高中數學 典型例題 球課標 試題

高中數學新課標典型例題：球兀例1.地球的半徑為R，球面上A,B兩點都在北緯45。圈上，它們的球面間隔為-R,A點在東經30。上，求B點的位置及A,B兩點所在其緯線圈上所對應的劣弧的長度.分析：求點B的位置，如圖就是求ZAO]B的大小，只需求出弦AB的長度.對于AB應把它放在AOAB中求解，根據球面間隔概念計算即可.解：如圖，設球心為O，北緯45。圈的中心為O],TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"兀兀由A,B兩點的球面間隔為-R，所以ZAOB=-，AOAB為等邊三角形.于是AB=R.\o"CurrentDocument"由OA=OB=R-cos45°=R,ii2OA2+OB2=AB2ii即ZAOBi創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日.■7又A點在東經30°上，故B的位置在東經120°，北緯45°或者者西經60°，北緯45°..A,B兩點在其緯線圈上所對應的劣弧O]A-y=~^兀R-說明：此題主要目的在于明確經度和緯度概念，及利用球的截面的性質和圓的有關性質設計計算方案.典型例題二例2.用兩個平行平面去截半徑為R的球面，兩個截面圓的半徑為24cm,r=15cm.兩截面間的間隔為d二27cm，求球的外表2積.分析：此類題目的求解是首先做出截面圖，再根據條件和截面性質做出與球的半徑有關的三角形等圖形，利用方程思想計算可得．解：設垂直于截面的大圓面交兩截面圓于AB,AB，上述大圓的垂直于AB的直徑112211交AB,AB于O,0，如圖2.112212'd+d=2712設OO=d,OO=d，那么\d2+242=R2，解得R=25.11221d2+152=R22.??S=4兀R2=2500兀(cm2).圓說明：通過此類題目，明確球的有關計算問題需先將立體問題轉化為平面問題，進一步熟悉有關圓的根底知識，純熟使用方程思想，合理設元，列式，求解．典型例題三例3.自半徑為R的球面上一點M，引球的三條兩兩垂直的弦MA,MB,MC，求MA2+MB2+MC2的值.分析：此題欲計算所求值，應首先把它們放在一個封閉的圖形內進展計算，所以應引導學生構造熟悉的幾何體并與球有親密的關系，便于將球的條件與之相聯(lián)．解:以MA,MB,MC為從一個頂點出發(fā)的三條棱，將三棱錐M-ABC補成一個長方體，那么另外四個頂點必在球面上，故長方體是球的內接長方體，那么長方體的對角線長是球的直徑．MA2+MB2+MC2=(2R)2=4R2.說明：此題突出構造法的使用，以及浸透利用分割補形的方法解決立體幾何中體積計算典型例題四例4．試比擬等體積的球與正方體的外表積的大小．創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日

分析：首先抓好球與正方體的根本量半徑和棱長，找出等量關系，再轉化為其面積的大小關系.解：設球的半徑為r，正方體的棱長為a，它們的體積均為V，那么由第r3=V,r3=，r二耳乎，由a3二V,得a二亍34兀\4兀S二4兀r2二4兀(3'—)2二v'4kV2球34兀S=6a2=6(—V)2=6—V2=3：216V2.正方體4兀v216<4兀V2<V216V2，即S<S球正方體說明：突出相關的面積與體積公式的準確使用，注意比擬大小時運算上的設計.典型例題五例5.如圖1所示，在棱長為1的正方體內有兩個球相外切且又分別與正方體內切.〔1〕求兩球半徑之和；〔2〕球的半徑為多少時，兩球體積之和最小.分析：此題的關鍵在于作截面，一個球在正方體內，學生一般知道作對角面，而兩個球的球心連線也應在正方體的體對角線圖1上，故仍需作正方體的對角面，得如圖2的截面圖，在圖2中，觀察R與r和棱長間的關系即可.解：如圖2,球心O和O在AC上，過O，O分別作AD,BC的垂線交于E,F.1212f、?A那么由AB=1,AC=玄3得AO=\：3r,CO=、：3R.12r+R+1：3(r+R)=弋3，

