彈性力學之平面問題的直角坐標解答講義

彈性力學課堂教學軟件

1《彈性力學課堂教學軟件》既是教師的多媒體教案（電子教案），又是學生計算機CAI教學教材。繪制的工程圖片形象、生動、有效地幫助學生理解和記憶；圖文并茂，甩掉了粉筆加黑板的傳統(tǒng)教學模式，大大地增加了課堂教學的信息量，精簡了學時，提高了教學質(zhì)量。它既解放了教師寫教案、畫圖、板書等煩瑣的工作，又減輕了學生課堂記筆記的負擔；既是教師必備的彈性力學教學工具，又是學生的必備電子教材。該軟件覆蓋了彈性力學課程的全部內(nèi)容，并以廣泛使用徐芝綸編的《彈性力學》等教材為參考教材，全書共分為十二章：第一章緒論；第二章平面問題的基本理論；第三章平面問題的直角坐標解答；第四章平面問題的極坐標解答；第五章平面問題的復變函數(shù)解答；第六章熱應(yīng)力問題的基本解法；第七章有限差分法；第八章空間問題；第九章扭轉(zhuǎn)；第十章變分法；第十一章彈性波；第十二章板問題。任課教師可以根據(jù)自己的需要方便地增加、刪減或調(diào)整講課順序，可適用于各種學時《彈性力學》課程教學。內(nèi)容簡介該軟件適合586以上的各種微機，中文windows95、windows98、windows2000、office97、office2000及以上各種版本，可光盤運行，也可在硬盤運行。地址：北京市朝陽區(qū)芍藥居35號責任編輯：王秀杰煤炭工業(yè)音像出版社出版ISBN7-89996-201-3/O010234第一章緒論第三章平面問題的直角坐標解答第四章平面問題的極坐標解答第五章平面問題的復變函數(shù)解答第六章熱應(yīng)力問題的基本解法第二章平面問題的基本理論使用說明書5第八章空間問題第十章變分法第十一章彈性波第十二章板問題第九章扭轉(zhuǎn)第七章有限差分法模擬試題6第三章平面問題的直角坐標解答7第三章平面問題的直角坐標解答平面問題的直角坐標解答§3-1多項式解答§3-2位移分量的求出§3-3簡支梁受均布載荷§3-4楔形體受重力和液體壓力§3-5級數(shù)式解答§3-6簡支梁受任意橫向載荷習題課18一、應(yīng)力函數(shù)取一次多項式§3-1多項式解答平面問題的直角坐標解答應(yīng)力分量：應(yīng)力邊界條件：結(jié)論：（1）線性應(yīng)力函數(shù)對應(yīng)于無面力、無應(yīng)力的狀態(tài)。（2）把任何平面問題的應(yīng)力函數(shù)加上一個線性函數(shù)，并不影響應(yīng)力。二、應(yīng)力函數(shù)取二次多項式1.對應(yīng)于，應(yīng)力分量。29平面問題的直角坐標解答結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板在方向受均布拉力（設(shè)）或均布壓力（設(shè)）的問題。如圖3-1（a）。2.對應(yīng)于，應(yīng)力分量。結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板受均布剪力問題。如圖3-1（b）。圖3-1（a）（b）（c）310平面問題的直角角坐標解答3.應(yīng)力函數(shù)能解決矩形板在方向受均布拉力（設(shè)）或均布壓力（設(shè)）的問題。如圖3-1（c）。三、應(yīng)力函數(shù)取取三次多項式對應(yīng)的應(yīng)力分量量：結(jié)論：應(yīng)力函數(shù)（a）能解決矩形梁受受純彎曲的問題題。如圖3-2所示的矩形梁。。（a）圖圖3-2411平面問題的直角角坐標解答具體解法如下:如圖3-2,取單位寬度的梁來考察,并命每單位寬度上力偶的矩為。這里的因次是[力][長度]/[長度]，即[力]。在左端或右端，水平面力應(yīng)當合成為力偶，而力偶的矩為，這就要求：前一式總能滿足足，而后一式要要求：代入式（a），得：5將式（a）中的代入，上列二式成為：12平面問題的直角角坐標解答因為梁截面的慣矩是，所以上式可改寫為：結(jié)果與材料力學學中完全相同。。注意：對于長度遠大于深度的梁，上面答案是有實用價值的；對于長度與深度同等大小的所謂深梁，這個解答是沒有什么實用意義的。613§3-2位移分量的求出出平面問題的直角角坐標解答以矩形梁的純彎彎曲問題為例，，說明如何由應(yīng)應(yīng)力分量求出位位移分量。一、平面應(yīng)力的的情況將應(yīng)力分量代入物理方程714平面問題的直角角坐標解答得形變分量：（a）再將式（a）代入幾何方程：：得：前二式積分得：（b）（c）其中的和是任意函數(shù)。將式（c）代入（b）中的第三式815平面問題的直角角坐標解答得：等式左邊只是的函數(shù)，而等式右邊只是的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一常數(shù)。于是有：積分以后得：代入式（c），得位移分量：其中的任意常數(shù)、、須由約束條件求得。