代數(shù)系統(tǒng)和群

代數(shù)系統(tǒng)和群第一頁，共四十頁，2022年，8月28日第六章群與環(huán)§6.1代數(shù)系統(tǒng)

對于代數(shù)系統(tǒng)而言,運算是它的決定性因素,因此,必須首先明確運算的概念。在代數(shù)系統(tǒng)中二元代數(shù)運算用得最多,所以我們給出其定義并討論其性質(zhì)。定義6.1.1設(shè)S是一個非空集合，稱S×S到S的一個映射f為S的一個二元代數(shù)運算，即,對于S中任意兩個元素a,b,通過f,唯一確定S中一個元素c：f（a，b）=c，常記為a*b=c。由于一般情況下,(a,b),(b,a)是S×S中不同的元，故a*b未必等于b*a。第二頁，共四十頁，2022年，8月28日例如，S={a,b},則S×S={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}映射f為：(a,a)----a(a,b)----a(b,a)----b(b,b)----bf稱為S的一個二元代數(shù)運算，有f(a,a)=af(a,b)=af(b,a)=bf(b,b)=b,也可表示為：a*a=a,a*b=a,b*a=b,b*b=b第三頁，共四十頁，2022年，8月28日例6.1.1自然數(shù)集N上的加法和乘法是N上的二元代數(shù)運算；減法和除法不是N上的二元代數(shù)運算，因為兩個自然數(shù)相減或相除可能得到的不是自然數(shù)。例6.1.2整數(shù)集Z上的加法、減法、乘法都是Z上的二元代數(shù)運算;除法不是Z上的二元代數(shù)運算.例6.1.3非零實數(shù)集R*上的乘法、除法是R*上的二元代數(shù)運算；加法和減法不是R*上的二元代數(shù)運算，因為兩個非零實數(shù)相加或相減可能得出0。例6.1.4矩陣加法和乘法是n階實矩陣集合上的二元代數(shù)運算。例6.1.5設(shè)S是一個非空集合，ρ（S）是S的冪集，則集合的交運算∩、并運算∪是ρ（S）上的二元代數(shù)運算。例6.1.6邏輯連接詞合取∧、析取∨、蘊涵→、等價都是真值集合{0，1}上的二元代數(shù)運算。第四頁，共四十頁，2022年，8月28日定義6.1.2設(shè)*是集合S上的二元代數(shù)運算，如果對于S中任意兩個元素a，b，等式a*b=b*a都成立，則稱運算“*”滿足交換律。例如整數(shù)上的加法。定義6.1.3設(shè)*是集合S上的二元代數(shù)運算，如果對于S中任意三個元素a，b，c，等式（a*b）*c=a*（b*c）都成立，則稱運算*滿足結(jié)合律。例如整數(shù)上的加法。第五頁，共四十頁，2022年，8月28日定義6.1.4設(shè)*是集合S上的二元代數(shù)運算，a是S中的元素，如果a*a=a則稱a是關(guān)于運算*的冪等元。如果S中每個元素都是關(guān)于*的冪等元，則稱運算“*”滿足等冪律。如在整數(shù)中看，1是關(guān)于乘法的冪等元，0是關(guān)于加法的冪等元，但乘法和加法都不滿足等冪律。定義6.1.5設(shè)*和+是集合S上的兩個二元代數(shù)運算，如果對于S中任意三個元素a，b，c，等式a*(b+c)=(a*b)+(a*c)，(b+c)*a=(b*a)+(c*a）都成立，則稱運算*對+滿足分配律。第六頁，共四十頁，2022年，8月28日定義6.1.6設(shè)*和+是集合S上的兩個二元代數(shù)運算，如果對于S中任意兩個元素a，b，等式a*（a+b）=a，a+（a*b）=a，都成立，則稱運算*和+滿足吸收律。例6.1.7整數(shù)集Z上的加法、乘法都滿足結(jié)合律和交換律，乘法對加法滿足分配律，但加法對乘法不滿足分配律；減法不滿足結(jié)合律，也不滿足交換律；它們都不滿足等冪律，也不滿足吸收律。第七頁，共四十頁，2022年，8月28日例6.1.8n階實矩陣集合上的加法滿足結(jié)合律,也滿足交換律;乘法滿足結(jié)合律，但不滿足交換律;它們都不滿足等冪律,也不滿足吸收律。例6.1.9設(shè)S是一個非空集合，ρ(S)是S的冪集,則ρ(S)上的交運算∩、并運算∪都滿足結(jié)合律,交換律,∪對∩、∩對∪都滿足分配律,它們都滿足等冪律,也滿足吸收律。定義6.1.7設(shè)*是集合S上的二元代數(shù)運算,如果對于S中任意三個元素a,b,c,（1）若a*b=a*c，則b=c，（2）若b*a=c*a，則b=c，就稱*滿足消去律。第八頁，共四十頁，2022年，8月28日例6.1.10整數(shù)集Z上的加法滿足消去律，但乘法不滿足消去律，例如，3*0=5*0，但3≠5。例6.1.11n階實矩陣集合上的加法滿足消去律，但乘法不滿足消去律，例如，

