2018高考·數學-第14章第三講離散型隨機變量與其分布列、均值與方差

2018高考·數學-第14章第三講離散型隨機變量與其分布列、均值與方差第一頁，共43頁。目錄Contents考情精解讀考點1考點2A.知識全通關B.題型全突破考法1考法2考法4考法3C.能力大提升專題1專題2第二頁，共43頁?？记榫庾x第三頁，共43頁?？季V解讀命題趨勢命題規(guī)律考情精解讀1考試大綱011.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念,了解分布列對于刻畫隨機現象的重要性.2.理解超幾何分布及其導出過程,并能進行簡單的應用.3.理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念,能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差,并能解決一些實際問題.高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差第四頁，共43頁?？季V解讀命題規(guī)律考情精解讀2命題趨勢

高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差考點2016全國2015全國2014全國自主命題區(qū)域離散型隨機變量及其分布列、均值與方差【100%】全國Ⅰ,19,12分

·全國Ⅱ,18,12分2016天津,16(Ⅱ)2016山東,19(Ⅱ)2015山東,19,12分2015天津,16(Ⅱ)2014山東,18,12分2014江蘇,22,10分2014浙江,12,4分2014天津,16(Ⅱ)第五頁，共43頁?？季V解讀命題規(guī)律考情精解讀3返回目錄1.熱點預測

本講內容通常與古典概型、二項分布、計數原理、事件的互斥等知識綜合考查,以解答題為主,分值5~12分.2.趨勢分析

預測2018年,以實際問題為背景,求解離散型隨機變量的分布列、均值與方差仍是高考對本講內容考查的熱點和重點.命題趨勢

高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差第六頁，共43頁。知識全通關第七頁，共43頁。知識全通關1考點1

離散型隨機變量的分布列繼續(xù)學習高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差1.隨機變量隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量.隨機變量常用字母X,Y,ξ,η,…表示2.離散型隨機變量所有取值可以一一列出的隨機變量,稱為離散型隨機變量...【說明】若X是隨機變量,Y=aX+b,a,b是常數,則Y也是隨機變量第八頁，共43頁。知識全通關2

高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學習【辨析比較】隨機變量和函數的聯系與區(qū)別聯系:隨機變量和函數都是一種映射,隨機變量是隨機試驗結果到實數的映射,函數是實數到實數的映射;隨機試驗結果的范圍相當于函數的定義域,隨機變量的取值范圍相當于函數的值域.區(qū)別:隨機變量的自變量是試驗結果,而函數的自變量是實數x.第九頁，共43頁。知識全通關3繼續(xù)學習

高考幫數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差3.離散型隨機變量的分布列的表示一般地,若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一個值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,則下表稱為隨機變量X的概率分布列,簡稱為X的分布列.為了簡單起見,也可以用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.4.離散型隨機變量的分布列的性質根據概率的性質,離散型隨機變量的分布列具有如下性質:(1)pi≥0,i=1,2,…,n;(2)p1+p2+…+pi+…+pn=1;(3)P(xi≤x≤xj)=Pi+Pi+1+…+Pj(i<j且i,j∈N*).Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn第十頁，共43頁。知識全通關4高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學習【說明】分布列的性質（2）的作用：可以用檢查所寫出的分布列是否有誤，還可以求分布列中的某些參數?！久麕熖嵝选?.求離散型隨機變量的分布列的關鍵是分析清楚隨機變量的取值有多少，并且正確求出隨機變量所取值對應的概率.2.在求解隨機變量概率值時，注意結合計數原理，古典概型等知識求解。第十一頁，共43頁。知識全通關4

高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學習1.兩點分布如果隨機變量X的分布列為,稱X服從兩點分布,并稱p=P(X=1)為成功概率.X01P1-pp考點2常見的離散型隨機變量的概率分布模型第十二頁，共43頁。知識全通關4

高考幫·數學第一講隨機事件的概率繼續(xù)學習【說明】(1)兩點分布的實驗結果只有兩種可能,且其概率之和為1;(2)兩點分布又稱0—1分布,其應用十分廣泛.2.超幾何分布一般地,在含有M件次品的N件產品中,任取n件,其中恰有X件次品,則其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,稱分布列

