動量傳遞方程的若干解

動量傳遞方程的若干解第一頁，共九十三頁，2022年，8月28日第一節(jié)

曳力系數(shù)與范寧摩擦因數(shù)實(shí)際流體按流動方式可分為兩類：流體在封閉通道內(nèi)的流動，如化工管路中的流體流動；流體圍繞浸沒物體的流動(繞流)，如流體在平板壁面上的流動，流體與固體粒子之間的相對運(yùn)動，流體在填充床內(nèi)的流動，等。

黏性流體流過一個固體表面或圍繞浸沒物體流動時，由于流體的黏性以及壁面對流動的阻滯作用，流體的速度分布與壓力分布發(fā)生變化，在流體與壁面之間發(fā)生動量傳遞作用，亦即相界面或壁面對流體流動產(chǎn)生阻力。流體會受到來自壁面的阻力，也稱流體對壁面施加的曳力(dragforce)。流體與壁面之間的動量通量為該式是阻力系數(shù)CD的一般定義是。第二頁，共九十三頁，2022年，8月28日一、繞流流動以黏性流體繞過置于流場中的一根長圓柱體的流動為例進(jìn)行討論。流體對物體所施加的曳力用牛頓阻力平方定律表示Fd-流體對物體施加的總曳力；A-物體表面的受力面積

或與流體垂直方向上的投影面積；u0-遠(yuǎn)離物體表面的流體流速；CD-曳力系數(shù)；

-動能因子。第三頁，共九十三頁，2022年，8月28日形體曳力Fdf(formdrag)：

壓力在物體表面上分布不均所引起的形體曳力。摩擦曳力Fds(skindrag)：

物體表面上剪應(yīng)力所引起的摩擦曳力?？傄妨d由形體曳力Fdf和摩擦曳力Fds組成，即由式(3-1),得該式即為總曳力系數(shù)(平均曳力系數(shù))的定義式。第四頁，共九十三頁，2022年，8月28日當(dāng)壓力在物體表面均勻分布時,只存在摩擦曳力,而無形體曳力,如，流體在平壁面上的流動、流體平行流過導(dǎo)管壁面。此時式(3-1)與CD的一般定義式(2-6)相同，即如式中τs隨壁面位置變化，則稱其為動量通量的局部值，以τsx表示，相應(yīng)的曳力系數(shù)稱為局部曳力系數(shù)，以CDx表示，此時式(3-3)變?yōu)槔@流流動的曳力的最終歸結(jié)為動量傳遞系數(shù)或曳力系數(shù)CD的求解。

第五頁，共九十三頁，2022年，8月28日二、封閉管道內(nèi)的流動流體在管道內(nèi)的流動阻力表現(xiàn)為流體沿程的壓降。以黏性流體在一水平直圓管內(nèi)做穩(wěn)態(tài)流動為例。任取一長為L、半徑為r的流體元：推動力摩擦阻力在穩(wěn)態(tài)下，流體不被加速，推動力與摩擦阻力在數(shù)值上相等，即令代入上式得在壁面處，r=ri=d/2,上式為第六頁，共九十三頁，2022年，8月28日將式(3-5)與式(3-6)聯(lián)立，得即，剪應(yīng)力沿徑向?yàn)榫€性分布。令為管內(nèi)流動壓力降，則式(3-6)可寫成式(3-9)表明，管內(nèi)流動的摩擦阻力(壓力降)的求解依賴于壁面處的動量通量(壁面剪應(yīng)力)。對于管內(nèi)流動，流體與管壁間的動量傳遞系數(shù)定義為ub-流體的平均流速；f-范寧(Fanning)摩擦因數(shù)；fub/2-流體與壁面之間的動量傳遞系數(shù)；us-壁面處流速(us=0)第七頁，共九十三頁，2022年，8月28日由式(3-10)得到，范寧(Fanning)摩擦因數(shù)的定義式將式(3-10)代入式(3-9),得式(3-12)稱為計算管內(nèi)摩擦壓降的達(dá)西(Darcy)公式。由式(3-12)可知，管內(nèi)流動摩擦壓降的求解最終歸結(jié)于動量傳遞系數(shù)或范寧摩擦因數(shù)f的求解。第八頁，共九十三頁，2022年，8月28日第二節(jié)

