《更高更妙的物理》物體系間的速度課件

物系相關(guān)速度物系相關(guān)速度共性研究對(duì)象剛體不發(fā)生形變的理想物體實(shí)際物體在外力作用下發(fā)生的形變效應(yīng)不顯著可被忽略時(shí),即可將其視作剛體．基本特征具有剛體的力學(xué)性質(zhì)，剛體上任意兩點(diǎn)之間的相對(duì)距離是恒定不變的;剛體運(yùn)動(dòng)的速度法則

角速度剛體上每一點(diǎn)的速度都是與基點(diǎn)(可任意選擇)速度相同的平動(dòng)速度和相對(duì)于該基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和.

轉(zhuǎn)動(dòng)速度v=rω，r是對(duì)基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，ω是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度．

任何剛體的任何一種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)都是由平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)復(fù)合而成的.剛體各質(zhì)點(diǎn)自身轉(zhuǎn)動(dòng)角速度總相同且與基點(diǎn)的選擇無關(guān)．

ABCDαv2v2dv1v1dO在同一時(shí)刻必具有相同的沿桿、繩方向的分速度.沿接觸面法向的分速度必定相同，沿接觸面切向的分速度在無相對(duì)滑動(dòng)時(shí)相同.相交雙方沿對(duì)方切向運(yùn)動(dòng)分速度的矢量和.物系相關(guān)速度特征

桿或繩約束物系各點(diǎn)速度的相關(guān)特征是：接觸物系接觸點(diǎn)速度的相關(guān)特征是：線狀相交物系交叉點(diǎn)的速度是:v1θv0v2v1θθvvtvnvnv1dv0v2dB2A1A2

如圖所示，合頁構(gòu)件由三個(gè)菱形組成，其邊長(zhǎng)之比為3∶2∶1，頂點(diǎn)A3以速度v沿水平方向向右運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)構(gòu)件所有角都為直角時(shí)，頂點(diǎn)Ｂ2的速度vB2．專題5-例2解:這是桿約束相關(guān)速度問題A0A1A2A3B1B2B3vvA2vA1v2v1分析頂點(diǎn)A2、A1的速度：頂點(diǎn)B2，既是A1B2桿上的點(diǎn)，又是A2B2桿上的點(diǎn)，分別以A1、A2為基點(diǎn)，分析B2點(diǎn)速度：v1v2vB2由圖示知由幾何關(guān)系解:DCvxBAvBA這是繩約束相關(guān)速度問題繩BD段上各點(diǎn)有與繩端D相同的沿繩BD段方向的分速度v；設(shè)A右移速度為vx，即相對(duì)于A，繩上B點(diǎn)是以速度vx從動(dòng)滑輪中抽出的，即引入中介參照系-物A，在沿繩BD方向上，繩上B點(diǎn)速度v是其相對(duì)于參照系A(chǔ)的速度vx與參照系A(chǔ)對(duì)靜止參照系速度vxcosθ的合成，即v由上vxcosθ

如圖所示，物體A置于水平面上，物A前固定有動(dòng)滑輪B，D為定滑輪，一根輕繩繞過D、B后固定在C點(diǎn)，BC段水平，當(dāng)以速度v拉繩頭時(shí)，物體A沿水平面運(yùn)動(dòng)，若繩與水平面夾角為α，物體A運(yùn)動(dòng)的速度是多大？

專題5-例3

如圖所示，半徑為R的半圓凸輪以等速v0沿水平面向右運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)從動(dòng)桿AB沿豎直方向上升，O為凸輪圓心，P為其頂點(diǎn)．求當(dāng)∠AOP=α?xí)r，AB桿的速度．專題5-例4解:這是接觸物系接觸點(diǎn)相關(guān)速度問題PAOBv0ααvAv0α

根據(jù)接觸物系觸點(diǎn)速度相關(guān)特征，兩者沿接觸面法向的分速度相同，即

如圖所示，線軸沿水平面做無滑動(dòng)的滾動(dòng)，并且線端A點(diǎn)速度為v，方向水平．以鉸鏈固定于B點(diǎn)的木板靠在線軸上，線軸的內(nèi)、外徑分別為r和R．試確定木板的角速度ω與角α的關(guān)系．專題5-例6解:考察板、軸接觸的切點(diǎn)C速度

板上C點(diǎn)與線軸上C點(diǎn)有相同的法向速度vn,且板上vn正是C點(diǎn)關(guān)于B軸的轉(zhuǎn)動(dòng)速度

：CABαCvnCvn

線軸上C點(diǎn)的速度：它應(yīng)是C點(diǎn)對(duì)軸心O的轉(zhuǎn)動(dòng)速度vCn和與軸心相同的平動(dòng)速度vO的矢量和，而vCn是沿C點(diǎn)切向的，則C點(diǎn)法向速度vn應(yīng)是：v0vvCnv0αv線軸為剛體且做純滾動(dòng)，故以線軸與水平面切點(diǎn)為基點(diǎn)，應(yīng)有