為超幾何分布列,如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列,則稱隨機變量X服從超幾何分布.第十三頁，共43頁。知識全通關5高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學習m=min{M,n}的理解m為k的最大取值,當抽取的產品件數不大于總體中次品件數,即n≤M時,k(抽取的樣本中次品的件數)的最大值為m=n;當抽取的產品件數大于總體中次品件數,即n>M時,k的最大值為m=M.【名師提醒】第十四頁，共43頁。知識全通關6高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學習考點3

離散型隨機變量的均值與方差1.離散型隨機變量的均值與方差一般地,若離散型隨機變量X的概率分布列為則稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn為隨機變量X的均值或數學期望.它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.稱D(X)=[xi-E(X)]2pi為隨機變量X的方差,它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度,其算術平方根為隨機變量X的標準差.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn【辨析比較】隨機變量的均值、方差與樣本的平均值、方差的關系隨機變量的均值，方差實常數，它們不依賴于樣本的抽取，而樣本的平均值、方差是隨機變量，它們隨著樣本的不同而變化.第十五頁，共43頁。知識全通關7高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學習2.均值與方差的性質若Y=aX+b,其中a,b是常數,X是隨機變量,則均值的性質:(1)E(k)=k(k為常數);(2)E(aX+b)=aE(X)+b;(3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);(4)若X1,X2相互獨立,則E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).(5)兩點分布的均值:若隨機變量X服從兩點分布,則E(X)=p.(6)二項分布的均值:若X服從二項分布,即X~B(n,p),則E(X)=np.方差的性質:(1)D(k)=0(k為常數);(2)D(aX+b)=

a2D(X);(3)D(X)=E(X2)-(E(X))2;(4)若X服從二項分布,即X~B(n,p),則D(X)=np(1-p).第十六頁，共43頁。返回目錄

高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差題型全突破8【名師提醒】(1)E(X)是一個實數,由X的分布列唯一確定.隨機變量X是可變的,可取不同的值,而E(X)是不變的,它描述X取值的平均狀態(tài).(2)變量的方差與標準差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度,其中標準差與隨機變量本身具有相同的單位.(3)方差也是一個常數,它不具有隨機性,方差的值一定是非負的.第十七頁，共43頁。題型全突破第十八頁，共43頁。考法1離散型隨機變量分布列性質的應用繼續(xù)學習

高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差題型全突破1考法指導

分布列的應用主要體現在分布列性質上的應用,離散型隨機變量的分布列的性質主要有三方面的應用:(1)利用“總概率之和為1”可以求相關參數的取值范圍或值;(2)利用“離散型隨機變量在一范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求某些特定事件的概率;(3)可以根據性質判斷所得分布列結果是否正確.第十九頁，共43頁。

高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學習題型全突破2考法示例1

設X是一個離散型隨機變量,其分布列為則q=

;P(X≤2)=

.

思路分析

根據性質,使每一個變量取值的概率在[0,1]內、其總和等于1,即可求解q的值.把P(X≤2)轉化為P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)進行求解.X123Pq21-q-1第二十頁，共43頁。高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學習題型全突破3【解析】

由分布列的性質得:由①②③,得≤q≤由④,得由分布列可知X的可能取值只有1,2,3,故第二十一頁，共43頁。

高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學習題型全突破4【突破攻略】求隨機變量在某個范圍內的取值概率時,根據分布列,將所求范圍內隨機變量對應的取值概率相加即可,其依據是互斥事件的概率加法公式.第二十二頁，共43頁。

高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差考法2求離散型隨機變量的分布列、期望與方差繼續(xù)學習題型全突破5考法指導

1.求解離散型隨機變量X的分布列的步驟(1)理解X的意義,寫出X可能取的全部值;(2)求X取每個值的概率;(3)寫出X的分布列;(4)根據分布列的性質對結果進行檢驗.2.期望與方差的一般計算步驟(1)理解X的意義,寫出X的所有可能取的值;(2)求X取各個值的概率,寫出分布列;(3)根據分布列,正確運用期望與方差的定義或公式進行計算.第二十三頁，共43頁。高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學習題型全突破6考法示例2

某品牌汽車4S店,對最近100位采用分期付款的購車者進行統計,統計結果如下表所示.已知分9期付款的頻率為0.2.4S店經銷一輛該品牌的汽車,顧客分3期付款,其利潤為1萬元;分6期或9期付款,其利潤為1.5萬元;分12期或15期付款,其利潤為2萬元.用η表示經銷一輛汽車的利潤.(1)求上表中的a,b值;(2)若以頻率作為概率,求事件A“購買該品牌汽車的3位顧客中,至多有1位采用分9期付款”的概率P(A);(3)求η的分布列及均值E(η).

