數(shù)列求和的方法總結(jié)教案

名師精編一址秀教案課教案學(xué)員姓名：授課教師：所授科目：學(xué)員年級：上課時間：一年—月―日―時―分至―時―分共一小時教學(xué)標(biāo)題教學(xué)目標(biāo)熟練掌握：專題數(shù)列求和的方法總結(jié)教學(xué)重難點重點掌握： 考點內(nèi)容：上次作業(yè)檢查正確數(shù)： 正確率： 問題描述：授課內(nèi)容：一復(fù)習(xí)上次課內(nèi)容：二梳理知識(新課內(nèi)容)數(shù)列求和的常用方法:(1)公式法：必須記住幾個常見數(shù)列前n項和c n(a+a) n(n-1)d等差數(shù)列:等比數(shù)列:S= 1 n—=naH等差數(shù)列:等比數(shù)列:TOC\o"1-5"\h\zn2 1 2na q=1S=\a(1-qn) 一1；n q牛1I1-q(2)分組求和(2)分組求和：如：求1+1,1+4

a H7,…， H3n-2,…的前n項和a2 an-1.111 1可進(jìn)仃分組即：1++H H H H1+4+7+ 3n—2aa2a3 an-1前面是等比數(shù)列，后面是等差數(shù)列，分別求和(3n+(3n+1)n2(注：S=1 2n(3n-1)n—I2⑶裂項法：如a=

n1n(n+2) a=1) a中11，求Sn ，常用的裂項n(n+1)11/11、 1 1r1 1 =一(—— )； =[ - n(n+2)2nn+2 n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2)(4)錯位相減法：其特點是cjanbn其中｛an｝是等差，｛bn｝是等比如：求和S=1+3x+5x2+7x3+ +(2n—1)xn-i注意討論x,nrn2 x=1Sn-<(2n-1)xn+1一(2n+1)xn+(1+x)豐]” (1-X)2 X(5)倒序求和：等差數(shù)列的求和公式就是用這種方法推導(dǎo)出來的。如求證：Co+3Ci+5C2+…nnn+(2n—1)Cn=(n+1)2nn

名師精編一址秀教案三典型例題名師精編一址秀教案三典型例題典型題（一）公式法求和如果一個數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前n項和的公式來求.①等差數(shù)列求和公式:n①等差數(shù)列求和公式:n(a+a) n(n-1) 1 -=na+ d2 1 2②等比數(shù)列求和公式:na(q=1))1a-aq常見的數(shù)列的前n項和:1+2②等比數(shù)列求和公式:na(q=1))1a-aq常見的數(shù)列的前n項和:1+2+3+ +n= n—1-qn(n+1)(q21), 1+3+5+ +(2n-1)=n2n(n+1)(2n+1)12+22+32+ +n2=二 △ 13+23+33+…，…+n3=n(n+1)2等.題1:等比數(shù)列｛a｝的前n項和S=2-1,貝Ia2+a2+a2+

1 2 3題2:若I2+22+—+(n-1)2=an3+bn2+cn,貝a=,b二解：原式二(n-1)n?(2n-1)=2n3-3n2+n.答案:典型題（二）倒序相加法求和:類似于等差數(shù)列的前n項和的公式的推導(dǎo)方法。如果一個數(shù)列｛aj，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€和式相加，就得到一個常數(shù)列的和。這一種求和的方法稱為倒序相加法.題1:已知函數(shù)f（x）=(1)證明:f(x)+f(1-x)=1；(8)v，…1010?,+fTn+f~的值.k10J1010解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，

名師精編一眾秀教案一..(9\一一一f6+f而I―f~名師精編一眾秀教案一..(9\一一一f6+f而I―f~+f~k107k1010101010人 , 乙 (8I v令S=f—+f—+…+f77；+f—7k10101010一(9I,, 乙 .則S=f—+f—+ +f—+f—k107k107 k107 k10101010兩式相加得:. (9II2S—9xf-+f-=9107k1077小結(jié)：解題時，認(rèn)真分析對某些前后具有對稱性的數(shù)列，可以運(yùn)用倒序相加法求和.10針對訓(xùn)練：求值：s=上+++白+……+典型題（三）錯位相減法求數(shù)列的前N項和:類似于等比數(shù)列的前n項和的公式的推導(dǎo)方法。若數(shù)列各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘得到，即數(shù)列是一個“差?比”數(shù)列，則采用錯位相減法.b?c，其中｛b｝是等差數(shù)列，｛c｝是公比為q等比數(shù)列，令bc+bcH Fbc+bcn-1n-1 nn則qs則qs=

nbc+bcF Fbc+bcn-1nnn+1兩式相減并整理即得題1題1： 已知a―n?2n-1，求數(shù)列｛4｝的前n項和解：S―1.20+2.21+...+(n-1).2n-2+n.2n-1?n2S=121+2.22+...+(n-1).2n-1+n?2nn②一①得S=n.2n-1.20-21-??.2n-1=n.2n-2n+1n