創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日創(chuàng)作；朱本曉創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日創(chuàng)作；朱本曉創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日???R+r?二口J3+12〔1〕設兩球體積之和為V,那么V=3兀(R3+r3)=4兀(r+R)(R2-Rr+r2)4二一兀343J3/3(3—兀4二一兀343J3/3(3—兀323.'3(亍-離34二一兀33R2-皆R+￥有最小值????當R二r二H3時，體積之和有最小值.4典型例題六例6.設正四面體中，第一個球是它的內切球，第二個球是它的外接球，求這兩個球的外表積之比及體積之比.分析：此題求解的第一個關鍵是搞清兩個球的半徑與正四面體的關系，第二個關鍵是兩個球的半徑之間的關系，依靠體積分割的方法來解決的.解：如圖，正四面體ABCD的中心為O，ABCD的中心為q,那么第一個球半徑為心到頂點的間隔.正四面體的中心到各面的間隔，第二個球的半徑為正四面體中心到頂點的間隔.設00=r,OA=R，正四面體的一個面的面積為S.1依題意得V=；S(R+r)，A-BCD3又V=4V=4X1r-SA-BCDO-BCD34比「內切球的表面積4兀r21內切球的體積3r31所以外接球的表面積4兀R29-外接球的體積4欣327-3說明：正四面體與球的接切問題，可通過線面關系證出，內切球和外接球的兩個球心是重合的，為正四面體高的四等分點，即定有內切球的半徑r=1h（h為正四面體的高），且4外接球的半徑R二3r.典型例題七例7．把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點與桌面的間隔．分析：關鍵在于能根據要求構造出相應的幾何體，由于四個球半徑相等，故四個球一定組成正四面體的四個頂點且正四面體的棱長為兩球半徑之和2．解：由題意，四球心組成棱長為2的正四面體的四個頂點，32^6那么正四面體的高h=\：22-（2?才）2=3-而第四個球的最高點到第四個球的球心間隔為求的半徑1，且三個球心到桌面的間隔都為1,故第四個球的最高點與桌面的間隔為2+丄!6說明：此類型題目對培養(yǎng)學生空間想象才能，并根據題意構造熟悉幾何體都非常有幫助，且還可以適當增加一點實際背景，加強應用意識．典型例題八例8過球面上兩點作球的大圓，可能的個數是〔〕A.有且只有一個B.—個或者無窮多個

C.無數個C.無數個D.以上均不正確分析：對球面上兩點及球心這三點的位置關系進展討論.當三點不一共線時，可以作一個大圓；當三點一共線時，可作無數個大圓，應選B答案：B說明：解此易選出錯誤判斷A.其原因是無視球心的位置.典型例題九例9球面上有3個點，其中任意兩點的球面間隔都等于大圓周長的經過3個點的小圓的周長為4n，那么這個球的半徑為〔〕.A.4、；3B.2運C.2D.分析：利用球的概念性質和球面間隔的知識求解.設球的半徑為R，小圓的半徑為r,那么2兀r=4兀，.:r=2.如下圖，設三點A、B、C，O為球心，2兀兀ZAOB=ZBOC=ZCOA==.又TOA=OB，.:AAOB是等邊三角形，同樣，ABOC、ACOA都是等邊三角形，得AABC為等邊三角形，邊長等于球半徑R.r為AABC答案：B說明：此題是近年來球這局部所出的最為綜合全面的一道題，除了考察常規(guī)的與多面體綜合外，還考察了球面間隔，幾乎涵蓋了球這局部所有的主要知識點，是一道不可多得的創(chuàng)作；朱本曉創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日好題.典型例題十例10半徑為R的球內接一個各棱長都相等的四棱錐.求該四棱錐的體積.分析：四棱錐的體積由它的底面積和高確定，只需找到底面、高與球半徑的關系即可,解決這個問題的關鍵是如何選取截面，如下圖.解：T棱錐底面各邊相等，???底面是菱形.???棱錐側棱都相等，???側棱在底面上射影都相等，即底面有外接圓.?底面是正方形，且頂點在底面上的射影是底面中心，此棱錐是正棱錐.過該棱錐對角面作截面，設棱長為a，那么底面對角線AC=v2a，故截面SAC是等腰直角三角形.又因為SAC是球的大圓的內接三角形，所以AC=2R，即a2R..?.