付款方式分3期分6期分9期分12期分15期頻數4020a10b第二十四頁，共43頁。

高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學習題型全突破7【思路分析】(1)根據統計數據和頻率的計算公式可直接求出a,b的值(2)事件A是一個獨立重復試驗,包含兩個互斥事件——沒有顧客分9期付款與只有1位顧客分9期付款,故先根據題意把頻率換成概率即可求解;(3)顧客選擇付款的期數只能是3,6,9,12,15,根據題意得到付款期數與利潤的關系,然后合并利潤相同的事件,確定η的取值,然后求出其對應的概率值,則易得η的分布列與均值.第二十五頁，共43頁。高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學習題型全突破8【解析】

（1)由

=0.2,得a=20.又40+20+a+10+b=100,則b=10.(2)記分期付款的期數為ξ,依題意,得則“購買該品牌汽車的3位顧客中,至多有1位分9期付款”的概率為P(A)=0.83+×0.2×(1-0.2)2=0.896.第二十六頁，共43頁。高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學習題型全突破9【解析】

由題意,可知ξ只能取3,6,9,12,15.而ξ=3時,η=1;ξ=6時,η=1.5;ξ=9時,η=1.5;ξ=12時,η=2;ξ=15時,η=2.所以η的可能取值為1,1.5,2,且P(η=1)=P(ξ=3)=0.4,P(η=1.5)=P(ξ=6)+P(ξ=9)=0.4,P(η=2)=P(ξ=12)+P(ξ=15)=0.1+0.1=0.2.故η的分布列為

η的均值E(η)=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4(萬元).η11.52P0.40.40.2第二十七頁，共43頁。

高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差考法3超幾何分布的求解繼續(xù)學習題型全突破10考法指導

1.隨機變量是否服從超幾何分布的判斷

(1)若隨機變量X服從超幾何分布,則滿足如下條件:①該試驗是不放回地抽取n次;②隨機變量X表示抽取到的次品件數(或類似事件),反之亦然.(2)一般地,設有N件產品,其中次品和正品分別為M1件,M2件(M1,M2≤N),從中任取n(n≤N)件產品,用X,Y分別表示取出的n件產品中次品和正品的件數,則隨機變量X服從參數為N,M1,n的超幾何分布,隨機變量Y服從參數為N,M2,n的超幾何分布.2.求超幾何分布的分布列的步驟第一步,驗證隨機變量服從超幾何分布,并確定參數N,M,n的值;第二步,根據超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.第二十八頁，共43頁。

高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學習題型全突破11

3.求超幾何分布的均值與方差的方法(1)列出隨機變量X的分布列,利用均值與方差的計算公式直接求解;(2)利用公式

求解.第二十九頁，共43頁。

高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學習題型全突破12考法示例3

某項大型賽事,需要從高校選拔青年志愿者,某大學學生實踐中心積極參與,從8名學生會干部(其中男生5名,女生3名)中選3名參加志愿者服務活動.若所選3名學生中的女生人數為X,求X的分布列及數學期望.【思路分析】先根據8名志愿者的構成,確定X的分布列的類型——超幾何分布,進而確定相應的參數取值,并求出X的每個取值對應事件的概率,列出分布列,最后代入數學期望公式求值..第三十頁，共43頁。高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學習題型全突破13【解析】

解法一

因為8名學生會干部中有5名男生,3名女生,所以X的分布列服從參數N=8,M=3,n=3的超幾何分布.X的所有可能取值為0,1,2,3,其中P(X=i)=(i=0,1,2,3).由公式可得P(X=0=P(X=1)=

P(X=2)=P(X=3)=X0123P第三十一頁，共43頁。

高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差考法4利用期望與方差進行決策繼續(xù)學習題型全突破14考法指導