=,但定義6.1.8設(shè)S是一個非空集合，f1，……，fm是S上的若干代數(shù)運算，把S及其運算f1，……，fm看成一個整體來看,叫做一個代數(shù)系統(tǒng)，記為（S，f1，……，fm）第九頁，共四十頁，2022年，8月28日例6.1.12設(shè)S是一個非空集合，ρ（S）是S的冪集，∩和∪是ρ（S）上的交運算和并運算,則（ρ（S），∩，∪）為代數(shù)系統(tǒng)。例6.1.13設(shè)Z為整數(shù)集,Z0為偶數(shù)集,N為自然數(shù)集,+、·是數(shù)的加法和乘法,則(Z,+)、(Z,·)、(Z,+,·)都是代數(shù)系統(tǒng)；(Z0,+)、(Z0,·)、(Z0,+,·)都是代數(shù)系統(tǒng)；(N,+)、(N,·)、(N,+,·)都是代數(shù)系統(tǒng)；如果用、⊙分別表示求最大公約數(shù)和求最小公倍數(shù)的運算，那么（Z,,⊙）、（Z0,,⊙）與（N，，⊙）也都是代數(shù)系統(tǒng)。例6.1.14設(shè)∧、∨是真值集合{0，1}上的合取與析取運算，則（{0，1}，∧，∨）是代數(shù)系統(tǒng)。第十頁，共四十頁，2022年，8月28日

作業(yè)：196頁，1。第十一頁，共四十頁，2022年，8月28日

習(xí)題6.1

1.設(shè)W1、W2、W3分別為是模6的剩余類集合Z6的子集：W1={，}，W2={，，}，W3={，，}，試問剩余類加法是不是這些子集的二元代數(shù)運算？解：剩余類加法對W1，W2是二元代數(shù)運算，而W3不是。

第十二頁，共四十頁，2022年，8月28日

2.S={2n|nN}，加法是S上的二元代數(shù)運算嗎？乘法呢？解：加法不是S上的二元代數(shù)運算，乘法是。第十三頁，共四十頁，2022年，8月28日

3.自然數(shù)集N上的二元代數(shù)運算*定義為x*y=xy，*是否滿足結(jié)合律？是否滿足交換律？解:(a*b)*c=(ab)c=

abc

a*(b*c)=a*b=ab,b*a=ba所以，都不滿足。

第十四頁，共四十頁，2022年，8月28日

4.設(shè)*是集合S上的二元代數(shù)運算，且滿足結(jié)合律,設(shè)x,y是S中任意元素，如果x*y=y*x，則x=y。試證明*滿足等冪律。證明：由于對S中任意的x，y和z，有x*(y*z)=(x*y)*z，故x*(x*x)=(x*x)*x，于是有x*x=x。

第十五頁，共四十頁，2022年，8月28日

5.設(shè)+和*是集合S上的兩個二元代數(shù)運算，對于S中任意元素x和y，x+y=x。證明*對于+滿足分配律。證明：設(shè)x，y和z是S中任意三個元素，則x*(y+z)=x*y=x*y+x*z，且(y+z)*x=y*x=y*x+z*x，故*對于+滿足分配律。第十六頁，共四十頁，2022年，8月28日§6.2群的定義6.2.1半群