（d）916平面問題的直角角坐標解答（一）簡支梁如圖3-3（a），約束條件為：由式（d）得出：代入式（d），就得到簡支梁的位移分量：梁軸的撓度方程：圖3-3（a）（b）1017平面問題的直角角坐標解答（二）懸臂梁如圖3-3（b），約束條件為：由式（d）得出：代入式（d），得出懸臂梁的位移分量：梁軸的撓度方程：二、平面應(yīng)變的的情況只要將平面應(yīng)力情況下的形變公式和位移公式中的換為，換為即可。1118§3-3簡支梁受均布載載荷平面問題的直角角坐標解答設(shè)有矩形截面的簡支梁，深度為，長度為，受均布載荷，體力不計，由兩端的反力維持平衡。如圖3-4所示。取單位寬度的梁來考慮，可視為平面應(yīng)力問題。圖3-4用半逆解法。假假設(shè)只是的的函數(shù)：則：對積分，得得：解之，得：其中，、是任意函數(shù)，即待定函數(shù)。（a）（b）1219平面問題的直角角坐標解答現(xiàn)在考察，上述應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程。為此，對求四階導數(shù)：將以上結(jié)果代入入相容方程，得得：相容條件要求此二次方程有無數(shù)的根(全梁內(nèi)的值都應(yīng)該滿足它),所以,它的系數(shù)和自由項都必須等于零。即：1320平面問題的直角角坐標解答前面兩個方程要求：第三個方程要求：（c）（d）將式（c）和（d）代入式（b），得應(yīng)力函數(shù)：（e）相應(yīng)的應(yīng)力分量為：（f）（g）（h）1421平面問題的直角角坐標解答這些應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部應(yīng)力邊界條件都滿足，除非常數(shù)、…等于特定值，這樣以上應(yīng)力分量才是正確的解答。因為面是梁和荷載的對稱面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當對稱于yz面。這樣，和應(yīng)當是的偶函數(shù)，而應(yīng)當是的奇函數(shù)。于是由式（f）和（h）可見：將上式代入應(yīng)力分量表達式，三個應(yīng)力分量變?yōu)椋荷鲜街泄灿辛鶄€待定常數(shù)，利用應(yīng)力邊界條件求出。（一）考察上下兩邊的邊界條件（i）1522平面問題的直角角坐標解答整理，得：由于這四個方程是獨立的，互不矛盾的，而且只包含四個未知數(shù)，所以聯(lián)立求解，得：將上面所得常數(shù)代入應(yīng)力分量表達式（i），得：（k）（l）（j）1623平面問題的直角角坐標解答（二）考察左右兩邊的邊界條件由于對稱性，只需考慮其中的一邊?？紤]右邊：（m）（n）將式（j）代入式（m），得： 積分，得：將式（j）代入式（n），得： 積分，得：1724平面問題的直角角坐標解答將式（l）代入，上式成為：另一方面，在梁的右邊剪應(yīng)力滿足：將和代入式（j），得：（p）將式（p）、（k）、（l）整理，得應(yīng)力分量：（q）1825平面問題的直角角坐標解答式（q）可以改寫為：各應(yīng)力分量沿鉛鉛直方向的變化化大致如圖3-5所示。在的表達式中，第一項是主要項，和材料力學中的解答相同，第二項是彈性力學提出的修正項。對于通常的淺梁，修正項很小，可以不計。對于較深的梁，則需注意修正項。的最大絕對值是，發(fā)生在梁頂。在材料力學中，一般不考慮這個應(yīng)力分量。和材料力學里完全一樣。19圖3-526§3-4楔形體受重力和和液體壓力平面問題的直角角坐標解答設(shè)有楔形體,如圖3-6a所示，左面鉛直,右面與鉛直面成角，下端無限長，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為，液體的密度為，試求應(yīng)力分量。問題：20圖圖圖圖3-6（a）（b）27平面問題的直角角坐標解答取坐標軸如圖所示。假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：（二）邊界條件左面（）應(yīng)力邊界條件：這些應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和相容方程。（一）應(yīng)力分量在該問題中，體力分量，所以應(yīng)力分量的表達式為：（a）2128平面問題的直角角坐標解答右面（），，應(yīng)力邊界條件：將式（a）代入，得：代入式（a），得：（b）將式（b）代入，得：（c）又：2229平面問題的直角角坐標解答代入式（c），得：將這些系數(shù)代入式（b），得：各應(yīng)力分量沿水平方向的變化大致如圖3-6b所示。注意：1.沿著壩軸，壩身往往具有不同的截面，而且壩身也不是無限長的。因此，嚴格說來，這里不是一個平面問題。2.對于壩身底部來說，上面的解答是不精確的。3.在靠近壩頂處，以上解答也不適用。2330平面問題的直角角坐標解答§3-5級數(shù)式解答用逆解法。假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：（a）其中是任意常數(shù)，它的因次是[長度]-1，而是的任意函數(shù)。