材料力學課件之應力狀態(tài)理論

第9章應力狀態(tài)與應變狀態(tài)分析§9–１應力狀態(tài)的概念一、問題的提出P鑄鐵壓縮PP低碳鋼拉伸

鋼筋混凝土梁的斜裂縫2.受力構(gòu)件內(nèi)應力的特征1.實例1）構(gòu)件不同截面上的應力狀況一般是不同的。2）構(gòu)件同一截面上不同點處的應力一般是不相同的。3）構(gòu)件內(nèi)同一點處，在不同方位截面上的應力一般也是不相同的。因此，當提及應力時，必須指明“應力的點和面”

二、一點的應力狀態(tài)通過受力構(gòu)件內(nèi)的一點，不同方位截面上的應力集合，稱為該點處的應力狀態(tài)（StateofStressataGivenPoint）。1.定義：3.應力狀態(tài)的表示在于確定在哪個截面上該點處有最大正應力，在哪個截面上該點處有最大剪應力，以及它們的數(shù)值，為處于復雜應力狀態(tài)下桿件的強度計算提供依據(jù)。

2.研究危險點處應力狀態(tài)的目的用單元體表示點的應力狀態(tài)。圍繞所研究的點，截取一單元體(如微小正六面體)，以單元體各面上的應力分量表示周圍材料對其作用，這樣的應力單元體，就表示該點處的應力狀態(tài)。xyzs

xsz

s

ytxytxz4.應力單元體的特征1）單元體的尺寸無限小，每個面上的應力為均勻分布。2）單元體表示一點處的應力，故相互平行截面上的應力相同。3）同一點處的應力狀態(tài)，若所取單元體的方位不同，則所表示的形態(tài)并不相同，如圖所示均為軸向拉桿A點處的應力狀態(tài)，但兩單元體是等價的。三、主平面、主應力1.主平面(PrincipalPlane)

應力單元體中剪應力為零的平面，稱為主平面。2.主單元體(Principalbidy)由主平面構(gòu)成的單元體。3.主應力主平面上的正應力。主應力的記號分別用表示，且規(guī)定按代數(shù)值排列。4.主方向：主平面的法向。5.應力狀態(tài)的普遍情況在任意載荷的作用下，物體內(nèi)一點處應力狀態(tài)的普遍情況，最多可能有9個應力分量，即yxz由剪應力互等定理，可知因比，普遍情況下一點處應力狀態(tài)的獨立應力分量是6個。在普通情況下，任一點處的應力狀態(tài)，必定存在一個由三對相互垂直的主平面所組成的主應力單元體。但在三個主應力中有兩個或三個主應力相等的特殊情況下，主平面及主方向便會多余三個。四、應力狀態(tài)的分類單向應力狀態(tài)——只有一個主應力不等于零的應力狀態(tài)。二向應力狀態(tài)——有兩個主應力不等于零的應力狀態(tài)。三向（空間）應力狀態(tài)——三個主應力均不等于零的應力狀態(tài)。

純剪切應力狀態(tài)——單元體的各個側(cè)面只有剪應力而無正應力的應力狀態(tài)。

單向應力狀態(tài)和二向應力狀態(tài)均屬于平面應力狀態(tài)。三向應力狀態(tài)屬于空間應力狀態(tài)。單向應力狀態(tài)也稱簡單應力狀態(tài)，而二向應力狀態(tài)和三向應力狀態(tài)稱復雜應力狀態(tài)。

零應力狀態(tài)應力狀態(tài)的疊加：其結(jié)果不一定屬于原有應力狀態(tài)。§9–2平面應力狀態(tài)分析的解析法sxtxysyxyzxysxtxysyO等價xysxtxysyO一、任意a斜截面上的應力sasytyxsxtaaxyOtnatxy符號規(guī)定sasytyxsxtaaxyOtnatxy正應力——以拉應力為正；剪應力t——以使單元體繞單元體內(nèi)任意一點有順時針轉(zhuǎn)動趨勢者為正；方向角a——以逆時針為正。二、用解析法求任意a斜截面上的應力1.公式推導：2.任意a斜截面上的應力公式3.正應力極值——主應力3.正應力極值——主應力max的指向是介于僅由單元體剪應力txy=tyx產(chǎn)生的主拉應力指向與單元體正應力x、y中代數(shù)值較大的一個正應力指向之間。xxyytxytyxmaxmin

