材料力學(xué)教學(xué)課件幻燈片一二

返回總目錄第4章

梁的內(nèi)力提要：在前面的章節(jié)中，已經(jīng)介紹過(guò)軸向拉(壓)桿件和受扭桿件的內(nèi)力的計(jì)算，本章將討論受彎桿件的內(nèi)力計(jì)算。以彎曲為主要變形的構(gòu)件稱為梁(beam)，如房屋建筑中的樓板梁(圖4.1)與火車的輪軸(圖4.2)。本章主要研究外力作用在同一平面，變形也在同一平面(即平面彎曲)的梁。梁的內(nèi)力計(jì)算與前面一樣仍然采用截面法，由于荷載的作用，梁在各橫截面產(chǎn)生內(nèi)力，包括剪力和彎矩。截?cái)嗔荷先我粰M截面，都會(huì)有剪力和彎矩，任取截面左或右側(cè)部分為研究對(duì)象，通過(guò)靜力平衡方程可以求出該橫截面內(nèi)力。通過(guò)列出剪力方程和彎矩方程，可以繪制剪力圖和彎矩圖，從而反映出梁上所有橫截面的內(nèi)力大小和方向。通過(guò)分析剪力方程和彎矩方程發(fā)現(xiàn)剪力、彎矩和荷載之間存在微分關(guān)系，相應(yīng)的在剪力圖、彎矩圖和荷載之間存在某些規(guī)律，依據(jù)這些規(guī)律可以不寫剪力方程和彎矩方程，直接作出內(nèi)力圖。在材料服從胡克定律和小變形的前提下還可以利用疊加法，更方便地作出內(nèi)力圖。梁的約束條件及荷載千差萬(wàn)別，為便于計(jì)算，一般抓住主要因素對(duì)其做出簡(jiǎn)化，得出計(jì)算簡(jiǎn)圖。首先是梁的簡(jiǎn)化，一般在計(jì)算簡(jiǎn)圖中用梁的軸線代替梁。另外，還需要對(duì)支座和荷載進(jìn)行簡(jiǎn)化，下面分別討論梁上支座和荷載的簡(jiǎn)化。4.1梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖4.1梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖圖4.1樓板梁計(jì)算簡(jiǎn)圖圖4.2火車輪軸計(jì)算機(jī)簡(jiǎn)圖

支座的簡(jiǎn)化根據(jù)結(jié)構(gòu)中梁的約束情況，支座一般可簡(jiǎn)化為以下三種基本形式?？蓜?dòng)鉸支座。圖4.3(a)是可動(dòng)鉸支座的簡(jiǎn)化形式。該支座限制此截面沿垂直于支承面方向的移動(dòng)，因此可動(dòng)鉸支座只有一個(gè)約束，相應(yīng)只有一個(gè)支反力，即垂直于支承面的反力。(2)固定鉸支座。有兩個(gè)約束，相應(yīng)的約束反力為兩個(gè)，分別是水平反力和垂直反力(圖4.3(b))。(3)固定端。它使梁在固定端內(nèi)不能發(fā)生任何方向的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，約束反力除X、Y之外，還有阻止轉(zhuǎn)動(dòng)的反力偶m(圖4.3(c))。4.1梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖這里需要指出的是，理想的“自由轉(zhuǎn)動(dòng)”和“絕對(duì)固定”實(shí)際上是不存在的，比如由于摩擦力的存在，轉(zhuǎn)動(dòng)不會(huì)完全自由，由于約束材料的變形，梁也不會(huì)完全被固定，只是這些運(yùn)動(dòng)相對(duì)較小，所以我們把它忽略了。圖4.3各種支座的約束反力(a)可動(dòng)鉸支座；(b)固定鉸支座；(c)固定端4.1梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖2.載荷的簡(jiǎn)化梁上的載荷通?？梢院?jiǎn)化為以下三種形式。(1)集中力。作用在梁上很小區(qū)域上的橫向力，其特點(diǎn)是分布范圍遠(yuǎn)小于輪軸或大梁的長(zhǎng)度，因此可以簡(jiǎn)化為集中力，如火車輪軸上的P(圖4.2)、吊車大梁所掛的重物Q(圖4.4(a))等，它的常用單位為牛頓(N)或千牛頓(kN)。圖4.4集中力、均布載荷和分布載荷示意圖吊車梁載荷與分布示意圖；(b)閘門立柱的靜水壓力分布示意圖4.1梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖(2)集中力偶。工程中的某些梁，通過(guò)與梁連接的構(gòu)件，承受與梁軸線平行的外力作用，如圖4.5(a)所示。在做梁的受力分析時(shí)，可將該力向梁軸線簡(jiǎn)化，得到一軸向外力和一作用在梁的載荷平面內(nèi)的外力偶(圖4.5(b))。該外力偶只作用在承力構(gòu)件與梁連接處的很小區(qū)域上，稱為集中力偶。集中力偶的常用單位是或。圖4.5集中力偶示意圖(a)承受與梁平行外力的示意圖；(b)力向梁軸線簡(jiǎn)化后的示意圖4.1梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖(3)分布載荷。連續(xù)作用在梁的一段或整個(gè)長(zhǎng)度上的橫向作用力，可簡(jiǎn)化為沿軸線的分布載荷。建筑結(jié)構(gòu)承受的風(fēng)壓、水壓，以及梁的自重等是常見(jiàn)的分布載荷。吊車大梁的自重(圖4.4(a))為均勻分布的分布載荷，一般簡(jiǎn)稱為均布載荷；閘門立柱上的靜水壓力(圖4.4(b))為線性分布的分布載荷。分布載荷的大小可用載荷集度q來(lái)表示，q為常數(shù)的分布荷載就是均布載荷。設(shè)梁段上分布載荷的合力為(圖4.6)，則4.1梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖式中，q的常用單位為或。