高SO=R，體積V=—S-SO=—R3.3底3說明：在作四棱錐的截面時，容易誤認為截面是正三角形，假如作平等于底面一邊的對稱截面〔過棱錐頂點，底面中心，且與底面一邊平行〕可得一個腰長為斜高、底為底面邊長的等腰三角形，但這一等腰三角形并不是外接球大圓的內接三角形.可見，解決有關幾何體接切的問題，如何選取截面是個關鍵.創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日創(chuàng)作；朱本曉創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日創(chuàng)作；朱本曉創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日解決此類問題的方法通常是先確定多面體的棱長〔或者高或者某個截面內的元素〕與球半徑的關系，再進一步求解.典型例題十一例11在球面上有四個點P、A、B、C，假如PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a.求這個球的外表積.分析：S=4兀R2，因此求球的外表關鍵在于求出球的半徑R.球面解：設過A、B、C三點的球的截面半徑為r，球心到該圓面的間隔為d，那么R2=r2+d2.由題意知P、A、B、C四點不一共面，因此是以這四個點為頂點的三棱錐P-ABC〔如下圖〕.AABC的外接圓是球的截面圓.由PA、PB、PC互相垂直知，P在ABC面上的射影O'是AABC的垂心，又PA=PB=PC=a，所以O'也是AABC的外心，所以AABC為等邊三角形，且邊長為f2a，O'是其中心，從而也是截面圓的圓心.創(chuàng)作；朱本曉創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日24創(chuàng)作；朱本曉24創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日據球的截面的性質，有OO'垂直于。O'所在平面,因此P、O'、O一共線，三棱錐P-ABC是高為PO'的球內接正三棱錐，從而d=R-PO.6你由得r=^3.a，PO'=^3.a，所以R2=r2+d2=r2+(R-PO')2，可求得R='a，2S=4兀R2=3兀a2.球面說明：涉及到球與圓柱、圓錐、圓臺切接問題，一般作其軸截面；涉及到球與棱柱、棱錐、棱臺的切接問題，一般過球心及多面體中特殊點或者線作截面，把空間問題化為平面問題，進而利用平面幾何的知識尋找?guī)缀误w元素間的關系.典型例題十二例12棱長為3的正四面體ABCD，E、F是棱AB、AC上的點，且AF=2FC,BE二2AE.求四面體AEFD的內切球半徑和外接球半徑.分析：可用何種法求內切球半徑，把Vd_aef分成4個小體積（如圖）.解:設四面體AEFD內切球半徑為r，球心N，外接球半徑R，球心M，連結NA、NE、NF、ND，那么V二V+V+V+VAEFDN-AEFN-AFDN-ADEN-EFD四面體AEFD各面的面積為AAEF9AABCAAFD3AAEF9AABCAAFD3AABCAAED3AABCADEF各邊邊長分別為EF=\3，DF=DE=-^7,創(chuàng)作；朱本曉創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日創(chuàng)作；朱本曉創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日???S=-v-3.TOC\o"1-5"\h\zADEF4ADEF9ABCD2V=1r(S+S+S+S),AEFD3AAEFAAFDAAEDADEF<21八;33、沽3<35込、:.二一r(+++),32244?來:.r=-8如圖，AAEF是直角三角形，其個心是斜邊AF的中點G.設WC中心為%連結竹，過G作平面AEF的垂線，M必在此垂線上,連結Gq、MD.-MG丄平面ABC，DO丄平面ABC，1?MG//DO，MG丄GO.ii在直角梯形GODM中，GO=1，DO]=「6,111MD=R，MG=^AmT^Ag2=^R2-1，又(DO-MG)2+GO2=MD2(、6-、R2—1)2+1=R2，11解得：R=屮綜上，四面體aefd的內切球半徑為W6,外接球半徑為冷°.82說明：求四面體外接半徑的關鍵是確定其球心.對此多數同學束手無策，而這主要是因此題圖形的背景較復雜.