平壁間與平壁面上的穩(wěn)態(tài)層流一、兩平壁間的穩(wěn)態(tài)層流特點(diǎn)：平壁的寬度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于平壁間的距離，認(rèn)為平壁為無限寬，流體在平壁間的流動為一維穩(wěn)態(tài)層流。設(shè)：流體為不可壓縮，且所考察的部位遠(yuǎn)離流道進(jìn)、出口。因所以，不可壓縮流體連續(xù)性方程式(2-20)可簡化為第九頁，共九十三頁，2022年，8月28日因

所以，x方向不可壓縮流體奈維-斯托克斯方程式(2-45a)可簡化為該式為一個二階線性偏微分方程。因,所以式(2-16a)的右側(cè)僅是

y的函數(shù)，所以有。第十頁，共九十三頁，2022年，8月28日因同理，

z方向不可壓縮流體奈維-斯托克斯方程式(2-45c)可簡化為第十一頁，共九十三頁，2022年，8月28日因同理，

y方向不可壓縮流體奈維-斯托克斯方程式(2-45b)可簡化為第十二頁，共九十三頁，2022年，8月28日偏微分方程式(3-16a)～式(3-16c)的求解由式(3-16b)可知，p=p(x,y)，將式(3-16c)對y積分，得上式對x求偏導(dǎo)數(shù)式(3-17a)表明，僅是x的函數(shù)。第十三頁，共九十三頁，2022年，8月28日因式(3-16a)左側(cè)僅是x的函數(shù)，右側(cè)僅是y的函數(shù)，若式(3-16a)成立，必有上式也可通過動壓力表示的運(yùn)動方程得到，即式(3-18)或式(3-19)為二階線性常微分方程，滿足的邊界條件為第十四頁，共九十三頁，2022年，8月28日積分式(3-18)，得將邊界條件代入式(3-21)，得因此，得式(3-22)表明，不可壓縮流體在平壁間做穩(wěn)態(tài)平行層流時，如果忽略流道進(jìn)、出口處的影響，則其速度分布呈拋物線形狀。當(dāng)y=0時速度最大，即第十五頁，共九十三頁，2022年，8月28日將式(3-22)與式(3-23)聯(lián)立，得在流動方向上，取單位寬度的流通截面A=2y0×1，則通過該截面的體積流率Vs為由式(3-22)得第十六頁，共九十三頁，2022年，8月28日由ub的定義，得將式(3-23)與式(3-27)比較，得由式(3-27)，可得x方向上壓力梯度流道為水平直管到，由上式可得流動阻力降計算式第十七頁，共九十三頁，2022年，8月28日二、豎直平壁面上的降落液膜流動流體在重力作用下沿一垂直放置的固體壁面成膜狀向下流動。因液膜內(nèi)流動速度很慢，為穩(wěn)態(tài)層流流動。液膜的一側(cè)緊貼壁面，另一側(cè)為自由液面。假定流體不可壓縮、固體壁面很寬。由于降落液膜為沿y的一維流動，且有不可壓縮流體連續(xù)性方程為可簡化為第十八頁，共九十三頁，2022年，8月28日由于y方向不可壓縮流體的運(yùn)動方程可簡化為同理x、z方向不可壓縮流體的運(yùn)動方程可化簡為第十九頁，共九十三頁，2022年，8月28日由式(3-32a)可知

