運用同構(gòu)求值-2023年高考數(shù)學(xué)核心壓軸題（新高考地區(qū)專用）

專題16運用同構(gòu)求值

【方法點撥】

含有指對運算的方程稱之為超越方程，遇到相關(guān)的求值問題，可考慮“同構(gòu)”，其關(guān)鍵是

對已知等式進(jìn)行變形，使其“結(jié)構(gòu)相同”，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性，最終利用兩方

程“同解”來求解.

【典型題示例】

例1(2022新高考I<22改編)已知函數(shù)=和g(x)=xTnx,存在直線y=。,

其與兩條曲線>=fM和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐

X,+,

標(biāo)分別為玉，龍2，％3，則X-=-

【答案】2

【分析】由“等高”得力=/(%)=/(工2)=8(々)=8。3)，即

x

e*-％=e--x2=x2-\nx2=x3-In,這樣就建立玉，馬，馬間的等量關(guān)系，為達(dá)到

“減元”之目的，需在紛雜的關(guān)系中，梳理出e*1-玉=z-In%、e*一%=&-In尤3兩

組關(guān)系，發(fā)現(xiàn)“指對同現(xiàn)”想“同構(gòu)”，從而得到西=也々，芻=/2,代入求解即得解.

【解析】令/'。)=/一1=0得x=O

所以函數(shù)/(%)在(f,O)上為減函數(shù)，在(0,48)上為增函數(shù)，且/。焉=〃0)=1?

令g'(x)=1_，=0得彳=1

X

所以函數(shù)g(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+00)上為增函數(shù)，且gOOmin=g6=l.

故函數(shù)/(x)=e*-x和g(x)=x-lnx有相同的最小值1

如下圖所示，當(dāng)直線丁=。過函數(shù)/(%)和g(x)的交點時，滿足題意，

此時h＞\,故X＜0＜々＜1＜工3

X}

得e--x2=x2-Inx2=x3-Inx3

c"—x^—e”—x9

X2

即《x3-Inx3=e-x2

-x2=x2-Inx2

X}A,x,X]

一方面e-x}=x2-Inx2,而e一芭二e-Ine-g(e*)

所以g(X2)=g(e~)

又因為0<e“i<l，0<x2<l,且g(x)在(0,1)上為減函數(shù)

所以％2=0國，所以

另--方面，由e*-尤2=X3-lnx3，同理可得X3=e*

所以5=ln/+*

x2x2

X2x=x

再由6=f(x2)=e和〃=g(X2)=X2-lnx2得0-2-lnx2

Inx+6巧

據(jù)果移項得e*+In々=2%，所以---------=2

x2

綜上，9=2.

X2

Jx-l

例2(2022?四川?成都?二檢)已知函數(shù)/(幻=9,+埠

的零點為X。，則

廠-

9%(/-1)=.

【答案】1

Ino1—

【分析「'據(jù)果變形”，由題意得9陽=-粵一，所以9m(x°-l)='logjT,觀察期

/一%>x°T

[1I

結(jié)構(gòu)特征，對右側(cè)實施變形一!一log/T=9幅產(chǎn)'JogjT,設(shè)g(x)=x9即可.

與T

【解析】由題意得：9%=-粵上

V-xo

]_L-LJ_

k

???9%(%-1)=710gJT=9'g產(chǎn)'.logJT

設(shè)g(x)=x-9'在(l,+oo)上單增

故有/uloggM,即9m=—L

x

...9?(x0-l)=l.

例3(2022?江蘇七市三模)已知函數(shù)丁=%+廿的零點為西，y^x+lnx

的零點為％2，則

A.玉+%2>°B.玉％2<。

X|

C.e+lnx2=0D.x}x2-xl+x2<l

【答案】BCD

xnX2

【解析】X]+e'=x2+ln%2=0,則玉+e*=ln%2+^，

xx

顯然f(x)=x+e單增，故％=In%等價于6為=x2,則x{+x2=xy+e'=0,

故A錯誤；

因為/(%)=x+ex單增，且/(0)=l,故/(不)=0</(0),則玉<0

故2=<0,則B正確；

ex'+In9=%+加工2=°，則C正確；

D.2—%1+%2<1=%1(%2—1)<1-%2，因為％2+ln%2=0<1+lnl，故

<1,

則%](%2—1)<1一%20%1〉—1，而％I=0>—1+/1,則玉〉一1,故D

正確.

15

例4已知實數(shù)再，々滿足xg*=/,x2(lnx,-2)=e,則玉龍2=.

【答案】e5

【分析】由已知條件考慮將兩個等式轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式，令111超-2=/,%2=/+2,得到

te'=e^研究函數(shù)f(x)=xe*的單調(diào)性，求出為"關(guān)系，即可求解.