(4.1)圖4.6分布載荷示意圖4.1梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖3.靜定梁的基本本形式經(jīng)過(guò)對(duì)載荷及及支座的簡(jiǎn)化化，并以梁的的軸線表示梁梁，可以畫出出計(jì)算簡(jiǎn)圖。。圖4.l、圖4.2及圖4.4中分別畫出了了樓板梁、火火車輪軸、吊吊車大梁和閘閘門立柱的計(jì)計(jì)算簡(jiǎn)圖。在平面彎曲問(wèn)問(wèn)題中，梁的的所有外力均均作用在同一一平面內(nèi)，為為平面力系，，因而可建立立三個(gè)獨(dú)立的的靜力平衡方方程。如果梁梁上未知的支支座反力也是是三個(gè)，則全全部反力可通通過(guò)靜力平衡衡方程求解，，這樣的梁稱稱為靜定梁。常見(jiàn)的靜定梁梁有以下三種種形式:4.1梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖圖(1)簡(jiǎn)支梁(simplysupportedbeam)。一端為固定定鉸支座，另另一端為可動(dòng)動(dòng)鉸支座的梁梁，稱為簡(jiǎn)支支梁。如吊車車大梁(圖4.4(a))，兩支座間的的距離稱為跨跨度。(2)外伸梁(beamwithanoverhang)。當(dāng)簡(jiǎn)支梁的的一端或兩端端伸出支座之之外，稱為外外伸梁。如火火車輪軸(圖4.2)即為外伸梁。。(3)懸臂梁(cantileverbeam)。一端為固定定端、另一端端自由的梁稱稱為懸臂梁，，如閘門立柱柱(圖4.4(b))。工程中另有一一些梁，其支支座反力的數(shù)數(shù)目多于有效效平衡方程的的數(shù)目，這樣的梁稱為靜不定梁或者者超靜定梁(圖4.1)。為確定靜不不定梁的全部部支反力，除靜靜力平衡方程程外，還需考考慮梁的變形形，這將在后后面章節(jié)進(jìn)行介紹。4.1梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖圖4.2梁的平面彎曲曲彎曲是桿件的的基本變形之之一。如果桿桿件上作用有有垂直于軸線線的外力(通常稱為橫向向力)，使變形前原原為直線的軸軸線變?yōu)榍€線，這種變形形稱為彎曲變形(bendingdeformation)。凡是以彎曲曲變形為主要要變形的桿件件，通常稱為為梁(beam)。在工程實(shí)際中中，桿件在外外載荷作用下下發(fā)生彎曲變變形的事例是是很多的，例例如，樓板梁梁(圖4.1)、火車輪軸(圖4.2)、橋式吊車的的大梁(圖4.4(a))、閘門立柱(圖4.4(b))等桿件，在垂垂直于軸線的的載荷作用下下均發(fā)生彎曲曲變形。圖4.7受彎桿件的對(duì)對(duì)稱軸和對(duì)稱稱面(a)受彎桿件的對(duì)對(duì)稱軸；(b)受彎桿件的對(duì)對(duì)稱面(a)(b)4.2梁的平面彎曲曲4.3梁的內(nèi)力、剪剪力和彎矩設(shè)桿的橫截面面面積為，，微面積積上上的內(nèi)力分布布集度為，，由靜靜力關(guān)系得：：得拉桿橫截面面上正應(yīng)力的的計(jì)計(jì)算公式：式中，為為橫截面上上的正應(yīng)力，，為橫橫截面上的軸軸力，為橫截截面面積。公公式(2.1)也同樣適用于于軸向壓縮的的情況。當(dāng)為為拉拉力時(shí)，為為拉應(yīng)應(yīng)力；當(dāng)為為壓力力時(shí)，為為壓應(yīng)力，，根據(jù)前面關(guān)關(guān)于內(nèi)力正負(fù)負(fù)號(hào)的規(guī)定，，所以拉應(yīng)力力為正，壓應(yīng)應(yīng)力為負(fù)。(2.1)應(yīng)該指出：正正應(yīng)力均勻分分布的結(jié)論只只在桿上離外外力作用點(diǎn)較較遠(yuǎn)的部分才才成立，在荷荷載作用點(diǎn)附附近的截面上上有時(shí)是不成成立的。這是是因?yàn)樵趯?shí)際際構(gòu)件中，荷荷載以不同的的加載方式施施加于構(gòu)件，，這對(duì)截面上上的應(yīng)力分布布是有影響的的。但是，實(shí)實(shí)驗(yàn)研究表明明，加載方式式的不同，只只對(duì)作用力附附近截面上的的應(yīng)力分布有有影響，這個(gè)個(gè)結(jié)論稱為圣維南(Saint-Venant)原理。根據(jù)這一原理理，在拉(壓)桿中，離外力力作用點(diǎn)稍遠(yuǎn)遠(yuǎn)的橫截面上上，應(yīng)力分布布便是均勻的的了。一般在在拉(壓)桿的應(yīng)力計(jì)算算中直接用公公式(2.1)。當(dāng)桿件受多個(gè)個(gè)外力作用時(shí)時(shí)，通過(guò)截面面法可求得最最大軸力，，如如果是等截面桿件，，利用公式(2.1)就可求出桿內(nèi)內(nèi)最大正應(yīng)力力；；如果是變截面面桿件，則一一般需要求出出每段桿件的的軸力，然后后利用公式(2.1)分別求出每段段桿件上的正正應(yīng)力，再進(jìn)進(jìn)行比較確定定最大正應(yīng)力力。。