名師精編/優(yōu)秀教案題外音：錯位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時乘以等比數(shù)列｛c｝的公比nq；②將兩個等式相減；③利用等比數(shù)列的前n項和的公式求和.2n二1，…2n二1，…;的前n項和為22223題3：S-x+2x2+3x3+...+nxn(x豐0,x豐1)典型題（四）裂項相消法:把數(shù)列的通項拆成兩項之差，即數(shù)列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負(fù)項相互抵消，于是前n項的和變成首尾若干少數(shù)項之和，這一求和方法稱為裂項相消法。適用于類似（其中和方法稱為裂項相消法。適用于類似（其中｛a｝是各項不為零的等差數(shù)n列，c為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等。用裂項相消法求和，需要掌握一些常見的裂項方法：（1）—n(2)1題1：數(shù)列（1）—n(2)1題1：數(shù)列｛。｝的通項公式為a=特別地當(dāng)k二1時，特別地當(dāng)k=1時 ，n(n+1)n(n+1)nnn+1+v'n求它的前n項和sn=nn+1-nn用軍：S—a+a+a+???+a+a1x1x22X3 3X4(n-1)nn(n+1)H F_. 1—1 題2： 1 題2：1X44X7 (3n—2)x(3n+1)名師精編―她秀教案題3題3：+...+ =、(n+1)(n+3)題4：數(shù)列｛an｝滿足：a1=1,且對任意的m,n《N*都有：am+n=am+an+mn,則1+—+1+…+-L-=a14016-2009a200820082009Ca14016-2009a200820082009C.200710042007D. 2008解：先用疊加法得到:n(n+1)

-2-a n(n+1)=2(」--1-),

nn+1.111 1 1 1 1 1 1 1、?,—I 1 1 1 =2(1 1 1 1 )=2(1 )4016.a1a2a3 a. 2 2 3 2008 2009 2009 =2009題外音裂項相消法求和的關(guān)鍵是數(shù)列的通項可以分解成兩項的差，且這兩項是同一數(shù)列的相鄰兩項，即這兩項的結(jié)構(gòu)應(yīng)一致，并且消項時前后所剩的項數(shù)相同.1 1 1 1針對訓(xùn)練：求數(shù)列1+\；2\”+、反忑+2,，而+、/=，的前n項和Sn.典型題（五）拆分組求和法:有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.題1：求和：S=（2-3x5-1）+（4-3x5-2）+（6-3x5-3）+.??+（2n-3x5-n）n解：S=(2-3x5-1)+(4-3x5-2)+(6-3x5-3)+.??+(2n-3x5-n)n—(2+4+6+???+2n)-3Q-1+5-2+5-3+???+5-n)=n=n(n+1)-3x53=n2+n——4題2：數(shù)列1,(1+2),(1+2+22)，…,(1+2+22+…+2n-1),…的通項公式a=_,前n項n名師精編一址秀教案S—2n—1；2n+1-2-n題3：設(shè)m=1X2+2X3+3X4+???+(n-1)?n，貝|m等于(A)D.1n(n+7)2A.n(n20 B.1n(nD.1n(n+7)2TOC\o"1-5"\h\z3 2 2題4：數(shù)列1L3L5L7，,…,前n項和為(A)24816(A)n2——+1 (B)n2- +— (C)n2—n——+1 (D)2n 2n+1 2 2n1n2-n 1——n+1 2這是求和的常用方法，按照一定規(guī)律將數(shù)列分成等差（比）數(shù)列或常見的數(shù)列，使問題得到順利求解.針對訓(xùn)練：求和：S=（a-1）+（a2-2）+（a3-3）+…+Q-n）典型題（六）奇偶并項求和法題1:設(shè)S=-1+3-5+7---?+(-1)n(2n-1),貝US=___2(-1)n.n.題2:若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1-n，則S17+S33+s50等于( )A.1 B.-1 C.0 D.2一(n為奇)解：對前n項和要分奇偶分別解決，即：Sn={2 答案：A-n(n為偶)、2題3：