高等數(shù)學(xué)全套課件(同濟(jì)五版)第三章 最值問題

最大值、最小值問題在生產(chǎn)實踐中，為了提高經(jīng)濟(jì)效益，必須要考慮在一定的條件下，怎樣才能是2用料最省，費(fèi)用最低，效率最高，收益最大等問題。這類問題在數(shù)學(xué)上統(tǒng)統(tǒng)歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題。最值問題主要討論問題的兩個方面：最值的存在性；最值的求法。假定f(x)在[a,b]上連續(xù)，除去有限個點外處處可導(dǎo)，且至多有有限個點處導(dǎo)數(shù)為0。我們就在這樣的條件下討論f(x)在[a,b]上的最值的求法。一、最值的求法首先由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)f(x)在[a,b]上必存在最大值和最小值其次，若最大值（或最小值）在開區(qū)間內(nèi)取得，則這個最值一定是極值，由假定，這個點一定是駐點或不可導(dǎo)點；此外最值也可能在區(qū)間的端點處取得，故求連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上最值的方法是步驟:1.求駐點和不可導(dǎo)點;2.求區(qū)間端點及駐點和不可導(dǎo)點的函數(shù)值,比較大小,那個大那個就是最大值,那個小那個就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)二、應(yīng)用舉例例1解計算例2解得駐點這些點處的函數(shù)值為：比較以上各點處的函數(shù)值可知在求函數(shù)的最值時，特別值得指出的是下述情況：f(x)在一個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且只有一個駐點x0，并且這個駐點x0同時也是f(x)的極值點，則當(dāng)f(x0)是極大（小）值時，f(x0)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的最大（小）值。這是因為此時在x0的左、右兩側(cè)的符號必定相反，亦即在x0的左、右兩側(cè)f(x)的單調(diào)性必定相反。敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊速度為2千米/分鐘．問我軍摩托車何時射擊最好（相距最近射擊最好）？例3解(1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系敵我相距函數(shù)得唯一駐點實際問題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;例4某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時，公寓會全部租出去．當(dāng)租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)．試問房租定為多少可獲得最大收入？解設(shè)房租為每月元，租出去的房子有套，每月總收入為（唯一駐點）故每月每套租金為350元時收入最高。最大收入為例5解如圖,解得例6求使不等式成立的最小正數(shù)A解將不等式改寫為則問題轉(zhuǎn)化為：求函數(shù)的最大值易見三、小結(jié)注意最值與極值的區(qū)別.最值是整體概念而極值是局部概念