4.3梁的內(nèi)力、剪剪力和彎矩【例2.2】一變截面圓鋼鋼桿，，如圖2.6(a)所示，已知，，，，，，，，，，。試求：(1)各截面上的軸軸力，并作軸軸力圖。(2)桿的最大正應(yīng)應(yīng)力。4.3梁的內(nèi)力、剪剪力和彎矩解：(1)求內(nèi)力并畫軸軸力圖。分別別取三個(gè)橫截截面I-I、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ將桿件截開(kāi)，，以右邊部分分為研究對(duì)象象，各截面上上的軸力分別別用、、表示示，并設(shè)為拉拉力，各部分分的受力圖如如圖2.6(b)所示。由各部分的靜靜力平衡方程程可得：圖2.6例2.2圖其中負(fù)號(hào)表示示軸力與所設(shè)設(shè)方向相反，，即為壓力。作出軸力力圖如圖2.6(c)所示。4.3梁的內(nèi)力、剪剪力和彎矩(2)求最大正應(yīng)力力。由于該桿桿為變截面桿桿，、、及三三段段內(nèi)不僅內(nèi)力力不同，橫截截面面積也不不同，這就需需要分別求出出各段橫截面面上的正應(yīng)力力。利用式(2.1)分別求得、、和和段段內(nèi)的正正應(yīng)力為由上述結(jié)果可可見(jiàn)，該鋼桿桿最大正應(yīng)力力發(fā)生在段內(nèi)內(nèi)，大小為4.3梁的內(nèi)力、剪剪力和彎矩二.斜截面上的應(yīng)應(yīng)力前面討論了拉拉(壓)桿橫截面上的的正應(yīng)力，但但實(shí)驗(yàn)表明，，有些材料拉拉(壓)桿的破壞發(fā)生生在斜截面上上。為了全面面研究桿件的的強(qiáng)度，還需需要進(jìn)一步討討論斜截面上上的應(yīng)力。設(shè)直桿受到軸軸向拉力的的作用，，其橫截面面面積為，，用任意斜斜截面將桿件件假想的切開(kāi)開(kāi)，設(shè)該斜截截面的外法線線與軸軸的夾角為，，如圖圖2.7(a)所示。設(shè)斜截截面的面積為為，則則4.3梁的內(nèi)力、剪剪力和彎矩設(shè)為為截截面面上的內(nèi)力，，由左段平衡衡求得為，，如圖2.7(b)所示。仿照橫橫截面上應(yīng)力力的推導(dǎo)方法法，可知斜截截面上各點(diǎn)處處應(yīng)力均勻分分布。用表表示其上上的應(yīng)力，則則式中的為橫截面上的正應(yīng)力。將應(yīng)力分解成沿斜截面法線方向分量和沿斜截面切線方向分量，稱為正應(yīng)力(normalstress)，而稱為切應(yīng)力(shearstress)，如圖2.7(c)所示。關(guān)于應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定為：正應(yīng)力符號(hào)規(guī)定同前，切應(yīng)力繞截面順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，反之為負(fù)。的符號(hào)規(guī)定：由軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到外法線方向時(shí)為正，反之為負(fù)。

4.3梁的內(nèi)力、剪剪力和彎矩由圖2.7(c)可知(2.2)(2.3)從式(2.2)、式(2.3)可以看出，和均隨角度而改變。當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值，其值為，斜截面為垂直于桿軸線的橫截面，即最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上；當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值，其值為，最大切應(yīng)力發(fā)生在與軸線成角的斜截面上。4.3梁的內(nèi)力、剪剪力和彎矩圖2.7斜截面的應(yīng)力力以上分析結(jié)果果對(duì)于壓桿也也同樣適用。。盡管在軸向拉拉(壓)桿中最大切應(yīng)應(yīng)力只有最大大正應(yīng)力大小小的二分之一一，但是如果果材料抗剪比比抗拉(壓)能力要弱很多多，材料就有有可能由于切切應(yīng)力而發(fā)生生破壞。有一一個(gè)很好的例例子就是鑄鐵鐵在受軸向壓壓力作用的時(shí)時(shí)候，沿著45°斜截面方向發(fā)發(fā)生剪切破壞壞。4.3梁的內(nèi)力、剪剪力和彎矩應(yīng)力集中的概概念前面所介紹的的應(yīng)力計(jì)算公公式適用于等等截面的直桿桿，對(duì)于橫截截面平緩變化化的拉壓桿按按該公式計(jì)算算應(yīng)力在工程程實(shí)際中一般般是允許的；；然而在實(shí)際際工程中某些些構(gòu)件常有切切口、圓孔、、溝槽等幾何何形狀發(fā)生突突然改變的情情況。試驗(yàn)和理論分分析表明，此此時(shí)橫截面上上的應(yīng)力不再再是均勻分布布，而是在局局部范圍內(nèi)急急劇增大，這這種現(xiàn)象稱為為應(yīng)力集中(stressconcentration)。