將式（a）代入相容方程，得：（b）解之，得：其中、、、都是任意常數(shù)。得到應(yīng)力函數(shù)的一個解答：假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：同樣可以得出應(yīng)力函數(shù)的另一個解答：（c）2431平面問題的直角角坐標解答仍然是該微分方程的解答。所以可以得到三角級數(shù)式的應(yīng)力函數(shù)：相應(yīng)的應(yīng)力分量：將式（c）與（d）疊加，得：其中、、、也都是任意常數(shù)。（d）2532平面問題的直角角坐標解答2633平面問題的直角角坐標解答這些應(yīng)力分量滿足平衡微分方程和相容方程。如果能夠選擇其中的待定常數(shù)、、、、、、、、、或再疊加以滿足平衡微分方程和相容方程的其它應(yīng)力分量表達式，使其滿足某個問題的邊界條件，就得出該問題的解答。2734§3-6簡支梁受任意橫橫向載荷平面問題的直角角坐標解答問題：

設(shè)簡支梁的跨度為，高度為，坐標軸如圖3-7所示，上下兩邊的橫向載荷分別為及，左右兩端的反力分別為及。圖3-72835平面問題的直角角坐標解答為了滿足邊界條件（c），?。?,…3,2,1(==mlmmpa上下兩邊正應(yīng)力的邊界條件：上下兩邊剪應(yīng)力的邊界條件：左右兩端正應(yīng)力的邊界條件：左右兩端剪應(yīng)力的邊界條件：（a）（b）（c）（d）2936平面問題的直角角坐標解答應(yīng)力分量簡化為為：（1）3037平面問題的直角角坐標解答代入邊界條件（（b）和（a），得：由此可以得出求解系數(shù)、、、的方程。（e）（f）（g）（h）3138平面問題的直角角坐標解答由式（e）、（f），得：（i）（j）按照傅立葉級數(shù)展開法則，有：與式（g）對比，得：從而，得：（k）3239平面問題的直角角坐標解答同樣由式（h），得：（）求出式（k）及式（）右邊的積分以后，可由（i）、（j）、（k）、（）四式求得系數(shù)、、、，從而由公式（1）求得應(yīng)力分量。求出應(yīng)力分量后，可由式（d）求得反力及，并利用兩個反力與荷載的平衡作為校核之用。結(jié)論：1.用級數(shù)求解平面問題時，計算工作量很大。2.由于梁的兩端的應(yīng)力邊界條件不能精確滿足，因而應(yīng)力的解答只適用于距兩端較遠之處；對于跨度與高度同等大小的梁，這種解答是沒有用處的。3340平面問題的直角角坐標解答§3-7《平面問題的直角角坐標解答》習題課[練習1]設(shè)有矩形截面的豎柱，其密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力，如圖1，試求應(yīng)力分量。解：1.采用半逆解法，設(shè)。導出使其滿足雙調(diào)和方程：34圖1o41平面問題的直角角坐標解答取任意值時，上式都應(yīng)成立，因而有：式中，中略去了常數(shù)項，中略去了的一次項及常數(shù)項，因為它們對應(yīng)力無影響。（1）2.含待定常數(shù)的應(yīng)力分量為：（2）3542平面問題的直角角坐標解答3.利用邊界條件確定常數(shù)，并求出應(yīng)力解答：能自然滿足：能自然滿足：（3）不能精確滿足，只能近似滿足：由式（3）、（4）解出常數(shù)和，進而可求得應(yīng)力分量：（4）3643平面問題的直角角坐標解答（1）中的不不能略去，因因為對剪剪應(yīng)力有影響。。（2）在上端部，首首先應(yīng)使應(yīng)力分分量精確滿足邊邊界條件，如不不能，則可運用用圣維南原理放放松滿足。本題題能能精確滿滿足，因此，在在此處是精精確解，而在在上端部是近近似解。（3）若設(shè)，，則導導出的應(yīng)力函數(shù)數(shù)和應(yīng)力分分量為：4.分析：（5）（6）（7）3744平面問題的直直角坐標解答答常數(shù)確定后代代入式（7），所得結(jié)果果與式（5）相同。[練習2]如圖2（a），三角形懸臂梁只受重力作用，梁的密度為，試用純?nèi)问綉?yīng)力函數(shù)求解該梁的應(yīng)力分量。圖2（a）（b）解：1.設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：不難驗證其滿足。所以應(yīng)力分量為：3845平面問題的直直角坐標解答答2.用邊界條件確定常數(shù)，進而求出應(yīng)力解答：上邊界：斜面：解得：3946平面問題的直直角坐標解答答3.分析：本題的應(yīng)力函數(shù)可用量綱分析方法得到，此函數(shù)亦可用來求解上邊界受線形載荷作用的問題，見圖2（b）。40[練習3]如果為平面調(diào)和函數(shù)，它滿足 ，問 是否可作為應(yīng)力函數(shù)。解：將 代入相容容條件，得：：滿足雙調(diào)和方方程，因此，，可作為應(yīng)力力函數(shù)。將代代入相相容條件得47 也能作為應(yīng)力函數(shù)。把