定義6.2.1設(shè)G是一個非空集合，若·為G上的二元代數(shù)運算，且滿足結(jié)合律，則稱該代數(shù)系統(tǒng)（G，·）為半群。例6.2.1設(shè)S是一個非空集合，ρ（S）是S的冪集，∩和∪是ρ（S）上的交運算和并運算，則（ρ（S），∩）為半群，（ρ（S），∪）為半群。例6.2.2設(shè)Z為整數(shù)集,+、-、·是數(shù)的加法、減法和乘法,則(Z,+)、(Z,·)都是半群；（Z，-）不是半群，因為減法不滿足結(jié)合律。第十七頁，共四十頁，2022年，8月28日例6.2.3設(shè)N為自然數(shù)集，規(guī)定N上的運算“⊙”如下：a⊙b=a+b+a·b，其中+、·是數(shù)的加法和乘法,a，b是N中任意元素。顯然,⊙為N上的二元代數(shù)運算。對N中任意三個元素a,b,c,有：(a⊙b)⊙c=(a+b+a·b)⊙c=(a+b+a·b)+c+(a+b+a·b)·c=a+b+c+a·b+b·c+a·c+a·b·c，a⊙(b⊙c)=a⊙(b+c+b·c）=a+（b+c+b·c）+a·（b+c+b·c）=a+b+c+a·b+b·c+a·c+a·b·c，故，（a⊙b）⊙c=a⊙（b⊙c），⊙滿足結(jié)合律，因此，（N，⊙）為半群。第十八頁，共四十頁，2022年，8月28日例6.2.4設(shè)S是一個非空集合，規(guī)定S上的運算如下：ab=b，其中a，b是S中任意元素。顯然為S上的二元代數(shù)運算。對S中任意三個元素a，b，c，有：（ab）c=bc=c，a（bc）=ac=c，故，（ab）c=a（bc），滿足結(jié)合律，因此，（S，）為半群。

第十九頁，共四十頁，2022年，8月28日6.2.2群定義6.2.2設(shè)（G,·）為半群，如果滿足下面條件：(1)G中有一個元素1，適合對于G中任意元素a，都有1·a=a·1=a;(2)對于G中任意a，都可找到G中一個元素a-1，滿足a·a-1=a-1·a=1，則稱（G，·）為群。元素1稱為G的單位元素，a-1稱為a的逆元素。如果群G包含的元素個數(shù)有限，則稱G為有限群，否則稱G為無限群。下面用|G|表示有限群G所包含的元素個數(shù)。第二十頁，共四十頁，2022年，8月28日

例6.2.6設(shè)Q為所有有理數(shù)組成的集合，R為所有實數(shù)組成的集合，C為所有復(fù)數(shù)組成的集合，Q*為所有非零有理數(shù)組成的集合,R*為所有非零實數(shù)組成的集合，C*為所有非零復(fù)數(shù)組成的集合，+、·是數(shù)的加法和乘法，則（Q，+）、（R，+）、（C，+）都是群；(Q,·)、（R，·）、（C，·）都不是群，因為0無逆元素；(Q*,·)、（R*，·）、（C*，·）都是群。第二十一頁，共四十頁，2022年，8月28日

例6.2.7設(shè)S是一個非空集合，ρ(S)是S的冪集,∩和∪是ρ(S)上的交運算和并運算，則(1)半群(ρ(S),∩)不是群,雖然存在單位元素S,但不是任意元素都存在逆元素；(2)半群(ρ(S),∪)也不是群,雖然存在單位元素：空集，但不是任意元素都存在逆元素。例6.2.8例6.2.3中半群（N，⊙）不是群，因為不存在單位元素。假定有單位元素，設(shè)為e，則對N中任意元素a，都應(yīng)有e⊙a=a，即e+a+e·a=a，因此，e=0，但0N。第二十二頁，共四十頁，2022年，8月28日例6.2.9例6.2.4中半群(S,)也不是群,因為不存在單位元素。例6.2.10設(shè)A是實數(shù)域上所有n階非奇異矩陣的集合，*為矩陣的乘法，則不難驗證（A，*）是群。例6.2.11設(shè)S={0，1，2，……m-1}，規(guī)定S上的運算⊕如下：