p僅與

y有關(guān)，即

p=

f(

y)。由于液膜外為自由液面，液面上流體壓力與當(dāng)?shù)卮髿鈮合嗟?，即p=pa，p亦與y無關(guān)。于是，又因?yàn)?，所以，代入?3-32)，得在壁面處，流體黏附于壁面，流速為零；液膜的外表面為自由表面，滿足故式(3-34)的邊界條件為第二十頁，共九十三頁，2022年，8月28日將式(3-34)分離變量積分由邊界條件，求得積分常數(shù)最后得即，降落液膜內(nèi)的速度分布方程，為拋物線形狀。第二十一頁，共九十三頁，2022年，8月28日液膜內(nèi)的主體流速在z方向上取一單位寬度，并在液膜內(nèi)的任意x處取微分長度dx，則通過微元面積dA=dx×1的流速為uy，體積流率為dVs=uydx×1。于是通過單位寬度截面的體積流率為根據(jù)主體平均流速的定義代入式(3-36)，積分得由式(3-37)，得液膜厚度的計算式第二十二頁，共九十三頁，2022年，8月28日第三節(jié)圓管與套管環(huán)隙間的穩(wěn)態(tài)流動一、圓管中的軸向穩(wěn)態(tài)層流不可壓縮流體在水平圓管中作穩(wěn)態(tài)層流流動，設(shè)所考察的部位遠(yuǎn)離進(jìn)出口，流動為沿軸向的一維流動。因所以柱坐標(biāo)系的連續(xù)性方程簡化為第二十三頁，共九十三頁，2022年，8月28日柱坐標(biāo)系的歐拉平衡微分方程動壓力柱坐標(biāo)系的奈維-斯托克斯方程第二十四頁，共九十三頁，2022年，8月28日用動壓力表示的柱坐標(biāo)系的奈維-斯托克斯方程第二十五頁，共九十三頁，2022年，8月28日

考察z方向的奈維-斯托克斯方程式(3-41c)因可簡化式(3-41c)

得z方向的奈維-斯托克斯方程同理得θ、r方向的奈維-斯托克斯方程第二十六頁，共九十三頁，2022年，8月28日由式(3-42)可知pd僅是z

的函數(shù)，與θ、r無關(guān)；而由于，所以僅為r的函數(shù)，因此可寫成二階常微分方程左側(cè)為r的函數(shù)，右側(cè)為z的函數(shù)，而r、z為獨(dú)立變量，固有邊界條件為第二十七頁，共九十三頁，2022年，8月28日對式(3-44)積分求解積分，得由邊界條件，得最終得，不可壓縮流體在水平圓管中作穩(wěn)態(tài)層流的速度分布式第二十八頁，共九十三頁，2022年，8月28日在管中心處r=

0，流體流速最大將式(3-46)與式(3-47)聯(lián)立，得圓管橫截面積A，為微元面積dA，為由管內(nèi)主體流速定義，得第二十九頁，共九十三頁，2022年，8月28日所以，又有將式(3-49)代入式(3-47)，得z方向上的壓力梯度表達(dá)式稱為Hagen-Poiseuille方程，是計算管內(nèi)層流壓降的基本方程。第三十頁，共九十三頁，2022年，8月28日流體在圓管中做穩(wěn)態(tài)層流流動時的范寧摩擦因數(shù)f壁面處剪應(yīng)力τs為

代入式(3-50)

,得將式(3-52)代入f的定義式(3-11),得化工設(shè)計計算中，常用摩擦系數(shù)λ

，λ

與f的關(guān)系為第三十一頁，共九十三頁，2022年，8月28日二、套管環(huán)隙間的軸向穩(wěn)態(tài)層流有兩根同心套管，內(nèi)管的外半徑