DRr

如圖所示，水平直桿AB在圓心為O、半徑為r的固定圓圈上以勻速u豎直下落，試求套在該直桿和圓圈的交點(diǎn)處一小滑環(huán)M的速度，設(shè)OM與豎直方向的夾角為φ．專題5-例7解:這是線狀交叉物系交叉點(diǎn)相關(guān)速度問題BOφM將桿的速度u沿桿方向與圓圈切線方向分解:φu滑環(huán)速度即交叉點(diǎn)速度,方向沿圓圈切向;

根據(jù)交叉點(diǎn)速度是相交雙方沿對(duì)方切向運(yùn)動(dòng)分速度的矢量和，滑環(huán)速度即為桿沿圓圈切向分速度:

如圖所示，直角曲桿OBC繞O軸在圖示平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，使套在其上的光滑小環(huán)沿固定直桿OA滑動(dòng)．已知OB=10cm，曲桿的角速度ω=0.5rad/s，求φ=60°時(shí)，小環(huán)M的速度．專題5-例8解:這是線狀交叉物系交叉點(diǎn)相關(guān)速度問題OABMC60°由于剛性曲桿OBC以O(shè)為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故BC上與OA直桿交叉點(diǎn)M的速度方向垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)半徑OM、大小是:根據(jù)交叉點(diǎn)速度相關(guān)特征，該速度沿OA方向的分量即為小環(huán)速度，故將vBCM沿MA、MB方向分解成兩個(gè)分速度:vBCM小環(huán)M的速度即為vMA：vMAvMB30°OABCO

頂桿AB可在豎直滑槽K內(nèi)滑動(dòng)，其下端由凸輪M推動(dòng)．凸輪繞O軸以勻角速ω轉(zhuǎn)動(dòng)，在圖示時(shí)刻，OA＝r，凸輪輪緣與A接觸處法線n與OA之間的夾角為α，試求頂桿的速度．小試身手題1解:MnαAKB桿與凸輪接觸點(diǎn)有相同的法向速度!v桿ωrr

根據(jù)接觸物系觸點(diǎn)速度相關(guān)特征，兩者沿接觸面法向的分速度相同，即

α

一人身高h(yuǎn)，在燈下以勻速率vA沿水平直線行走．如圖所示，設(shè)燈距地面高度為H，求人影的頂端Ｍ點(diǎn)沿地面移動(dòng)的速度．小試身手題2H解:Mh借用繩桿約束模型

設(shè)人影端點(diǎn)M移動(dòng)速度為v影,以光源為基點(diǎn),將vA和v影分解為沿光線方向“伸長(zhǎng)速度”和對(duì)基點(diǎn)的“轉(zhuǎn)動(dòng)速度”vA

由幾何關(guān)系

由一條光線上各點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度相同：ααv0

如圖所示,纏在線軸A上的線被繞過滑輪B以恒定速率v0拉出，這時(shí)線軸沿水平面無滑動(dòng)地滾動(dòng)．求線軸中心O點(diǎn)的速度隨線與水平方向的夾角α的變化關(guān)系．線軸的內(nèi)、外半徑分別為R與r．

小試身手題3解:ABOVVAαV0考察繩、軸接觸的切點(diǎn)A速度

軸上A點(diǎn)具有對(duì)軸心的轉(zhuǎn)動(dòng)速度V=Rω和與軸心相同的平動(dòng)速度V0：v0V0C繩上A點(diǎn)具有沿繩方向速度v0和與軸A點(diǎn)相同的法向速度vn：vn由于繩、軸點(diǎn)點(diǎn)相切，有α由于純滾動(dòng)，有

如圖,一個(gè)球以速度v沿直角斜槽ACB的棱角做無滑動(dòng)的滾動(dòng)．AB等效于球的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸．試問球上哪些點(diǎn)的速度最大？這最大速度為多少？小試身手題5解:本題屬剛體各點(diǎn)速度問題ACB

球心速度為v，則對(duì)瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸AB:O

則球角速度球表面與瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸距離最大的點(diǎn)有最大速度!