假設把該四面體單獨移出，那么不參發(fā)現其球心在過各面三角形外心且與該三角形所在平面垂直的直線上，另還須注意其球心不一定在四面體內部.此題在求四面體內切球半徑時，將該四面體分割為以球心為頂點，各面為底面的四個三棱錐，通過其體積關系求得半徑?這樣分割的思想方法應給予重視.典型例題十三例13一個倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內注入水，并放入一個半徑為r的鐵球，這時水面恰好和球面相切.問將球從圓錐內取出后，圓錐內程度面的高是多少？分析：先作出軸截面，弄清楚圓錐和球相切時的位置特征，利用鐵球取出后，錐內下降局部（圓臺）的體積等于球的體積，列式求解.解：如圖，作軸截面，設球未取出時，水面高PC二h，球取出后，水面高PH二x.*.*AC=\：3r，PC=3r，那么以AB為底面直徑的圓錐容積為V=1K-AC2-PC圓錐31「=—兀（、：3r）2-3r=3兀r3，3

V=4兀r3.球3球取出后，水面下降到EF，水的體積為V=-兀?EH2-PH=-兀(PHtan30°)2PH=-Kx3.水33914圓錐又V=V-V，那么一KX3=3Kr3-Kr3,水圓錐球93圓錐解得x二3：15r.答：球取出后，圓錐內程度面高為315r.說明：抓住水的何種不變這個關鍵，此題迅速獲解.說明：抓住水的何種不變這個關鍵，此題迅速獲解.典型例題十四例14球面上有三點A、B、C組成這個球的一個截面的內接三角形三個頂點，其中AB二18，BC=24、AC=30，球心到這個截面的間隔為球半徑的一半，求球的外表積.分析：求球的外表積的關鍵是求球的半徑，此題的條件涉及球的截面，AABC是截面的內接三角形，由此可利用三角形求截面圓的半徑，球心到截面的間隔為球半徑的一半，從而可由關系式r2=R2-d2求出球半徑R.解：???AB二18，BC二24，AC二30，???AB2+BC2=AC2，AABC是以AC為斜邊的直角三角形.AABC的外接圓的半徑為15,即截面圓的半徑r=15，又球心到截面的間隔為d=1R，.?.R2-(丄R)2=152，得R=10\3.?球的外表積為S二4kR2二4兀(10^3)2二1200k.說明：涉及到球的截面的問題，總是使用關系式r=JR2-d2解題，我們可以通過兩個量求第三個量，也可能是抓三個量之間的其它關系，求三個量.例如，過球O外表上一創(chuàng)作；朱本曉創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日點A引三條長度相等的弦AB、AC、AD，且兩兩夾角都為60。，假設球半徑為R,求弦AB的長度.由條件可抓住A-BCD是正四面體，A、B、C、D為球上四點，那么球過點B、C、心在正四面體中心，設AB=過點B、C、%,;3J3J61J6D的截面圓半徑r二丁a，所以（丁a）2二R2-（丁a—R）2得a=—^-R.典型例題十五兀例15A、B是半徑為R的球O的球面上兩點，它們的球面間隔為-R，求過A、B的平面中，與球心的最大間隔是多少？兀兀分析：A、B是球面上兩點，球面間隔為2R，轉化為球心角ZAOB=-，從而AB=<2R，由關系式r2=R2—d2，r越小，d越大，r是過A、B的球的截面圓的半徑，所以AB為圓的直徑，r最小.兀解：???球面上A、B兩點的球面的間隔為-R..??ZAOB=-,.??AB=42R.21邁當AB成為圓的直徑時，r取最小值，此時r=AB二三R，d取最大值，d=JR2一r2=R，2^2即球心與過A、B的截面圓間隔最大值為亍R.說明：利用關系式r2=R2—d2不僅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半徑r與球心到截面的間隔d之間的變化規(guī)律．此外此題還涉及到球面間隔的使用，球面間隔直接與兩點的球心角ZAOB有關，而球心角ZAOB又直接與AB長度發(fā)生聯(lián)絡，這是使用或者者求球面間隔的一條根本線索，繼續(xù)看下面的例子．創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日創(chuàng)作；朱本曉創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日創(chuàng)作；朱本曉創(chuàng)作；朱本曉2022年元月元日典型例題十六例16正三棱錐的高為1,底面邊長為2、綸,正三棱錐內有一個球與其四個面相切.