a⊕b=，其中a，b是S中任意元素，+、-為數(shù)的加與減。則（S，⊕）是群，稱為模m的整數(shù)加法群。第二十三頁，共四十頁，2022年，8月28日6.2.3群的性質(zhì)定理6.2.1設(shè)(G,·)是一個群，則G中恰有一個元素1適合1·a=a·1=a,而且對于任意a恰有一個元素a-1適合a·a-1=a-1·a=1。證明：若1和1’都是單位元素，則1’=1·1’=1，故1’=1。若b和c都有a-1的性質(zhì),則b=b·1=b·(a·c)=（b·a）·c=1·c=c,故b=c.這就是說群的單位元素是唯一的，任意元素的逆也是唯一的。易見（a-1）-1=a。第二十四頁，共四十頁，2022年，8月28日例如，S={0,1,2,3,4},運算⊕是模5加運算，則單位元有且只有一個為0。0的唯一的逆元素是0；1的唯一的逆元素是4；2的唯一的逆元素是3；3的唯一的逆元素是2；4的唯一的逆元素是1。如果，S={0,1,2,3},運算⊕是模4加運算,則單位元也有且只有一個為0。0的唯一的逆元素是0；1的唯一的逆元素是3；2的唯一的逆元素是2；3的唯一的逆元素是1。第二十五頁，共四十頁，2022年，8月28日定理6.2.2群定義中的條件（1）和（2）可以減弱如下：（1）’G中有一個元素左壹適合1·a=a;（2）’對于任意a，有一個元素左逆a-1適合a-1·a=1。

證明：只要證明由（1）’、（2）’（和其余的條件聯(lián)合）可以推出(1)和(2)，即只需證明a·1=a和a·a-1=1。第二十六頁，共四十頁，2022年，8月28日先證a·a-1=1。因為(a-1·a)·a-1=1·a-1=a-1，故(a-1·a)·a-1=a-1。由（2）’，a-1也應(yīng)該有一個左逆適合b·a-1=1。于是,一方面有：b·（（a-1·a）·a-1）)=b·a-1=l，另一方面有：b·((a-1·a)·a-1)=(b·a-1)·(a·a-1)=1·（a·a-1）=a·a-1，因此，a·a-1=1。再證a·1=a。事實上，a·1=a·（a-1·a）=（a·a-1）·a=1·a=a。自然，把（1）’,（2）’中對于左邊的要求一律改成對于右邊的要求也是一樣。第二十七頁，共四十頁，2022年，8月28日定理6.2.3群定義中的條件（1）和（2）等于下列可除條件：對于任意a，b，有χ使χ·a=b，又有y使a·y=b。證明：首先證明在任一群中可除條件成立。因為，取χ=b·a-1，y=a-1·b，即得χ·a=b，a·y=b，故，由(1)和(2)可以推出可除條件成立。再證明由可除條件也可以推出(1)’,(2)’，因而可以推出(1),(2)。事實上,取任意c∈G，命1為適合х·c=c的х，則1·c=c。今對于任意a,有y使c·y=a,故1·a=1·(c·y)=（1·c）·y=c·y=a，即（1）’成立。至于（2）’，只要令a-1為適合х·a=1的х，則a-1·a=1。第二十八頁，共四十頁，2022年，8月28日定理6.2.4設(shè)G是一個群，在一個乘積a1…an中可以任意加括號而求其值。證明：要證定理，只要證明任意加括號而得的積等于按次序由左而右加括號所得的積(…((a1·a2)·a3)…·an-1)·an（1）（1）式對于n=1，2不成問題；對于n=3,由結(jié)合律也不成問題?，F(xiàn)在對n用歸納法,假定對少于n個因子的乘積（1）式成立，試證對n個因子的乘積（1）式也成立。第二十九頁，共四十頁，2022年，8月28日a1…an任意加括號而得到的乘積A，求證A等于(1)式。設(shè)在A中最后一次計算是前后兩部分B與C相乘：A=（B）·（C）今C的因子個數(shù)小于n，故由歸納假設(shè),C等于按次序自左而右加括號所得的乘積（D）·an。由結(jié)合律，A=(B)(C)=(B)·((D)·an)=((B)·(D))·an。但（B）·（D）的因子個數(shù)小于n，故由歸納假設(shè)，（B）·（D）等于按次序由左而右加括號所得的乘積(B)·(D)=(…((a1·a2)·a3)…·an-2)·an-1第三十頁，共四十頁，2022年，8月28日因而A=((B)·(D))·an=((…((a1·a2)·a3)…·an-2)·an-1）·an即A等于（1）式。當(dāng)給出二元運算后，若無結(jié)合律，則三個以上元素的運算不一定有意義，本定理對有結(jié)合律的一切代數(shù)體系成立?，F(xiàn)在a1…an有意義，當(dāng)它們都相同時稱n個a連乘積為a的n次方，記為an，記為an。我們規(guī)定a0=1，a-n=（an）-1(=(a-1)n)象在普通代數(shù)中一樣，可以證明對于任意整數(shù)m，n，有第一指數(shù)律am·an=am+n，第二指數(shù)律（am）n=amn。第三十一頁，共四十頁，2022年，8月28日定義6.2.3若群(G,·)的運算·適合交換律，則稱（G，·）為Abel群或交換群.定理6.2.5在一個Abel群（G，·）中，一個乘積可以任意顛倒因子的次序而求其值。證明：考慮一個乘積a1·…·an。設(shè)σ是{1，…，n}上的一個一對一變換，欲證aσ（1）·