主單元體4.剪正應應力極極值極值剪剪應力力作用用面上上的正正應力力：5.平面應應力狀狀態(tài)分分析的的特征征1）斜截截面應應力、、主應應力及及最大大剪應應力均均是指指xy平面內(nèi)內(nèi)的應應力，即即其作作用面面均垂垂宜于于xy平面。。2)任意兩兩相互互垂直直截面面上的的正應應力之之和為為常量量3）平面面應力力狀態(tài)態(tài)中，，垂直直于該該平面面的主主應力力為零零。故故單元元體三個主主應力力的序序號應應根據(jù)據(jù)max和min的正負負號而而定，，即4）主平平面上上的剪剪應力力必等等于零零；最最大剪剪應力力作用用面上上的正正應力一般般不等等于零零，且且等于于(x+y)/2。5）主平平面與與最大大剪應應力作作用面面必互互成450。6.用解析析法求求任意意a斜截面面上的的應力力示例例例：分分析受受扭構(gòu)構(gòu)件的的破壞壞規(guī)律律。TC例：§9––3平面應應力狀狀態(tài)分分析的的圖解法法xysxtxysyOsasytyxsxtaaxyOtnatxy1.應力圓圓（StressCircle）對上述述方程程消去去參數(shù)數(shù)（2），得應力力圓方方程：：此方程程曲線線為圓圓——應力圓圓（或或莫爾爾圓，，由德德國工工程師師：OttoMohr引入））2.應力圓圓的畫畫法(2)在坐標系系內(nèi)畫畫出點點A(x，xy)和B(y，yx)(3)AB與sa軸的交交點C便是圓圓心。。(4)以C為圓心心，以以AC為半徑徑畫圓——應力圓圓；sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)(1)建立應應力坐坐標系系，如如下圖圖所示示，（注意意選好好比例例尺））3.單元體體與應應力圓圓的對對應關(guān)關(guān)系sxtxysyxyOnsataa單元元體體應力力圓圓單元體體某平平面上上的應應力分分量單元體體兩平平面間間的夾夾角a單元體體的主主應力力值單元體體的最最大剪剪應力力值應力圓圓某定定點的的坐標標應力圓圓兩對對應點點所夾夾的中中心角角2a應力圓圓與sa軸交點點的坐坐標應力圓圓的半半徑OsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)2a04.在應力力圓上上標出出極值值應力力OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3§9––4梁的主主應力力及其其主應應力跡跡線12345P1P2q一、梁梁內(nèi)各各點的的主應應力可見：：梁內(nèi)內(nèi)任一一點的的兩個個非零零主應應力中中，一一個為為拉應應力，，另一一個為為壓應應力，，且互互相垂垂直。。主應應力的的方向向沿梁梁高連連續(xù)變變化。。梁內(nèi)各各點的的主應應力21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0=––90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O二、平平面彎彎曲梁梁內(nèi)的的主應應力跡跡線：：在梁的的xy平面內(nèi)內(nèi)繪出出的表表示各各點主主應力力方向向兩組組正交交曲線線，一一組曲曲線表表示主主拉應應力方方向，，另一一組曲曲線表表示主主壓應應力方方向，，曲線線上各各點的的主應應力方方向均均與曲曲線相相切。。1.定義：：2.目的：：在工程程中，，為了了更好好地發(fā)發(fā)揮材材料的的作用用，常常采用用兩種種材料料制成成的梁梁。如如鋼筋筋混凝凝土梁梁。明明確主主拉應應力方方向，，以便便合理理地布布置鋼鋼筋。。拉力壓力實線表表示拉拉主應應力跡跡線；；虛線表表示壓壓主應應力跡跡線。。3.主應力力跡線線的畫畫法：：xy11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacdq13314.主應力力跡線線特點：：(1)兩組曲曲線在在相交交處互相垂垂直；；(2)所有主應力力跡線線都將穿過過中性性層，，且與中性性層成成450；(3)在梁底底（頂頂）處處，主應力力跡線線與底底（頂））平行行或垂垂直；；(4)梁的支支承和和荷載載不同，主主應力力跡線線形式不同同；(5)主應力力跡線線只顯顯示主應力力的方方向，，不反映大大小。?！?––5空間應應力狀狀態(tài)簡簡介1、空間間應力力狀態(tài)態(tài)s2s1xyzs32、三向向應力力分析析圖a圖btmaxs2s1xyzs3(1)彈性理理論證證明，，圖a單元體體內(nèi)任任意一一點任任意截截面上上的應應力都對應應著圖圖b的應力力圓上上或陰陰影區(qū)區(qū)內(nèi)的的一點點。(2)整個單單元體體內(nèi)的的最大大剪應應力為為：§9––6廣義虎虎克定定律1.單拉下下的應應力--應變關(guān)關(guān)系2.純剪的的應力力--應變關(guān)關(guān)系xyzsxxyz