r1，外管的內(nèi)半徑r2，不可壓縮流體在兩管環(huán)隙間沿軸向穩(wěn)態(tài)流過。所考察的部位遠(yuǎn)離進(jìn)、出口。描述圓管的微分方程式(3-44)仍適用該問題的邊界條件為第三十二頁，共九十三頁，2022年，8月28日對式(3-44)進(jìn)行第一次積分，并代入邊界條件(3)，可得對式(3-54)進(jìn)行積分，得第三十三頁，共九十三頁，2022年，8月28日根據(jù)邊界條件(1)，得速度分布式為根據(jù)邊界條件(2)，得速度分布式的另一形式為第三十四頁，共九十三頁，2022年，8月28日聯(lián)立式(3-55)與式(3-56)，得套管環(huán)隙內(nèi)流動的主體流速ub在套管環(huán)隙截面上，任取一微元面積dA=rdrdθ，在該微元面上的速度為uz，則將式(3-55)或式(3-56)代入上式積分，得z方向上的壓力降第三十五頁，共九十三頁，2022年，8月28日三、同心套管環(huán)隙間的周向穩(wěn)態(tài)層流(一)速度分布兩個垂直的同心圓筒，內(nèi)筒的半徑為a，外筒的半徑為b，在兩筒的環(huán)隙間充滿不可壓縮流體。內(nèi)筒以角速度ω1外筒以角速度ω2旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后，環(huán)隙間流體沿圓周方向繞軸線做穩(wěn)態(tài)層流流動。若圓筒足夠長，可以忽略端效應(yīng)。已知所以，柱坐標(biāo)系的連續(xù)性方程可簡化為第三十六頁，共九十三頁，2022年，8月28日已知又由于r、θ

坐標(biāo)為水平方向，故Xr=Xθ=0，X

z

=g。所以，柱坐標(biāo)系的r方向運(yùn)動方程

可簡化為第三十七頁，共九十三頁，2022年，8月28日柱坐標(biāo)系的θ

方向運(yùn)動方程可簡化為柱坐標(biāo)系的z方向運(yùn)動方程可簡化為第三十八頁，共九十三頁，2022年，8月28日即，同心套管環(huán)隙間的周向穩(wěn)態(tài)層流得運(yùn)動方程為

r方向即:流體在旋轉(zhuǎn)過程中,其離心力與徑向壓力梯度相平衡。z方向表明：流體所受重力與軸向壓力梯度相平衡。

θ方向這些相互平衡的作用力維持流體做穩(wěn)態(tài)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。第三十九頁，共九十三頁，2022年，8月28日由于所以式(3-61c)可寫成常微分方程的形式邊界條件為解式(3-62)，由得積分，得第四十頁，共九十三頁，2022年，8月28日所以，式(3-62)的通解為由邊界條件(1)和(2)，得因此，速度分布方程為或第四十一頁，共九十三頁，2022年，8月28日(二)旋轉(zhuǎn)黏度計原理在柱坐標(biāo)中，θ

方向上的剪應(yīng)力與形變速率的關(guān)系為若ur

=

0，則又若

uθ

與θ、z無關(guān)，則第四十二頁，共九十三頁，2022年，8月28日對于本問題由此可知：若ω1?ω2，則若ω1?ω2，則若ω1=ω2，則第四十三頁，共九十三頁，2022年，8月28日若旋轉(zhuǎn)黏度計的外筒固定不動ω2=0，內(nèi)筒以角速度ω1轉(zhuǎn)動，即ω1?ω2，由式(b)可得作用于內(nèi)圓筒外壁上的剪應(yīng)力為設(shè)旋轉(zhuǎn)黏度計圓筒長為L，則作用于內(nèi)筒外壁上的摩擦力為式(3-72a)可得內(nèi)筒繞軸旋轉(zhuǎn)的力矩為因此第四十四頁，共九十三頁，2022年，8月28日若旋轉(zhuǎn)黏度計的內(nèi)筒固定不動ω1=0，外筒以角速度ω2轉(zhuǎn)動，即ω1?ω2，因梯度方向與坐標(biāo)r的方向相同，故由式(c)可知即，作用于外圓筒內(nèi)壁上的剪應(yīng)力為第四十五頁，共九十三頁，2022年，8月28日設(shè)旋轉(zhuǎn)黏度計圓筒長為L，則作用于外筒內(nèi)壁上的摩擦力為由式(3-72b)可得外筒繞軸旋轉(zhuǎn)的力矩為因此當(dāng)測定某液體的黏度時，規(guī)定外圓筒轉(zhuǎn)速ω2測定相應(yīng)的轉(zhuǎn)動力矩Mor，由式(3-74b)可計算待測液體的黏度。第四十六頁，共九十三頁，2022年，8月28日第四節(jié)爬流一、爬流的概念與爬流運(yùn)動方程爬流(蠕動流，creepingflow)，指非常低速的流動。