4.3梁的內(nèi)力、剪剪力和彎矩圖2.8帶圓孔薄板的的應(yīng)力集中如圖2.8(a)所示的帶圓孔孔的薄板，承承受軸向拉力力的作作用，由試驗(yàn)驗(yàn)結(jié)果可知：：在圓孔附近近的局部區(qū)域域內(nèi)，應(yīng)力急急劇增大；而而在離這一區(qū)區(qū)域稍遠(yuǎn)處，，應(yīng)力迅速減減小而趨于均均勻，如圖2.8(b)所示。4.3梁的內(nèi)力、剪力力和彎矩在I-I截面上，孔邊最最大應(yīng)力與與同一截面面上的平均應(yīng)力力之比，，用表示(2.4)稱為理論應(yīng)力集中系數(shù)(theoreticalstressconcentrationfactor)，它反映了應(yīng)力集中的程度，是一個(gè)大于1的系數(shù)。試驗(yàn)和理論分析結(jié)果表明：構(gòu)件的截面尺寸改變?cè)郊眲。瑯?gòu)件的孔越小，缺口的角越尖，應(yīng)力集中的程度就越嚴(yán)重。因此，構(gòu)件上應(yīng)盡量避免帶尖角、小孔或槽，在階梯形桿的變截面處要用圓弧過(guò)渡，并盡量使圓弧半徑大一些。4.3梁的內(nèi)力、剪力力和彎矩各種材料對(duì)應(yīng)力力集中的反應(yīng)是是不相同的。塑性材料(如低碳鋼)具有屈服階段，，當(dāng)孔邊附近的的最大應(yīng)力到達(dá)達(dá)屈服極限時(shí)，，該處材料首先先屈服，應(yīng)力暫暫時(shí)不再增大，，若外力繼續(xù)增增大，增大的內(nèi)內(nèi)力就由截面上上尚未屈服的材材料所承擔(dān)，使使截面上其他點(diǎn)點(diǎn)的應(yīng)力相繼增增大到屈服極限限，該截面上的的應(yīng)力逐漸趨于于平均，如圖2.9所示。因此，用用塑性材料制作作的構(gòu)件，在靜靜荷載作用下可可以不考慮應(yīng)力力集中的影響。。圖2.9塑性材料的應(yīng)力力集中4.3梁的內(nèi)力、剪力力和彎矩而對(duì)于脆性材料料制成的構(gòu)件，，情況就不同了了。因?yàn)椴牧喜徊淮嬖谇?，?dāng)當(dāng)孔邊最大應(yīng)力力的值達(dá)到材料料的強(qiáng)度極限時(shí)時(shí)，該處首先產(chǎn)產(chǎn)生裂紋。所以以用脆性材料制制作的構(gòu)件，應(yīng)應(yīng)力集中將大大大降低構(gòu)件的承承載力。因此，，即使在靜載荷荷作用下也應(yīng)考考慮應(yīng)力集中對(duì)對(duì)材料承載力的的削弱。不過(guò)有些脆性材材料內(nèi)部本來(lái)就就很不均勻，存存在不少孔隙或或缺陷，例如含含有大量片狀石石墨的灰鑄鐵，，其內(nèi)部的不均均勻性已經(jīng)造成成了嚴(yán)重的應(yīng)力力集中，測(cè)定這這類材料的強(qiáng)度度指標(biāo)時(shí)已經(jīng)包包含了內(nèi)部應(yīng)力力集中的影響，，而由構(gòu)件形狀狀引起的應(yīng)力集集中則處于次要要地位，因此對(duì)對(duì)于此類材料做做成的構(gòu)件，由由其形狀改變引引起的應(yīng)力集中中就可以不再考考慮了。以上是針對(duì)靜載載作用下的情況況，當(dāng)構(gòu)件受到到?jīng)_擊荷載或者者周期性變化的的荷載作用時(shí)，，不論是塑性材材料還是脆性材材料，應(yīng)力集中中對(duì)構(gòu)件的強(qiáng)度度都有嚴(yán)重的影影響，可能造成成極大危害。4.3梁的內(nèi)力、剪力力和彎矩桿件在軸向拉伸伸或壓縮時(shí)，其其軸線方向的尺尺寸和橫向尺寸寸將發(fā)生改變。。桿件沿軸線方方向的變形稱為為縱向變形，桿桿件沿垂直于軸軸線方向的變形形稱為橫向變形形。設(shè)一等直桿的原原長(zhǎng)為，橫截面面面積為，，如圖2.10所示。在軸向拉拉力的的作用用下，桿件的長(zhǎng)長(zhǎng)度由變?yōu)闉?，其縱向向伸長(zhǎng)量為圖2.10軸向伸長(zhǎng)變形示示意圖稱為絕對(duì)伸長(zhǎng)，，它只反映總變變形量，無(wú)法說(shuō)說(shuō)明桿的變形程程度。4.3梁的內(nèi)力、剪力力和彎矩將除以得得桿件縱向向正應(yīng)變?yōu)?2.5)(2.6)

當(dāng)材料應(yīng)力不超過(guò)某一限值(以后將會(huì)講到，這個(gè)應(yīng)力值稱為材料的“比例極限”)時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即這就是胡克定律律(Hookelaw)，是根據(jù)著名的的英國(guó)科學(xué)家RobertHooke命名的。公式(2.6)中的是彈性模量量，也稱為楊氏氏模量(Young’’smodulus)，是根據(jù)另一位位英國(guó)科學(xué)家ThomasYoung命名的，由于是是無(wú)量綱量量，故的量量綱與相同，常常用單位為，，隨隨材料的不同而而不同，對(duì)于各各向同性材料它它均與方向無(wú)關(guān)關(guān)。公式(2.5)、公式(2.6)同樣適用于軸向向壓縮的情況。。