…·aσ（n）=a1·…·an對n用歸納法，n=1時只有一個a1定理自然成立，假定n-1時定理已真，證明n時定理亦真。第三十二頁，共四十頁，2022年，8月28日設(shè)將a1·…·an中各因子任意顛倒次序而得一式P=aσ（1）·…·aσ（n）因子an必在P中某處出現(xiàn)，因而P可以寫成P=（P′）·…·an·（P″）Pˊ或P″中可能沒有元素，但照樣適用以下的論證，由交換律，P=Pˊ·(an·P″)=Pˊ·(P″·an)=(Pˊ·P″)·an，現(xiàn)在Pˊ·P″中只有n-1個元素a1,…,an-1,只不過次序有顛倒，故由歸納法假定，Pˊ·P″=a1·…·an-1。因此,P=（Pˊ·P″）·an=a1·…·an-1·an，從而歸納法完成，定理得證。第三十三頁，共四十頁，2022年，8月28日在Abel群中，易見有第三指數(shù)律：（a·b）m=am·bm，m為任意整數(shù)。如果群G的運算不寫作乘·而寫作加+，則G叫做一個加法群，我們永遠假定一個加法群是一個Abel群：a+b=b+a在乘法群中寫做1的現(xiàn)在寫做0：a+0=a在乘法群中寫做a-1而稱為a的逆的,現(xiàn)在寫做-a而稱為a的負：a+（-a）=0n為任意整數(shù)時，在乘法群中寫作an而稱為a的n次方的，現(xiàn)在寫做na而稱為a的n倍。三個指數(shù)律現(xiàn)在成為下面的形式：（m+n）a=ma+na，m（a+b）=ma+mb，m（na）=（mn）a。

第三十四頁，共四十頁，2022年，8月28日

作業(yè)：201頁，2。第三十五頁，共四十頁，2022年，8月28日習(xí)題6.2

1.設(shè)（G,·）是代數(shù)系統(tǒng),則（G×G,*）是代數(shù)系統(tǒng)，這里G×G的運算“*”規(guī)定如下：（a，b）*（c，d）=（a·c，b·d），其中:a,b,c,d為G中任意元素。證明：當(dāng)（G,·）是半群時,（G×G,*）是半群；當(dāng)（G,·）有單位元素時,（G×G,*）有單位元素；當(dāng)（G,·）是群時,（G×G，*）是群；

第三十六頁，共四十頁，2022年，8月28日證明：設(shè)（G,·）是半群,a,b,c,d,e,f為G中任意元素,若有(a,b),(c,d),(e,f)屬于G×G，則有(a,b)*((c,d)*(e,f))=(a,b)*(c·e,d·f)=(a·(c·e),b·(d·f))=((a·c)·e,(b·d)·f))=((a·c),(b·d))*(e,f)=((a,b)*(c,d))*(e,f)這就證明了當(dāng)（G,·）是半群時,（G×G,*）是半群.設(shè)（G,·）有單位元素1，(a,b)是（G×G,*）中任意元素,則有(a,b)=(a·1,b·1)=(a,b)*(1,1)且(a,b)