微細(xì)粒子在流體中的自由沉降、氣溶膠粒子的運(yùn)動以及某些潤滑問題均屬于典型的爬流問題。x方向不可壓縮流體的運(yùn)動方程第四十七頁，共九十三頁，2022年，8月28日式(2-45a)左側(cè)每一項(xiàng)均為慣性力。用u代表特征速度，l代表特征尺寸，則各慣性力的量綱為。式(2-45a)右側(cè)每一項(xiàng)均為黏性力，各黏性力的量綱為。慣性力與黏性力之比對于流體黏性較大、特征尺寸較小或流速非常低的情況，Re數(shù)很小(

Re

<<1)，即黏性力起主導(dǎo)作用。爬流是Re數(shù)非常低的流動。實(shí)際應(yīng)用中，通常把Re

<1的流動就看做爬流。第四十八頁，共九十三頁，2022年，8月28日運(yùn)動方程為當(dāng)Re很低時，可將運(yùn)動方程中的各項(xiàng)慣性力(包括重力)忽略，得到不可壓縮流體爬流的運(yùn)動方程第四十九頁，共九十三頁，2022年，8月28日向量式為連續(xù)性方程仍為式(3-76)與式(2-21)構(gòu)成了不可壓縮流體做爬流流動時的線性偏微分方程組。共有

4個方程，可解出4個未知量ux、uy、uz和

p。第五十頁，共九十三頁，2022年，8月28日二、粒子在流體中的沉降與斯托克斯定律一個半徑為r0的球形粒子在靜止的無界黏性不可壓縮流體中以速度u0做勻速直線運(yùn)動。等價于：無窮遠(yuǎn)處速度為u0的黏性不可壓縮流體繞過球形粒子的穩(wěn)態(tài)流動。如圖，坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在球心，z軸與均勻來流的運(yùn)動方向一致。此繞球流動為以z軸為對稱軸的軸對稱流動。有題目已知：

第五十一頁，共九十三頁，2022年，8月28日由球坐標(biāo)系一般流體運(yùn)動方程式(2-48)r分量可簡化為第五十二頁，共九十三頁，2022年，8月28日

θ

分量可簡化為第五十三頁，共九十三頁，2022年，8月28日由球坐標(biāo)系一般流體連續(xù)性方程式(2-23)可簡化為邊界條件為式(3-77a)～式(3-77c)和(3-78a)及(3-78b)共同構(gòu)成描述不可壓縮流體繞球爬流規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。3個線性偏微分方程，確定3個未知量。第五十四頁，共九十三頁，2022年，8月28日解析解由于式(3-77a)～式(3-77c)是一組線性偏微分方程，故可采用分離變量法求解此邊值問題。將未知數(shù)表示為如下分離變量的形式將邊界條件式(3-78b)代入式(4a)、式(4b)中，得將式(5)和式(6)代入式(4a)、式(4b)中，得第五十五頁，共九十三頁，2022年，8月28日將式(7a)、式(7b)和式(4c)代入式(3-77a)～式(3-77c)中,如：由式(7a)、式(7b)和式(4c)，可得代入連續(xù)性方程式(3-77a)得第五十六頁，共九十三頁，2022年，8月28日同理，代入r分量運(yùn)動方程得代入θ