4.3梁的內(nèi)力、剪力力和彎矩將公式(2.1)和公式(2.6)代入公式(2.5)，可得胡克定律律的另一種表達(dá)達(dá)式為(2.7)由該式可以看出出，若桿長(zhǎng)及外外力不變，值值越大，則則變形越越小，因此，反反映桿件抵抵抗拉伸(或壓縮)變形的能力，稱稱為桿件的抗拉拉(抗壓)剛度(axialrigidity)。公式(2.7)也適用于軸向壓壓縮的情況，應(yīng)應(yīng)用時(shí)為為壓力，是負(fù)值值，伸長(zhǎng)量算算出來(lái)是負(fù)負(fù)值，也就是桿桿件縮短了。4.3梁的內(nèi)力、剪力力和彎矩設(shè)拉桿變形前的的橫向尺寸分別別為和，，變形后的的尺寸分別為和和(圖2.10)，則由試驗(yàn)可知，二二橫向正應(yīng)變相相等，故(2.8)試驗(yàn)結(jié)果表明，，當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)過(guò)材料的比例極極限時(shí)，橫向正正應(yīng)變與縱向正正應(yīng)變之比的絕絕對(duì)值為一常數(shù)數(shù)，該常數(shù)稱為為泊松比(Poisson’sratio)，用來(lái)表表示，它是一個(gè)個(gè)無(wú)量綱的量，，可表示為(2.9)4.3梁的內(nèi)力、剪力力和彎矩4.4剪力方程和彎矩矩方程剪力圖圖和彎矩圖這兩個(gè)方程分別別稱為梁的剪力方程和彎矩方程。與繪制軸力圖或或扭矩圖一樣，，可用圖線表示示梁的各橫截面面上剪力和彎矩矩沿梁軸線的變變化情況，稱為為剪力圖(shearforcediagram)和彎矩圖(bendingmomentdiagram)。一般說(shuō)來(lái)，梁的的內(nèi)力沿軸線方方向是變化的。。如果用橫坐標(biāo)標(biāo)X(其方向可以向左左也可以向右)表示橫截面沿梁梁軸線的位置，，則剪力和和彎矩M都可以表示為坐坐標(biāo)X的函數(shù)，即作剪力圖時(shí)，取取平行于梁軸線線的直線為橫坐坐標(biāo)x軸，x值表示各橫截面面的位置，以縱縱坐標(biāo)表示相應(yīng)應(yīng)截面上的剪力力的大小及其正正負(fù)。作彎矩圖的方法法與剪力圖大體體相仿，不同的的是，要把彎矩矩圖畫在梁縱向向纖維受拉的一一面，而且可以以不標(biāo)正負(fù)號(hào)。。根據(jù)4.3節(jié)的規(guī)定，彎矩矩以使梁下部縱縱向纖維受拉為為正，也就是說(shuō)說(shuō)，梁的正彎矩矩應(yīng)當(dāng)畫在橫軸軸的下方。這樣樣的做法主要是是為了與后續(xù)課課程和土木工程程專業(yè)的設(shè)計(jì)習(xí)習(xí)慣取得一致。。下面舉例說(shuō)明建建立剪力方程、、彎矩方程以及及繪制剪力圖、、彎矩圖的方法法。4.4剪力方程和彎矩矩方程剪力圖圖和彎矩圖【例4.3】簡(jiǎn)支梁AB受集中力p作用，如圖4.12(a)所示。試列出剪剪力方程和彎矩矩方程，并繪制制剪力圖和彎矩矩圖。解：(1)計(jì)算支座反力。。以整體為研究究對(duì)象，列平衡衡方程求得方向如圖4.12(a)所示。4.4剪力方程和彎矩矩方程剪力圖圖和彎矩圖(2)建立剪力、彎矩矩方程。由于梁梁在C截面上作用集中中力p，在建立剪力方方程和彎矩方程程時(shí)，必須分為為AC、CB兩段來(lái)考慮。在AC段內(nèi)任取一橫截截面，距A點(diǎn)距離用表表示，根據(jù)據(jù)平衡條件，則則AC段上的剪力方程和彎矩方方程分別為在CB段內(nèi)任取一橫截截面，距A端距離為，，根據(jù)平衡衡條件，則任一一截面上的剪力力方程和彎矩方方程分別為(b)(a)4.4剪力方程和彎矩矩方程剪力圖圖和彎矩圖圖4.12例4.3圖(a)(b)(c)4.4剪力方程和彎矩矩方程剪力圖圖和彎矩圖實(shí)際上，在列CB段的內(nèi)力方程時(shí)時(shí)，選用右側(cè)梁梁段為研究對(duì)象象將會(huì)更簡(jiǎn)單。。4.4剪力方程和彎矩矩方程剪力圖圖和彎矩圖(d)(c)(3)繪制剪力、彎矩矩圖。由(a)、(c)兩式可知，AC、CB兩段上剪力分別別為常數(shù)，故剪剪力圖為兩條平平行于X軸的直線，如圖圖4.12(b)所示，由(b)、(d)兩式可知，彎矩矩方程均為一次次函數(shù)，故彎矩矩圖為兩條斜直直線，如圖4.12(c)所示。在這里，彎矩使使梁的下部纖維維受拉，所以彎彎矩圖畫在梁的的下方。由內(nèi)力圖可知，最大大彎矩在集中力力作用點(diǎn)處，其其值為。。在該該截面處，剪力圖上上有突變，其突突變量等于集中中力的大小。4.4剪力方程和彎矩矩方程剪力圖圖和彎矩圖【例4.4】圖4.13所示簡(jiǎn)支梁跨度度為，試建建立自重q作用下梁的剪力力方程和彎矩方方程，并繪制剪剪力圖和彎矩圖圖。解：(1)計(jì)算支座反力。。根據(jù)對(duì)稱性易易知A、B兩端的支座反力力相等，即方向如圖4.13(a)所示。(2)建立剪力、彎矩矩方程。以左端端A為的X坐標(biāo)原點(diǎn)，任取取一橫截面，以以其左端為研究究對(duì)象，該橫截截面的位置可以以X用來(lái)表示，設(shè)該該截面上的剪力力為、、彎彎矩為，均設(shè)為為正方向，如圖圖4.13(b)所示。列平衡方方程4.4剪力方程和彎矩矩方程剪力圖圖和彎矩圖(a)將式(a)代入上面兩式，，解得4.4剪力方程和彎矩矩方程剪力圖圖和彎矩圖(c)(b)(b)、(c)兩式分別為剪力力方程和彎矩方方程。(3)繪制剪力圖、彎彎矩圖。