力剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

力剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)第一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日第五章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5.1剛體的運(yùn)動(dòng)5.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律（包括轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）5.3轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能5.4剛體的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律第二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日5.1剛體的運(yùn)動(dòng)一、剛體（rigidbody）定義：特殊的質(zhì)點(diǎn)系，形狀和體積不變化，理想化的模型。平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，可以描述所有質(zhì)元（質(zhì)點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)。平動(dòng)（translation）時(shí)，剛體上所有點(diǎn)運(yùn)動(dòng)都相同。轉(zhuǎn)動(dòng)（rotation）:繞某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)·oΔΔoo′·o′·第三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（rotationaboutafixedaxis）：剛體上任意點(diǎn)都繞同一軸作圓周運(yùn)動(dòng)，且，都相同。P×Ovω,αrr定軸剛體參考方向θz第四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日5.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律類似于多質(zhì)點(diǎn)系剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量O×FimiΔθi定軸剛體viω,αririz一、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律第五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算J由質(zhì)量對(duì)軸的分布決定。dmrm一）.常用的幾個(gè)J1、均勻圓環(huán)：Jc=mR2；RmCC第六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日2、均勻圓盤：3、均勻桿：CAml2l2RmC第七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日例1已知：

tvR=0.2m，m=1kg，o=0，h=1.5m，繩輪無相對(duì)滑動(dòng)，繩不可伸長(zhǎng)，下落時(shí)間=3s。求：輪對(duì)O軸J=？解：動(dòng)力學(xué)關(guān)系：對(duì)輪：TRJ=a(1),對(duì)：mmgTma-=(2)三、轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用舉例定軸O·Rthmv0=0繩αTG·RNmgT=-T′ma第八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：a=aR(3)hat=122(4)(1)~(4)聯(lián)立解得：JgthmR=-()2221=-

=(..)..9832151102114222kgm第九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

例2、一個(gè)飛輪的質(zhì)量為m=60kg,半徑為R=0.25m,正以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng).現(xiàn)要制動(dòng)飛輪,要求在t=5.0s內(nèi)使它減速而停下來.求閘瓦對(duì)輪的壓力N。假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)為m=0.4,而飛輪的質(zhì)量視為全部分布在輪的外周。wFNf解：w=1000·2p/60a=

w/tM=fR=mNR第十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日例3已知：重物m1m2，滑輪M1M2，R1R2。

T1T2aT1>T2J=J1+J2二根繩子，不同a,一個(gè)滑輪，相同a第十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日課堂練習(xí)2.求系統(tǒng)的加速度和拉力M2R2M1R1aT3T2T1第十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日第十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日DA=^^DFrcos=aqDM=qDFcosr^^aq()(DDAFS)=力矩的空間積累效應(yīng)：5.3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能關(guān)系二.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理

dLdtzzM外=dzJdt=w一.力矩的功dzxω·軸rF第十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日令—轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能EJk=122w（可證：）121222Jmviiw=?D則AEEkk=-21應(yīng)用：▲飛輪儲(chǔ)能，Ekμw2w-?--Ek

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理

MdLdtJddtzzz外==w第十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日三.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理質(zhì)點(diǎn)系功能原理對(duì)剛體仍成立：A外+A內(nèi)非=（Ek2+Ep2）—

（Ek1+Ep1）剛體重力勢(shì)能：若A外+A內(nèi)非=0，則Ek+Ep=常量。Ep==cmgh=mighi?Dgmhii?D×ChchimiΔEp=0mm第十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日起動(dòng)時(shí)q=900力矩例1一根質(zhì)量為m，長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)棒AB,可繞一水平的光滑轉(zhuǎn)軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，O軸離A端的距離為l/3,今使棒從靜止開始由水平位置繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求：（1）棒起動(dòng)時(shí)的角加速度;第十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日角加速度(2)棒在豎直位置的角速度和角加速度重力矩作功與重力作功相同AB第十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日兩端速度相同（3）棒在豎直位置時(shí)棒的兩端和中點(diǎn)的速度和加速度豎直位置力矩第十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日[例2]已知：均勻直桿m，長(zhǎng)為l，初始水平靜止，軸光滑，AOl=4

。求:桿下擺角后，角速度w=?解：桿地球系統(tǒng)，+∵只有重力作功，∴E守恒。初始：，Ek10=

令

EP10=末態(tài)：EJko2212=w,

EmglP24=-sin

則：

12402Jmglow-=sin

(1)第二十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

由平行軸定理

JJmdoc=+2=+=1124748222mlmlml()(2)由(1)、(2)得：

wq=267glsin第二十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日§5.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)：—?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理

z=0當(dāng)M時(shí)，zJw=const.大小不變正、負(fù)不變ìí?沖量矩角動(dòng)量守恒定律第二十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