分量運(yùn)動方程得第五十七頁，共九十三頁，2022年，8月28日式(8)為一組常微分方程由式(8)可以看出，要使p(r,θ

)中的變量θ

得以分離，應(yīng)取將式(9)代入式(4c)得第五十八頁，共九十三頁，2022年，8月28日根據(jù)式(9)，式(8)可轉(zhuǎn)變?yōu)楦鶕?jù)式(7a)、式(7b)和式(10)，邊界條件可轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼馍鲜龅亩A常微分方程邊值問題即得流體繞球爬流問題的解。第五十九頁，共九十三頁，2022年，8月28日函數(shù)g可根據(jù)式(11a)的第一個方程用f表示，即將式(12)代入式(11a)的第三個方程，得用f表示得h，即將式(12)、式(13)代入式(11a)的第二個方程，得式(14)符合齊次Euler方程的形式，可用特定的方法解出函數(shù)f。將f的表達(dá)式代入式(12)、式(13)中，分別求得g、h的表達(dá)式。最后將f、g、h的表達(dá)式代入式(7a)、式(7b)和式(10)，得到球體周圍流場中的速度分布和壓力分布，即第六十頁，共九十三頁，2022年，8月28日(1)流速與流體黏度無關(guān)；(2)流速的大小于球體上、下對稱，即對稱于y軸；(3)受球體的影響，流動受到阻滯，u總是小于u0；(4)球體的影響一直擴(kuò)展到較遠(yuǎn)的區(qū)域，在r=10R處，u低于u0的最大幅度仍達(dá)15%；(5)壓力偏差(

p-p0)正比與流體黏度；(6)壓力偏差具有反對稱性，即球的上半部分取負(fù)值(

p<p0)，球的下半部分取正值(

p>p0)。這就表明上、下球面的壓力分布不對稱。第六十一頁，共九十三頁，2022年，8月28日作繞球爬流的流體受到球體的阻力作用，與此相對應(yīng)，球體則受到流體的曳力作用。流體作用在球面上的應(yīng)力分量有三個，分別為τrr

、τrθ、τrφ。對于不可壓縮流體，各應(yīng)力分量的表達(dá)式為對于繞球爬流這種軸對稱流動，有所以由式(3-80c)，知第六十二頁，共九十三頁，2022年，8月28日由于流體具有黏性，在球面上，于是在球面上有由式(3-77a)可以推出將以上各式代入式(3-80a)、式(3-80b)，經(jīng)簡化得將式(3-79)代入式(3-81)，并r=

r0，可得第六十三頁，共九十三頁，2022年，8月28日由此可知，流體作用于球體的曳力由兩部分組成：(1)由于垂直作用于球面上的法向應(yīng)力(只有壓力，無附加法向應(yīng)力)的不對稱分布所引起的形體曳力；(2)由作用于球面上的切向應(yīng)力引起的摩擦曳力。因?yàn)榱鲃訉ΨQ與z軸，即球面上的τrr和τrθ在φ方向上無變化，故兩類應(yīng)力在與z軸相垂直的方向上的合力均為零。又因粒子與流體在z方向上做相對運(yùn)動，故作用在球體上的力全部沿z軸方向。令Fdf表示作用于球面上的法向應(yīng)力引起的形體曳力，它等于此應(yīng)力在z方向上的合力，即第六十四頁，共九十三頁，2022年，8月28日令Fds表示作用于球面上的切向應(yīng)力引起的摩擦曳力，它等于此應(yīng)力在z方向上的合力，即用Fd表示流體作用于球體的總曳力，它等于形體曳力和摩擦曳力之和，即式(3-83)稱為Stokes方程，它表明流體作用于球體的曳力亦即球體作用于流體的阻力大小與球體的半徑、流體的黏度及均勻來流的速度成正比。在總阻力中，形體阻力占1/3，摩擦阻力占2/3。第六十五頁，共九十三頁，2022年，8月28日由繞流流動的曳力系數(shù)的定義式，即得，爬流流動的曳力系數(shù)為當(dāng)Re<1時，式(3-84)的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值吻合得很好。當(dāng)Re<5時，奧森公式的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值吻合得很好，即第六十六頁，共九十三頁，2022年，8月28日隨著Re的變大，爬流條件不再成立。圖3-9給出粒子在流體中沉降時曳力系數(shù)隨Re變化的實(shí)驗(yàn)結(jié)果曲線。第六十七頁，共九十三頁，2022年，8月28日第五節(jié)勢流當(dāng)流體在大Re數(shù)下運(yùn)動時，所受的慣性力作用要遠(yuǎn)大于黏性力作用，此時除了貼近物體壁面的區(qū)域不能忽略黏性力的影響外，流動的大部分區(qū)域可按理想流體處理。一、理想流體的運(yùn)動方程理想流體的黏度μ