由式(b)可知，剪力圖為為一直線。只需需算出任意兩個(gè)個(gè)橫截面的剪力力值，如A、B兩截面的剪力，，即可作出剪力力圖，如圖4.13(c)所示；由式(c)可知，彎矩圖為為一拋物線，需需要算出多個(gè)截截面的彎矩值，，才能作出曲線線。例如計(jì)算下下列五個(gè)截面的的彎矩值：4.4剪力方程和彎矩矩方程剪力圖圖和彎矩圖X0M00由此作出的彎矩矩圖，如圖4.13(d)所示。由剪力圖和彎矩矩圖可知，在A、B支座處的橫截面面上剪力的絕對(duì)對(duì)值最大，其值值為在梁的跨中截面面上，剪力，，彎矩達(dá)到最大大，其值為4.4剪力方程和彎矩矩方程剪力圖圖和彎矩圖在本例中，以某某一梁段為研究究對(duì)象，由平衡衡條件推出剪力力方程和彎矩方方程，這是建立立剪力方程和彎彎矩方程的基本本方法。另外，，由于剪力圖、、彎矩圖中坐標(biāo)比較明確，，所以在以后各各圖中坐標(biāo)系可可以省去。【例4.5】簡(jiǎn)支梁AB承受集中力偶作作用，，如圖4.14(a)所示。試作梁的的剪力圖、彎矩矩圖。圖4.14例4.5圖4.4剪力方程和彎矩矩方程剪力圖圖和彎矩圖(a)(b)(c)反力的方方向如圖所示，，為負(fù)值值，表示其方向向與圖4.14(a)中假設(shè)的方向相相反。兩個(gè)支反反力形成的力偶偶矩剛好與集中中力偶平平衡。解：(1)計(jì)算支反力。由由平衡方程分別別求得支反力為為(2)建立剪力、彎矩矩方程。由于梁上作用有有集中力偶，剪剪力、彎矩方程程同樣應(yīng)分段列列出。利用截面面法分別在AC與CB段內(nèi)截取橫截面面，根據(jù)截面左左側(cè)(或右側(cè))梁段上的外力，，列出剪力方程程和彎矩方程為為4.4剪力方程和彎矩矩方程剪力圖圖和彎矩圖AC段(b)(a)(c)(d)CB段4.4剪力方程和彎矩矩方程剪力圖圖和彎矩圖(3)繪制剪力、彎矩矩圖。由(a)、(c)兩式可知，兩段段梁上的剪力相相等，因此，AB梁的剪力圖為一一條平行于x軸的直線(圖4.14(b))；由(d)、(b)兩式可知，左右右兩段梁上的彎彎矩圖各為一條條斜直線(圖4.14(c))，而且在AB和BC段，彎矩分別使使梁的上部和下下部纖維受拉，，所以彎矩圖分分別畫在橫軸的的上方和下方。。由圖可見(jiàn)，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，絕對(duì)值值最大的彎矩發(fā)發(fā)生在集中力偶偶作用處的右側(cè)側(cè)截面上，其值值為而且，在集中力力偶作用處，彎彎矩圖有突變，，其突變量等于于集中力偶的大大小。4.4剪力方方程和和彎矩矩方程程剪剪力圖圖和彎彎矩圖圖【例4.6】作圖4.15(a)所示簡(jiǎn)簡(jiǎn)支梁梁的剪剪力圖圖與彎彎矩圖圖。圖4.15例4.6圖4.4剪力方方程和和彎矩矩方程程剪剪力圖圖和彎彎矩圖圖(2)建立剪剪力、、彎矩矩方程程。根根據(jù)荷荷載情情況，，分AC、CD、DB三段分分別列列出剪剪力方方程和和彎矩矩方程程。設(shè)設(shè)坐標(biāo)標(biāo)軸以以支座座A為原點(diǎn)點(diǎn)，三三段內(nèi)內(nèi)的剪剪力方方程、、彎矩矩方程程分別別為AC段解：(1)計(jì)算支支座反反力。。根據(jù)據(jù)荷載載及支支座反反力的的對(duì)稱稱性得得到4.4剪力方方程和和彎矩矩方程程剪剪力圖圖和彎彎矩圖圖CD段DB段4.4剪力方方程和和彎矩矩方程程剪剪力圖圖和彎彎矩圖圖(3)繪制剪剪力、、彎矩矩圖。。根據(jù)方方程可可知，，AC、DB段剪力力圖為為水平平直線線，彎彎矩圖圖為斜斜直線線；CD段剪力力圖為為斜直直線，，彎矩矩圖為為二次次拋物物線。。作出出剪力力圖和和彎矩矩圖如如圖4.15(b)、圖4.15(c)所示。。由圖圖可見(jiàn)見(jiàn)，最最大剪剪力發(fā)發(fā)生在在AC、DB兩段內(nèi)內(nèi)，最最大彎彎矩發(fā)發(fā)生在在跨中中橫截截面上上。由以上例題可見(jiàn)，，在集中力(包括集中荷載和支支座反力)作用的截面上，剪剪力似乎沒(méi)有確定定的值，剪力圖有有突變，其突變的的絕對(duì)值等于集中中力的數(shù)值，且突突變的方向從左往往右看與集中力的的方向相同(例題4.3)；在集中力偶作用用處，彎矩圖有突突變，其突變的絕絕對(duì)值等于集中力力偶的數(shù)值(例題4.5)。4.4剪力方程和彎矩方方程剪力圖和彎彎矩圖為了分析內(nèi)力圖上上突變的原因，假假設(shè)在集中力作用用點(diǎn)兩側(cè)，截取梁段(圖4.16(a))，由平衡條件不難難看出，在集中力力作用點(diǎn)兩側(cè)的剪剪力和的的差值必然為為集中力的大小。。實(shí)際上，剪力圖圖的這種突然變化化，是由于作用在在小范圍內(nèi)的分布布外力被簡(jiǎn)化為集集中力的結(jié)結(jié)果。如果將集中中力視為在梁梁段上均均勻分布的分布力力的合力(圖4.16(b))，則該處的剪力圖圖如圖4.16(c)所示。又如在例題題4.6中，如果把均布荷荷載變成集中力作作用在跨中梁梁段上的分布布力，合力大小仍仍然不變，剪力圖圖(圖4.15(b))中的斜線就會(huì)變陡陡。當(dāng)→→0時(shí)，剪力圖上的斜斜線趨于垂直，剪剪力圖表現(xiàn)為突變變。對(duì)集中力偶作作用的截面可做同同樣的解釋。