5

【解析一】實數(shù)再，工2滿足率*=/,x2(lnA2-2)=e,

2+23

xt>0,x2>e,\nx2-2-1>0,x2=e',則te'=e，

/(x)=xex(x>0),f'(x)=(x+l)e*>0(x>0),

所以,f(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，而/(x))=/(/)=e3,

5

X]=f=In￡-2,xxx2=x2(lnx2-2)=e.

【解析二】對為八=/兩邊取自然對數(shù)得：In玉+芯=3,

對X2(ln%2-2)=e5兩邊取自然對數(shù)得：lnXj+ln(ln/-2)=5(:※)

為使兩式結(jié)構(gòu)相同，將(X)進(jìn)一步變形為：(山/一2)+111(111%-2)=3

設(shè)/(x)=lnx+x,則尸(劃='+1>0

x

所以/(X)在(0,+8)單調(diào)遞增，f(x)=3的解只有一個.

5

玉=In龍2-2,/.xix2=(lnx,-2)^-e

點評:兩種解法實質(zhì)相同，其關(guān)鍵是對己知等式進(jìn)行變形，使其“結(jié)構(gòu)相同"，然后構(gòu)造函數(shù)，

利用函數(shù)的單調(diào)性，利用是同一方程求解.

例5已知實數(shù)a,b滿足3"+a=7,log3V3b+1+6=2,則a+3b=.

【答案】16

【解析】令則/)=g(33。一1),代入log,師斤+6=2可化為

e+-(33c-l)=2,即33'+3c=7

設(shè)/(x)=3*+x-7,則r(x)=ln3-3'+l>0,/(x)在R上單增

故/(x)=3*+x-7=0只有一個零點

所以。=3c,即310g343，+1=〃,3"=3。+1

所以a+3"=〃+3"-1=7—1=6.

例6已知實數(shù)x,y滿足x2*=7,y(log2y-2)=28,則—=()

4.112B.28C.7DA

y

【答案】丁(1哈y一2)=28,ylog2-^=28,即log?'?"叼=7

設(shè)/(x)=x2"，則/(x)=/(log25)=7,且易知其為定義在(0,+8)上的單增函數(shù)

故x=log2?,即孫=ylogz?=28,選及

例6已知實數(shù)的y滿足(1—17+2x+sin(x-l)=3,(y—1丫+2y+sin(x-l)=I,

則x+y=()

AOB2C.4D.6

【答案】B

【解析】(l-1)5+2x+sin(x-1)=3(x—l)5+2(x—l)+sin(x—1)=1

(y-17+2y+sin(x-1)=1(y-咪+2(y—l)+sin(x-1)=-l

設(shè)/(x)=元5+2x+sinx,則/(x-l)=l,/(y-l)=~l

貝|J/'(x)=5x4+2+cosx>0,且/(-x)=(-x)5+2(-x)+sin(-x)=-/(x)，

故)(x)為定義在A上的單增函數(shù)，且/(x—l)+/(y—1)=0

所以(x-1)+(y—1)=0,即x+y=2,選8.

【鞏固訓(xùn)練】

1.已知a、。分別是方程%5+尤+1=0、工+6+1=0的根，則a+p的值是.

2.已知實數(shù)X、y滿足(x+Jx2+i)(y+"y2+])=]則X2-3xy-4y2-6元一6y+2020

的值是.

3.方程lfx+1+朗2x+3+3x+4=0的根是.

,r4

4.已知實數(shù)a,be（o,2）,且滿足Y—4=十一2"-4〃，則a+b的值為

2h

5.設(shè)方程x+2、=4的根為m,方程x+log?"=4的根為n,則加+n=

6.已知/一3Q2+5Q=I,b3—3b2+5b=5,那么o+b的值是.

7.若％滿足2x+2"=5,超滿足2x+210g2（x—1）=5,X^X2=（）

57

A.-B.3C.D.4

22

【答案或提示】

L【答案】-1

【提示】設(shè)/(?=/+》+1,則/'(x)=5￡*+l>0,/(x)單增.

由二5+a+1=0,(川?+?+1=0得0=而

代入儲+。+1=0得+a+l=0,即,+。+1=0,得a+p=-1.

2.【答案】2020

【提示】兩邊取自然對數(shù)得ln(x+G7T)+ln(y+J7W)=O

設(shè)/(x)=ln(x+GTl),則易得其為R上的單增奇函數(shù)

所以x+y=0,

故x2-3xy-4y2-6x-6y+2020=(x+y)(x-4y)—6(x+y)+2020=2020.

3【答案】一4:

3

【分析】利用“同構(gòu)”構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性.

【解析】原方程可化為mi+(x+l)+42x+3+(2