=0，可將Nivier-Stokes方程簡化，即第六十八頁，共九十三頁，2022年，8月28日寫成向量形式上述方程稱為Euler方程。不可壓縮流體的連續(xù)性方程仍為式(3-86)與式(2-20)構(gòu)成理想流體運(yùn)動的偏微分方程組，4個方程，可解出4個未知量ux、uy、uz和p。第六十九頁，共九十三頁，2022年，8月28日二、流體的旋度與速度勢函數(shù)在流場中，流體微團(tuán)若具有繞自身軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，則稱流動是有旋的，簡稱旋流。在流場中，流體微團(tuán)若不具有繞自身軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，則稱流動是無旋的。無旋流動也叫有勢流動，簡稱勢流。(一)流體的旋度描述流體質(zhì)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的物理量稱為旋度，其定義為對于在重力場作用下的理想不可壓縮流體而言，如果初始流動是有旋的，則將一直保持有旋狀態(tài)；如果初始流動是無旋的，則將一直保持無旋狀態(tài)。第七十頁，共九十三頁，2022年，8月28日(二)速度勢函數(shù)以流體沿x、y方向的二維流動為例，在此有。當(dāng)流動無旋時，式(3-87)變?yōu)榧戳畲胧?3-89)，得或第七十一頁，共九十三頁，2022年，8月28日上式積分，得令積分常數(shù)等于零，則式(3-90a)、式(3-90b)中的φ(x,y)稱為速度勢函數(shù)。速度勢函數(shù)存在的唯一條件是流動必須是無旋的(或有勢的)。在三維無旋流動中，也存在相應(yīng)的速度勢函數(shù)φ(x,y,z)，即速度勢函數(shù)與速度向量的關(guān)系為即速度勢函數(shù)的梯度為流體的速度向量。第七十二頁，共九十三頁，2022年，8月28日三、勢流的求解不可壓縮流體的大Re數(shù)流動，可當(dāng)作是不可壓縮的理想流體的流動，描述其規(guī)律的一組特定方程為這是一組非線性偏微分方程，仍無法求出簡化方程通解，只能求出這組方程的特解。這里僅討論不可壓縮理想流體的穩(wěn)態(tài)無旋流動。第七十三頁，共九十三頁，2022年，8月28日將速度勢函數(shù)定義式(3-90)代入不可壓縮流體的連續(xù)性方程得或?yàn)槎A線性偏微分方程，稱為Laplace方程。如果φ1、φ2、…φn是方程(3-92)的解，則為方程(3-92)的通解。求出φ

后，再按式(3-90)求出速度分布，然后由Euler方程(3-86)求出壓力分布。第七十四頁，共九十三頁，2022年，8月28日以不可壓縮理想流體的穩(wěn)態(tài)繞圓柱的大Re數(shù)流動為例設(shè)速度為u0的不可壓縮、理想的均勻來流繞一半徑為R的無限長圓柱體作穩(wěn)態(tài)有勢流動。根據(jù)設(shè)定，將此柱體繞流視作x-y平面上的穩(wěn)態(tài)有勢流動。用二維柱坐標(biāo)系(r,θ