4.4剪力方程和彎矩方方程剪力圖和彎彎矩圖圖4.16剪力圖突變示意圖圖微段上受力示意圖圖；(b)集中力視為分布力力的示意圖；(c)集中力視為分布力力后的剪力圖4.4剪力方程和彎矩方方程剪力圖和彎彎矩圖在工程中，常常遇遇到幾根桿件組成成的框架結(jié)構(gòu)，例例如房屋建筑中梁梁和柱構(gòu)成的結(jié)構(gòu)構(gòu)，在結(jié)點(diǎn)處，梁梁和柱的截面不能能發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，，或者說(shuō)，在結(jié)點(diǎn)點(diǎn)處兩桿件間的夾夾角保持不變，這這樣的結(jié)點(diǎn)稱為剛剛結(jié)點(diǎn)(stiffjoint)，具有剛結(jié)點(diǎn)的結(jié)結(jié)構(gòu)稱為剛架(rigidframe)。如果剛架的支座反反力和內(nèi)力均能由由靜力平衡條件確確定，這樣的剛架架稱為靜定剛架。。作剛架內(nèi)力圖的的方法基本上與梁梁相同。通常平面面剛架的內(nèi)力除剪剪力、彎矩之外還還有軸力，作圖時(shí)時(shí)要分桿進(jìn)行。下面舉例說(shuō)明靜定定剛架彎矩圖的作作法，至于軸力圖圖和剪力圖，需要要時(shí)可按類似的方方法繪制。4.4剪力方程和彎矩方方程剪力圖和彎彎矩圖【例4.7】平面剛架ABC，承受圖4.17(a)所示載荷作用，已已知均布荷載集度度為q，集中力，，試作剛剛架的彎矩圖。圖4.17例4.7圖4.4剪力方程和彎矩方方程剪力圖和彎彎矩圖解：(1)計(jì)算支反力。利用用整體剛架的平衡衡條件確定支座反反力，設(shè)固定鉸支支座A的反力為，可動(dòng)鉸鉸支座C的反力為，方向如如圖所示，列平衡衡方程有計(jì)算出的結(jié)果均為為正值，說(shuō)明支座座反力實(shí)際方向均均與所設(shè)方向相同同。4.4剪力方程和彎矩方方程剪力圖和彎彎矩圖(2)建立彎矩方程并作作彎矩圖。在BC桿上，以C為原點(diǎn)，取坐標(biāo)x1。由于集中力P的作用，BC桿上的彎矩方程應(yīng)應(yīng)分段列出：CD段DB段在AB桿上，以A為原點(diǎn)，取坐標(biāo)X2，則該桿的彎矩方方程為根據(jù)各段的彎矩方方程作出剛架彎矩矩圖，如圖4.17(b)所示。在繪制彎矩矩圖時(shí)一般把彎矩矩圖畫在桿件受壓壓的一側(cè)，而不注注明正負(fù)號(hào)。4.4剪力方程和彎矩方方程剪力圖和彎彎矩圖一.彎矩、剪力和分布布荷載集度間的關(guān)關(guān)系在例題4.3中，若將彎矩方程程M（x）\的表達(dá)式對(duì)求導(dǎo)，，則得到剪力方程程Q(x)，將剪力方程Q(x)的表達(dá)式對(duì)x求導(dǎo)，則得到均布布載荷集度q。事實(shí)上，在直梁梁中載荷集度和剪剪力、彎矩之間的的關(guān)系是普遍存在在的。掌握這些關(guān)關(guān)系，對(duì)于繪制剪剪力圖和彎矩圖很很有幫助，還可以以檢查所繪制的剪剪力圖和彎矩圖是是否正確。下面就就來(lái)研究載荷集度度q和剪力Q、彎矩M之間的關(guān)系。設(shè)有任意載荷作用用下的直梁，如圖圖4.18(a)所示，以梁的左端端為原點(diǎn)，選取x坐標(biāo)軸，梁上的分分布載荷q(x)是x的連續(xù)函數(shù)，并規(guī)規(guī)定向上為正。從從x截面處截取長(zhǎng)度為為dx微段，表示于圖4.18(b)中。4.4剪力方程和彎矩方方程剪力圖和彎彎矩圖dx微段上承受分布載載荷q(x)作用，設(shè)x橫截面上的彎矩和和剪力分別為M(x)和，，坐標(biāo)為為x+dx的橫截面上的彎矩矩和剪力則分別為為M(x)+Md(x)和+，方向如圖4.18(b)所示。圖4.18梁微段的內(nèi)力示意意圖4.4剪力方程和彎矩方方程剪力圖和彎彎矩圖對(duì)微段列平衡方程程有略去高階微量后后(4.3)(4.2)4.4剪力方程和彎矩方方程剪力圖和彎彎矩圖若將公式(4.3)中的的對(duì)求導(dǎo)一次次，并帶入式(4.2)，則式(4.2)、式(4.3)和式(4.4)即為載荷集度、剪剪力和彎矩之間的的微分關(guān)系，式(4.2)表示剪力圖上某點(diǎn)點(diǎn)處的切線斜率等等于相應(yīng)點(diǎn)處荷載載集度的大??；公公式(4.3)表示彎矩圖上某點(diǎn)點(diǎn)處的切線斜率等等于相應(yīng)點(diǎn)處剪力力的大小。(4.3)4.5內(nèi)力與分布荷載間間的關(guān)系及其應(yīng)用用二.常見(jiàn)荷載載下梁的的剪力圖圖與彎矩矩圖的特特征根據(jù)q、、、M的微分關(guān)關(guān)系，可可以得出出載荷集集度、剪剪力圖和和彎矩圖圖三者間間的某些些規(guī)律，，現(xiàn)結(jié)合合圖4.19所示的實(shí)實(shí)例(圖中未注注明具體體數(shù)值)，在圖4.19(a)中所規(guī)定定的坐標(biāo)標(biāo)系中，，歸納如如下。4.5內(nèi)力與分分布荷載載間的關(guān)關(guān)系及其其應(yīng)用圖4.19載荷集度度、剪力力圖和彎彎矩圖三三者間的的規(guī)律(a)載荷分布布圖；(d)剪力圖；；(c)彎矩圖4.5內(nèi)力與分分布荷載載間的關(guān)關(guān)系及其其應(yīng)用當(dāng)梁上無(wú)無(wú)荷載作作用，即即時(shí)時(shí)，剪力力為為常數(shù)數(shù)，剪力力圖為平行于軸軸線的直直線。