利用隨機變量的期望與方差可以幫助我們作出科學的決策,其中隨機變量ξ的期望的意義在于描述隨機變量的平均程度,而方差則描述了隨機變量穩(wěn)定與波動或集中與分散的狀況.品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預報的準確與否、機器的性能好壞等很多指標都與這兩個特征量有關.(1)若我們希望實際的平均水平較理想時,則先求隨機變量ξ1、ξ2的期望,當E(ξ1)=E(ξ2)時,不應誤認為它們一樣好,需要用D(ξ1),D(ξ2)來比較這兩個隨機變量的偏離程度,偏離程度小的更好.(2)若我們希望比較穩(wěn)定時,應先考慮方差,再考慮均值是否相等或者接近.(3)若沒有對平均水平或者穩(wěn)定性有明確要求時,一般先計算期望,若相等,則由方差來確定哪一個更好.若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近,且期望較大者的方差較小,顯然該變量更好;若E(ξ1)與E(ξ2)比較接近且方差相差不大時,應根據不同選擇給出不同的結論,即是選擇較理想的平均水平還是選擇較穩(wěn)定.第三十二頁，共43頁。

高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學習題型全突破15考法示例4

有甲、乙兩種棉花,從中各抽取等量的樣品進行質量檢驗,結果如下:

其中X表示纖維長度(單位:mm),根據纖維長度的均值和方差比較兩種棉花的質量.【思路分析】計算纖維長度的均值與方差→根據數值得出結論X甲2829303132P0.10.150.50.150.1X乙2829303132P0.130.170.40.170.13第三十三頁，共43頁。

高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學習題型全突破16【解析】

由題意,得E(X甲)=28×0.1+29×0.15+30×0.5+31×0.15+32×0.1=30,E(X乙)=28×0.13+29×0.17+30×0.4+31×0.17+32×0.13=30.又D(X甲)=(28-30)2×0.1+(29-30)2×0.15+(30-30)2×0.5+(31-30)2×0.15+(32-30)2×0.1=1.1,D(X乙)=(28-30)2×0.13+(29-30)2×0.17+(30-30)2×0.4+(31-30)2×0.17+(32-30)2×0.13=1.38,所以E(X甲)=E(X乙),D(X甲)<D(X乙),故甲種棉花的質量較好.第三十四頁，共43頁。高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差繼續(xù)學習題型全突破17考法示例5

某投資公司在2017年年初準備將1000萬元投資到“低碳”項目上,現有兩個項目供選擇:項目一:新能源汽車.據市場調研,投資到該項目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和;項目二:通信設備.據市場調研,投資到該項目上,到年底可能獲利50%,也可能虧損30%,也可能不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為,和.針對以上兩個投資項目,請你為投資公司選擇一個合理的項目,并說明理由.第三十五頁，共43頁。返回目錄

高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差題型全突破18【解析】

若按“項目一”投資,設獲利為X1萬元,則X1的分布列為∴E(X1)=300×7/9+(-150)×2/9=200(萬元).若按“項目二”投資,設獲利X2萬元,則X2的分布列為∴E(X2)=500×3/5+(-300)×1/3+0×1/15=200(萬元).D(X1)=(300-200)2×7/9+(-150-200)2×2/9=35000,D(X2)=(500-200)2×3/5+(-300-200)2×1/3+(0-200)2×1/15=140000.所以E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X2),這說明雖然項目一、項目二獲利相等,但項目一更穩(wěn)妥.綜上所述,建議該投資公司選擇項目一投資.X1300-150P7/92/9X2500-3000P3/51/31/15第三十六頁，共43頁。能力大提升第三十七頁，共43頁。高考中的概率與統計問題繼續(xù)學習

高考幫·數學第三講離散型隨機變量及其分布列、均值與方差能力大提升11概率與統計的綜合應用

示例6某制藥廠對A、B兩種型號的產品進行質量檢測,從檢測的數據中隨機抽取10次,記錄如下(數值越大表示產品質量越好):A:7.9,9.0,8.3,7.8,8.4,8.9,9.4,8.3,8.5,8.5;B:8.2,9.5,8.1,7.5,9.2,8.5,9.0,8.5,8.0,8.5.(1)畫出A、B兩種型號的產品數據的莖葉圖;若要從A、B中選一種型號產品投入生產,從統計學角度考慮,你認為生產哪種型號產品合適?簡單說明理由.(2)若將頻率視為概率,對產品A今后的