)描述此流動，如圖所示。已知柱坐標(biāo)系的連續(xù)性方程可簡化為由速度勢函數(shù)φ(r,θ

)，可知第七十五頁，共九十三頁，2022年，8月28日式(2)代入式(1)，得式(3)即為Laplace方程。由已知條件可寫出邊界條件，為采用分離變量法求解式(3)的邊值問題。將速度勢函數(shù)φ(r,θ

)表示成變量分離形式，即由式(5)可以看出，要使φ(r,θ

)中的變量θ得以分離，應(yīng)取將式(7)代入式(6)中，得第七十六頁，共九十三頁，2022年，8月28日由式(8),可知代入式(3)～式(5)中，得f(r)應(yīng)滿足的常微分方程及邊界條件，即式(9)是二階線性常微分方程，它符合齊次Euler方程的形式，其通解因而可寫成將式(10)、式(11)代入式(12)中，得第七十七頁，共九十三頁，2022年，8月28日固有將式(13)代入式(8)，得由此速度勢函數(shù)，可求得速度分布，即第七十八頁，共九十三頁，2022年，8月28日由速度分布可求得速度大小，即由式(16)可知：u于柱體不僅上、下對稱(

x軸),而且前、后對稱(

y軸)；u可以小于u0,也可大于u0,這是柱體改變流道截面大小的結(jié)果；u的最大值(2u0)出現(xiàn)在柱體頂端和底端(r=R,θ=π/2和3π/2)。第七十九頁，共九十三頁，2022年，8月28日不可壓縮理想流體的穩(wěn)態(tài)無旋流動的Euler方程(3-86)的求解x方向的Euler方程，對左側(cè)整理如下第八十頁，共九十三頁，2022年，8月28日于是x方向的Euler方程為同理，y，z方向的Euler方程為當(dāng)流動無旋時，，由旋度定義式(3-87)簡化式(3-94)，得第八十一頁，共九十三頁，2022年，8月28日向量式為僅考慮重力場作用下的流動，取x、y的坐標(biāo)為水平方向，z坐標(biāo)為垂直向上，則重力場為有勢場，令單位質(zhì)量流體所具有的勢能為Ω，則向量式為由式(3-96)和式(3-98)，式(3-95d)可寫成第八十二頁，共九十三頁，2022年，8月28日或即將式(3-97)積分得將式(3-102)代入式(3-101)，得式(3-103)即為Bernoulli方程。其邊界條件為第八十三頁，共九十三頁，2022年，8月28日對于柱體周圍的任一流線，當(dāng)柱體半徑不是很大時，可不考慮位能變化。因此，式(3-103)轉(zhuǎn)變?yōu)閷⑹?16)代入式(3-104)中,得流場中的壓力分布勢流的求解：先由式(3-92)求出φ

后,再按式(3-90)求出速度分布ux、uy、uz

,最后將其代入Bernoulli方程中求得壓力分布。第八十四頁，共九十三頁，2022年，8月28日根據(jù)柱體繞流流場中的速度和壓力分布，可求出柱體表面上的速度和壓力分布。(1)柱面上的速度分布令r=R，由式(15)求得柱面上的速度分布，即而速度大小u在柱面上的分布為見圖，對于柱面上的A點(diǎn)，因θ

=π，故u=0，A點(diǎn)稱為前駐點(diǎn)。離開A點(diǎn)沿圓周向上，θ

逐漸減小，u逐漸增大。至θ

=π/2的點(diǎn)B處，u=2u0，即u達(dá)到最大值。隨后沿圓周向下，θ

繼續(xù)減小，u也逐漸減小。至θ

=0的C點(diǎn)處，u又降為零，C點(diǎn)稱為后駐點(diǎn)。由于柱面上u的分布對稱于x軸，故

u在

θ

從π

到2π的下半圓周上的變化情形和上半圓周完全相同。第八十五頁，共九十三頁，2022年，8月28日(2)柱面上的壓力分布由式(17)引入如下的無量綱壓力系數(shù)來表征流場中的壓力分布令

r=R，由式(20)求得柱面上