滿足Q=R(h,K-1)+c1h2K+c2h2K+2+…和Q=R(h/2,K-1)+c1h2K/4K+c2h2K+2/4K+1+…其改進(jìn)的逼近形如

定義[a,b]上f(x)的面積公式序列如下：R(J,0)=T(J),J≥0，為連續(xù)梯形公式R(J,1)=S(J),J≥1，為連續(xù)辛普森公式R(J,2)=B(J),J≥2，為連續(xù)布爾公式華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲龍貝格積分表J01234R(J,0)梯形公式R(J,1)辛普森公式R(J,2)布爾公式R(J,3)第3次改進(jìn)R(J,4)第4次改進(jìn)R(0,0)R(1,0)R(2,0)R(3,0)R(4,0)R(3,2)R(1,1)R(4,2)R(3,1)R(2,1)R(3,3)R(4,1)R(4,3)R(2,2)R(4,4)例7.14華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲龍貝格積分的精度定理7.7設(shè)f∈C2K+2[a,b]，則龍貝格逼近的截?cái)嗾`差由公式給出，其中h=(b-a)/2J為依賴于K的常數(shù)，且cJ,K∈[a,b]例7.15華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院謝驪玲自適應(yīng)積分在計(jì)算定積分的數(shù)值方法中，主要工作量是用在計(jì)算