求球的外表積與體積.分析：球與正三棱錐四個面相切，實際上，球是正三棱錐的內切球，球心到正三棱錐的四個面的間隔相等，都為球半徑R.這樣求球的半徑可轉化為球球心到三棱錐面的間隔，而點面間隔?？梢杂玫润w積法解決.解：如圖，球O是正三棱錐P-ABC的內切球，O到正三棱錐四個面的間隔都是球88PH是正三棱錐的高，即PH=1.E是BC邊中點，H在AE上,AABC的邊長為AABC的邊長為2\：6，???HE=:.PE仝可以得到S=S=S=BC-PE=3弋2.TOC\o"1-5"\h\zAPABAPACAPBC2-_S=(2/6)2=6訂\o"CurrentDocument"AABC4由等體積法，V=V+V+V+VP-ABCO-PABO-PACO-PBCO-ABC-x6p3x1=-x3x；2xRx3+-x6^3xR\o"CurrentDocument"33

得：R==它6—2,2J3+3S二4兀R2二4兀0.6—2)2二8(5—2、6)兀.球4lV=一兀R3=兀(“6—2)3.球33說明：球心是決定球的位置關鍵點，此題利用球心到正三棱錐四個面的間隔相等且為球半徑R來求出R，以球心的位置特點來抓球的根本量，這是解決球有關問題常用的方法?比方：四個半徑為R的球兩兩外切，其中三個放在桌面上，第四個球放在這三個球之上，那么第四個球分開桌面的高度為多少？這里，四個球的球心這間的間隔都是2R，四個球心構成一個棱長為2R的正四面體，可以計算正四面體的高為fx2R二羊R,從而上面球分開桌面的高度為2R+典型例題十七例17求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比.分析：首先畫出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公一共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關系.解：如圖，等邊ASAB為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形CCDD^，截球面得球的大圓圓設球的半徑00廣R，那么它的外切圓柱的高為2R，底面半徑為ROB二OO?cot30。二V3R,SO二OB?tan60。3R?、污二3R,4:.V=兀R3,V=兀R2?2R二2兀R3,球3柱V=-兀?（、3r）2?3R=3兀R3,錐3.?.V:V:V=4：6：9.球柱錐典型例題十八例18正三棱錐P-ABC的側棱長為l，兩側棱的夾角為2，求它的外接球的體積.分析：求球半徑，是解此題的關鍵.解：如圖，作PD丄底面ABC于D，那么D為正AABC的中心.?：OD丄底面ABC,.??O、P、D三點一共線.???PA=PB=PC=l，ZAPB=2.AB=\：2l2一2l2cos2a=2lsina..??AD=&AB=^Isina，33設ZAPD=0，作OE丄PA于E，在RtAAPD中，AD2.3.?/sin0==sina，PA3又OP=OA=R,.??PE=-PA=-1.22

1在RtAPOE中,???R=PO=-PE-=2^=,在RtAPOE中,C0S卩,'1-4sin2a31212■41一一sin2a；33兀133-4sin2a2(3-4sin2a)說明：解決與球有關的接、切問題時，一般作一個適當的截面，將問題轉化為平面問題解決，這類截面通常指圓錐的軸截面、球的大圓、多面體的對角面等，在這個截面中應包括每個幾何體的主要元素，且這個截面必須能反映出體和體之間的主要位置關系和數量關系.

典型例題十九例19在球心同側有相距9cm的兩個平行截面，它們的面積分別為4%cm2和405cm2.求球的外表積.分析：可畫出球的軸截面，利用球的截面性質，求球的半徑.解：如圖為球的軸截面，由球的截面性質知，AO//BO，且假設O、O分別為兩截1212面圓的圓心，那么00丄AO，00丄BO.設球的半徑為R.1122??兀?OB2二49兀，.：OB=7(cm)22同理兀?OA2=400兀，?：OA=20(cm)11設OO=xcm，那么OO=(x+9)cm.