根據(jù)剛體運(yùn)動(dòng)的速度法則:

如圖，由兩個(gè)圓環(huán)所組成的滾珠軸承，其內(nèi)環(huán)半徑為R2，外環(huán)半徑為R1，在二環(huán)之間分布的小圓球（滾珠）半徑為r，外環(huán)以線速度v1順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，而內(nèi)環(huán)則以線速度v2順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，試求小球中心圍繞圓環(huán)的中心順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度v和小球自轉(zhuǎn)的角速度ω，設(shè)小球與圓環(huán)之間無滑動(dòng)發(fā)生．小試身手題6解:R1R2ωv已知滾珠球心速度為v，角速度為ω，

v1v2Arω根據(jù)剛體運(yùn)動(dòng)的速度法則:

滾珠與內(nèi)環(huán)接觸處A速度

滾珠與外環(huán)接觸處B速度

rωB∵滾珠與兩環(huán)無滑動(dòng)，∴兩環(huán)與珠接觸處A、B切向速度相同

本題屬剛體各點(diǎn)速度及接觸點(diǎn)速度問題

一片膠合板從空中下落，發(fā)現(xiàn)在某個(gè)時(shí)刻板上a點(diǎn)速度和b點(diǎn)速度相同：va=vb=v，且方向均沿板面；同時(shí)還發(fā)現(xiàn)板上c點(diǎn)速度大小比速度v大一倍，c點(diǎn)到a、b兩點(diǎn)距離等于a、b兩點(diǎn)之間距離．試問板上哪些點(diǎn)的速度等于3v？

小試身手題7解:本題屬剛體各點(diǎn)速度問題∵板上a、b兩點(diǎn)速度相同，故a、b連線即為板瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸!

vvcabl根據(jù)剛體運(yùn)動(dòng)的速度法則,C點(diǎn)速度為:vc=2vvvcn=lω矢量圖示同理,速度為3v的點(diǎn)滿足

V=3vvn=xω

如圖所示，一個(gè)圓臺(tái)，上底半徑為r，下底半徑為R，其母線AB長(zhǎng)為L(zhǎng)，放置在水平地面上，推動(dòng)它以后，它自身以角速度ω旋轉(zhuǎn)，整體繞Ｏ點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若接觸部分不打滑，求旋轉(zhuǎn)半徑OA及旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間T．

小試身手題9解:ABLOrR設(shè)旋轉(zhuǎn)半徑為x，則由幾何關(guān)系:接觸處不打滑，則A點(diǎn)（即接觸點(diǎn)）移動(dòng)速度即為vA則

如圖所示，繩的一端固定，另一端纏在圓筒上，圓筒半徑為R，放在與水平面成α角的光滑斜面上，當(dāng)繩變?yōu)樨Q直方向時(shí)，圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω(此時(shí)繩未松馳)，試求此刻圓筒與繩分離處A的速度以及圓筒與斜面切點(diǎn)C的速度．小試身手題10解:αAO繩豎直時(shí)設(shè)圓筒中心速度為v0vO以A為基點(diǎn),由剛體速度法則,O點(diǎn)速度是vAvn圓筒與繩分離處A速度vA如圖:vAC考察圓筒與斜面切點(diǎn)C速度:vOvn以O(shè)為基點(diǎn),由剛體速度法則,C點(diǎn)速度是

如圖所示，長(zhǎng)度l＝10cm的棒在光滑水平面上轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)，以速度v＝10cm/s滑動(dòng)，離棒的中心距離L＝50cm處有豎直的墻．要使棒平著與墻相撞，試問棒的角速度ω應(yīng)為多少？小試身手題11解:Lvω棒要平著與豎墻相撞應(yīng)滿足⑴棒中心完成L位移時(shí)，棒與墻平行；⑵相撞時(shí)無沿棒法向向右的離開墻的速度（即棒上所有點(diǎn)速度方向均向墻）.滿足⑴應(yīng)有:棒在向墻移動(dòng)時(shí)每半周與墻平行一次滿足⑵應(yīng)有vvABCDαO解:

如圖所示，兩只小環(huán)O和分別套在靜止不動(dòng)的豎直桿AB和CD上，一根不可伸長(zhǎng)的繩子一端系在C點(diǎn)上，穿過環(huán)，另一端系在環(huán)O上．若環(huán)以恒定速度v1向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)∠AO=α?xí)r，求環(huán)O的速度．

小試身手題13v1V繩對(duì)環(huán)=v1vO對(duì)

＝v1+v2V繩對(duì)環(huán)設(shè)環(huán)O的速度為v2以O(shè)′為參照繩抽出速度大小為v1,方向如示:v2則環(huán)O對(duì)環(huán)O′的速度大小為v1+v2,方向如示:這個(gè)速度是O對(duì)O′沿繩“抽出”速度和對(duì)O′轉(zhuǎn)動(dòng)速度的合成由繩約束特征:在同一時(shí)刻必具有相同的沿繩方向的分速度.

如圖所示，有兩條位于同一豎直平面內(nèi)的水平軌道，相距為h．軌道上有兩個(gè)物體Ａ和Ｂ，它們通過一根繞過定滑輪Ｏ的不可伸長(zhǎng)的輕