此此時(shí)彎矩矩圖由常常數(shù)可可知為一一直線。如果果則則為水水平直線線，如圖圖4.19(c)中的BC段；如果果則則為傾斜斜直線，，其方向向取決于于剪力的的正負(fù)號(hào)號(hào)，當(dāng)時(shí)時(shí)，彎矩矩圖為上上升的斜斜直線，，如圖4.19(c)中的AB段，當(dāng)時(shí)時(shí)，彎矩矩圖為下下降的斜斜直線，，如圖4.19(c)中的CD和DE兩段。在在CD和DE這兩段中中，剪力力相相等，，所以彎彎矩圖中中的兩條條斜直線線平行。。(2)當(dāng)梁上的的載荷q為常數(shù)時(shí)時(shí)，由式式(4.2)的可知剪剪力圖上上各點(diǎn)的的斜率為為同一個(gè)個(gè)常數(shù)，，剪力圖圖為一斜斜直線。。4.5內(nèi)力與分分布荷載載間的關(guān)關(guān)系及其其應(yīng)用從式(4.4)可知彎矩矩方程為為的的二次函函數(shù)，彎彎矩圖為為二次拋拋物線，，如圖4.19(c)中的EG、GH兩段。如果某段段梁上的的均布載載荷q向上，即即q>0，則，，彎彎矩圖為一條條下凸拋拋物線，，如圖4.19(c)中的GH梁段；反反之，如如果梁上上作用向下的的均布載載荷，即即q<0，則，，彎彎矩圖為為一條上上凸的曲曲線，如圖圖4.19(c)中的EG梁段。在在剪力為為零的截截面上，，當(dāng)=0，即彎矩圖圖的斜率率為零，，此處的的彎矩為為極值，，如圖4.19(c)中的F截面的彎彎矩為極極大值，，H截面的彎彎矩為極極小值。。但應(yīng)注注意，極極值彎矩矩對(duì)全梁梁來(lái)說(shuō)并并不一定定是最大大值的彎彎矩，最最大彎矩矩還有可可能發(fā)生生在集中中力作用用處或者者集中力力偶作用用處。4.5內(nèi)力與分分布荷載載間的關(guān)關(guān)系及其其應(yīng)用(3)在集中力力作用處處，剪力力圖有突突變，突突變的數(shù)數(shù)值等于于該處集集中力的的大小，，此時(shí)彎彎矩圖的的斜率也也發(fā)生突突變，因因而彎矩矩圖上出出現(xiàn)一個(gè)個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)點(diǎn)，如圖圖4.19(c)中的B、C、E截面。(4)在集中力力偶作用用處，剪剪力圖無(wú)無(wú)變化，，彎矩圖圖有突變變，突變變的數(shù)值值等于該該處集中中力偶的的大小，，在集中中力偶作作用處的的兩側(cè)，，由于剪剪力相等等，所以以彎矩圖圖在該點(diǎn)點(diǎn)的斜率率總是相相等的，，如圖4.19(c)中的D截面。現(xiàn)將這些些有關(guān)載載荷集度度、剪力力圖和彎彎矩圖之之間關(guān)系系的整理理為表4-1，以供參參考。下面舉例例說(shuō)明上上述關(guān)系系的應(yīng)用用。4.5內(nèi)力與分分布荷載載間的關(guān)關(guān)系及其其應(yīng)用【例4.8】】圖4.20(a)所示的外外伸梁，，承受均均布載荷荷、、集中力力偶和和集中中力作作用用，試用用微分關(guān)關(guān)系作剪剪力圖和和彎矩圖圖。圖4.20例4.8圖4.5內(nèi)力與分分布荷載載間的關(guān)關(guān)系及其其應(yīng)用解：(1)計(jì)算支反反力。利利用靜力力平衡條條件，求求得梁的的支反力力為在AD段上荷載載q=0，剪力圖圖為水平平直線。。由于集集中力偶偶兩側(cè)的的剪力相相等，故故(2)繪制剪力力圖。應(yīng)應(yīng)用微分分關(guān)系繪繪制剪力力圖時(shí)，，從梁的的左端開(kāi)開(kāi)始，易易知，在在CA段上，荷荷載，所所以剪力力圖為水水平直線線，故。。在支座座A上，有向向上的支支反力，，使剪剪力圖產(chǎn)產(chǎn)生突變變，其值值為5KN，故A截面右側(cè)側(cè)剪力為為4.5內(nèi)力與分分布荷載載間的關(guān)關(guān)系及其其應(yīng)用(3)確定承載載能力。。若已知知拉壓桿桿的截面面尺寸和和材料的的許用應(yīng)應(yīng)力，則則強(qiáng)度度條件變變成≤(2.18)以確定構(gòu)構(gòu)件所能能承受的的最大軸軸力，再再確定構(gòu)構(gòu)件能承承擔(dān)的許許可荷載載。最后還應(yīng)應(yīng)指出，，如果最最大工作作應(yīng)力略略微大大于許用用應(yīng)力，，即一般般不超過(guò)過(guò)許用應(yīng)應(yīng)力的5%，在工程上仍仍然被認(rèn)為是是允許的。4.5內(nèi)力與分布荷荷載間的關(guān)系系及其應(yīng)用【例2.5】用繩索起吊鋼鋼筋混凝土管管，如圖2.24(a)所示，管子的的重量，，繩索的的直徑，，容容許應(yīng)力，，試試校核繩索的的強(qiáng)度。圖2.24例2.5圖4.5內(nèi)力與分布荷荷載間的關(guān)系系及其應(yīng)用4.6用區(qū)段疊加法法作梁的彎矩矩圖當(dāng)梁在荷載作作用下產(chǎn)生的的內(nèi)力與其所所受外力是呈呈線性關(guān)系的的，在小變形形時(shí)，其跨長(zhǎng)長(zhǎng)的改變可以以忽略