x

y一、廣廣義胡胡克定定律3.復雜狀狀態(tài)下下的應應力---應變關(guān)關(guān)系依疊加加原理理,及根據(jù)據(jù)連續(xù)續(xù)均勻勻各向向同性性線彈彈性材材料，，正應應力僅僅引起起線應應變，，剪應應力僅僅引起起相應應平面面的剪剪應變變，得得:

xyzszsytxysx廣義胡胡克定定律4.主應力力---主應變變關(guān)系系s1s3s2主應力力與主主應變變方向一一致5.平面狀狀態(tài)下下的應應力---應變關(guān)關(guān)系:二、材材料彈彈性常常數(shù)E、G、n間的關(guān)系對于各向同同性材料，，獨立的彈彈性常數(shù)為為2個三、體積應應變與應力力分量間的的關(guān)系對于各向同同性材料，，線應變僅僅由正應力力引起，又又由于剪應應變不引起起體積改變變。因此，，在線彈性性、微小應應變情況下下，空間應應力狀態(tài)單單元體的體積應變?yōu)闉椋后w應變又稱稱體積應變變，是指在在應力狀態(tài)態(tài)下單元體體單位體積積的體積改改變。三、體應變變s1s3s2dxdydz1.主單元體：：2.純剪切平面面應力狀態(tài)態(tài)txyCtyx可見，剪應力的存存在并不影影響該點處處的體應變變。3.一般單元體體

szsytxysx小變形時連連續(xù)均質(zhì)各各向同性線線彈性體內(nèi)內(nèi)，一點處處的體應變變，只與過過該點沿三三個相互垂垂直的坐標標軸方向正正應力的代代數(shù)和成正正比，而與與坐標方位位和切應力力無關(guān)。結(jié)論：例已知一受力力構(gòu)件自由由表面上某某一點處的的兩個面內(nèi)內(nèi)主應變分分別為：1=24010-6，2=–16010-6，彈性模量量E=210GPa，泊松比為n=0.3，試求該點處處的主應力力及另一主主應變。例圖a所示為承受受內(nèi)壓的薄薄壁容器。。為測量容容器所承受受的內(nèi)壓力力值，在容容器表面用用電阻應變變片測得環(huán)環(huán)向應變，，若若已知容器器平均直徑徑D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的的E=210GPa，n=0.25，試求:1.導出容器橫橫截面和縱縱截面上的的正應力表表達式；2.計算容器所所受的內(nèi)壓壓力。pppxs1smlDxABy§9－7復雜應力狀狀態(tài)下的彈彈性變形能能一、應變能能和比能1.應變能U彈性體由于于外力在外外力作用方方向的位移移上作功而而積蓄在彈彈性體中的能量量。2.比能（應變變比能）u彈性體單位位體積內(nèi)積積蓄的應變變能。s微元功元比能(1)單向應力狀狀態(tài)下的比比能(2)三向應力狀狀態(tài)下的比比能23

1二、體積改改變比能和和形狀改變變比能23

1圖am圖bmm圖c3-m

1-m2-m1.體積改變比比能uV：圖b示單元體受受平均應力力作用，其其體積應變變就是該點點處的體積應變，，即與圖所所示單元的的體應變相相同；且由由于三個主主應力相等等，變形后后形狀與原原來形狀相相似，只有有體積的改改變而無形形狀的改變變，故全部部比能為體體積改變比比能。1.體積改變比比能uV2.形狀改變比比能或歪形能uf：圖c所示單元體體體積應變變?yōu)榱?，其其應變比能能就是該點點處的形狀狀改變比能