若剛體由幾部分組成，且都繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)，

z當(dāng)M外=0時(shí)，Jwconst.izi=?，這時(shí)角動(dòng)量可在內(nèi)部傳遞。mmr2看錄像第二十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日解：m下落：mghmv=122vghT=2(1)h例1如圖示已知：M=2m，，θ=60°求：碰撞后瞬間盤的w0=？

P轉(zhuǎn)到x軸時(shí)盤的w=?α=?半徑：R,第二十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日碰撞t極小，對(duì)m+盤系統(tǒng)，沖力遠(yuǎn)大于重力，故重力對(duì)O力矩可忽略，角動(dòng)量守恒：則：P、x重合時(shí)EP=0。令1mgRJJosinqww+=12222(5)mvRJocosqw=(2)JMRmRmR=+=122222

(3)由(1)(2)(3)得：wqoghR=22cos

(4)對(duì)m+M+地球系統(tǒng)，只有重力做功，E守恒，第二十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日由(3)(4)(5)得：wqq=+ghRgR222cossin=+12243RghR.()()q=60oa==MJ2=mgRmRgR22第二十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日例2、一根長(zhǎng)l,質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒靜止在一光滑的水平面上，一質(zhì)量為m’的小球以水平速度v0垂直沖擊其一端并粘上。求碰撞后球的速度v和棒的角速度以及由此損失的機(jī)械能。OV系統(tǒng)角動(dòng)量守恒（沒有外力矩）轉(zhuǎn)軸處有外力（動(dòng)量不守恒）第二十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日初角動(dòng)量OV0末角動(dòng)量球和棒粘在一起求出第二十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日前能量后能量第二十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日小結(jié)1、什么是剛體？2、為何研究剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)？3、轉(zhuǎn)動(dòng)中的物理量4、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般運(yùn)動(dòng)＝平動(dòng)＋定軸轉(zhuǎn)動(dòng)不連續(xù)連續(xù)與質(zhì)量大小、分布轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)第三十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日6、轉(zhuǎn)動(dòng)定律5、力矩怎樣力矩為零7、角動(dòng)量L=J8、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律M=0時(shí)Jw=C第三十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日P158.表5.2對(duì)應(yīng)關(guān)系：(量綱不同)第三十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日牛頓定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律動(dòng)量守恒定理動(dòng)量矩守恒定理動(dòng)能定理動(dòng)能定理作業(yè)：5.10(5.11),5.11(5.12),5.13(5.13),5.14(5.14)課堂練習(xí)3:5.15(5.15)第三十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日5.12解：（1）取子彈與棒為系統(tǒng)，系統(tǒng)動(dòng)量矩守恒(2)棒受力如圖所示，其中F為棒所受的子彈在Δt內(nèi)的平均沖力。法向：解(i)：切向：第三十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日角動(dòng)量定理*Nt的另一種表示：第三十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日（3）令可得第三十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日4.5解：由動(dòng)能定理可得代入數(shù)據(jù)，可得4.6解：以地面為參考系，因子彈和木塊系統(tǒng)水平方向不受到力的作用，所以系統(tǒng)動(dòng)量守恒，于是有第三十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日（V為系統(tǒng)的最后的共同速度）（1）設(shè)S1為子彈停在木塊內(nèi)之前木塊移動(dòng)的距離，于是子彈對(duì)地面的位移為s=s1+s’。對(duì)子彈應(yīng)用動(dòng)能定理，得子彈的動(dòng)能增量為木塊動(dòng)能的增量=摩擦力的功，即第三十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日（2）因f’=f，所以兩式相加得即，一對(duì)摩擦力之一沿相對(duì)位移所做的功=子彈和木塊總機(jī)械能的增量4.11解：（1）設(shè)M、m、地球?yàn)橄到y(tǒng)，因M、m間的相互作用力與兩者的相對(duì)位移垂直，而無外力做功，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒：第三十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日而在水平方向上，M、m系統(tǒng)不受力的作用，設(shè)m的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?，則有（2）（3）物體m到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，水平方向受力為零，豎直方向上受力為M對(duì)m的向上的正壓力（N’）和向下的重力，于是有第四十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日球?qū)Σ跰的作用力為N=-N’第四十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日4-2法向：N和mgcosqmgNFf受力情況：切向：F和f，mgsinqF=f+mgsinqN=mgcosqq=Wf+WG第四十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零，總動(dòng)量不隨時(shí)間改變，即1.合外力為零，或外力與內(nèi)力相比