桿系結(jié)構(gòu)的有限元原理

第4章桿系結(jié)構(gòu)的有限元分析原理

桿梁?jiǎn)卧攀鲇懻摋U梁?jiǎn)卧陀伤鼈兘M成的平面和空間桿梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng).從構(gòu)造上來(lái)說(shuō)其長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其截面尺寸的一維構(gòu)件承受軸力或扭矩的桿件成為桿桿梁?jiǎn)栴}都有精確解承受橫向力和彎矩的桿件稱為梁平面桁架平面剛架連續(xù)梁空間剛架空間桁架等承受軸力或扭矩的桿件稱為桿將承受橫向力和彎矩的桿件稱為梁變截面桿和彎曲桿件本章主要內(nèi)容4.1有限元分析的完整過(guò)程4.2有限元分析的基本步驟及表達(dá)式4.3桿單元及其坐標(biāo)變換4.4梁?jiǎn)卧捌渥鴺?biāo)變換4.1有限元分析的完整過(guò)程E1=E2=2E7PaA1=A2=2cm2l1=l2=10cmP3為10N作用下二桿結(jié)構(gòu)的變形。問(wèn)題的解題思路：1）用標(biāo)準(zhǔn)化的分段小單元來(lái)逼近原結(jié)構(gòu)2）尋找能夠滿足位移邊界條件的許可位移場(chǎng)3）基于位移場(chǎng)的最小勢(shì)能原理來(lái)求解基本變量為：節(jié)點(diǎn)位移內(nèi)部各點(diǎn)位移應(yīng)變應(yīng)力(1)(3)(2)完整的求解過(guò)程1）離散化該構(gòu)件由兩根桿件做成，因此可以自然離散成2個(gè)桿單元。假定以這類單元位移的特征為兩個(gè)端點(diǎn)位移，就這兩個(gè)離散單元給出節(jié)點(diǎn)編號(hào)和單元編號(hào)。單元1：i=1，j=2單元2：i=2，j=32）單元分析單元位移模式：u(x)=a0+a1x單元節(jié)點(diǎn)條件：u(0)=u1，u(l)=u2

從而得回代得寫(xiě)成矩陣形式為其中Ni，Nj是形函數(shù)。形函數(shù)矩陣根據(jù)幾何方程可得應(yīng)變的表達(dá)寫(xiě)成矩陣形式為簡(jiǎn)記為幾何函數(shù)矩陣或者是應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣根據(jù)物理方程可得應(yīng)力的表達(dá)寫(xiě)成矩陣形式為簡(jiǎn)記為應(yīng)力矩陣或者是應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣節(jié)點(diǎn)位移列陣勢(shì)能的表達(dá)寫(xiě)成矩陣形式為剛度矩陣節(jié)點(diǎn)力列陣3）離散單元的裝配配在得到各個(gè)單元的的勢(shì)能表達(dá)式后，，需要進(jìn)行離散單單元的裝配，以求求出整個(gè)系統(tǒng)的總總勢(shì)能，對(duì)于該系系統(tǒng)，總勢(shì)能包括括兩個(gè)單元部分4）邊界條件的處理理處理邊界條件是獲獲取可能位移場(chǎng)，，將左端的約束條條件，即u1=0代入上式可以得到簡(jiǎn)化化的勢(shì)能表達(dá)式5）建立剛度方程由于上式是基于許許可位移場(chǎng)的表達(dá)達(dá)的系統(tǒng)勢(shì)能，這這是由全部節(jié)點(diǎn)位位移分段所插值出的的位移場(chǎng)為全場(chǎng)許許位移場(chǎng)，且基本本未知量為節(jié)點(diǎn)位位移，根據(jù)最小勢(shì)能能原理（即針對(duì)未未知位移求一階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)）有6）求解節(jié)點(diǎn)位移將結(jié)構(gòu)參數(shù)和外載載荷代入上式有求解得（單位m）7）計(jì)算單元應(yīng)變8）計(jì)算單元應(yīng)力9）計(jì)算支反力對(duì)于單元?jiǎng)菽艿牡谋磉_(dá)，對(duì)其取取極值有具體地對(duì)于單元元1，有其中R1是節(jié)點(diǎn)1的支反力，P2是單元1的節(jié)點(diǎn)2所受的力，即單單元2對(duì)該節(jié)點(diǎn)的作用力，將將前面求得的節(jié)節(jié)點(diǎn)位移代入上上式可得支反力力大小。以上是一個(gè)簡(jiǎn)單單結(jié)構(gòu)有限元方方法求解得完整整過(guò)程，對(duì)于復(fù)復(fù)雜結(jié)構(gòu)，其求解過(guò)程完全相相同，由于每一一個(gè)步驟都具備備標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范范性的特征，所以可以在計(jì)算算機(jī)上編程而自自動(dòng)實(shí)現(xiàn)。討論1：對(duì)于一個(gè)單元元的勢(shì)能取極值值，所得到的方方程為節(jié)點(diǎn)的位位移和節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系系，也稱為單元元的平衡關(guān)系，，由此可以求出出每一個(gè)單元所受的節(jié)點(diǎn)力。。討論2：由前面的步驟驟，我們也可以以直接將各個(gè)單單元的剛度矩陣陣按照節(jié)點(diǎn)編號(hào)的對(duì)應(yīng)位位置來(lái)進(jìn)行裝配配，即在未處理理邊界條件之前前，先形成整體剛度矩陣。其物理意義是，，表示在未處理理邊界條件前的的基于節(jié)點(diǎn)描述述的總體平衡關(guān)系。在對(duì)該方方程進(jìn)行位移邊邊界條件的處理理后就可以求解解，這樣與先處理邊邊界條條件再再求系系統(tǒng)勢(shì)勢(shì)能的的最小小值所所獲得得的方方程完完全相相同。。4.2有限元元分析析的基基本步步驟及及表達(dá)達(dá)式1、物體體幾何何區(qū)域域的離離散化化2、單元元的研研究（（所有有力學(xué)學(xué)信息息都用用節(jié)點(diǎn)點(diǎn)位移移）來(lái)來(lái)表達(dá)達(dá)3、裝配配集成成4、邊界界條件件的處處理并并求解解節(jié)點(diǎn)點(diǎn)位移移5、支反反力的的求取取以及及其它它力學(xué)學(xué)量（（應(yīng)力力、應(yīng)應(yīng)變及及位移移三大大物理理量））的計(jì)計(jì)算4.2有限元元分析析的基基本步步驟及及表達(dá)達(dá)式4.3桿單元元及其其坐標(biāo)標(biāo)變換換4.3.1局部坐坐標(biāo)系系中的的單元元描述述5.25m3.75m24mF6m3mF24mE=3E7paρ=0.2836kg/m3F=100N變截面面桿單單元的的推導(dǎo)導(dǎo)單元的的位移移模式式形狀函函數(shù)矩矩陣單元的的幾何何矩陣陣變截面面桿單單元的的推導(dǎo)導(dǎo)單元?jiǎng)倓偠染鼐仃嚍闉?.3桿單元元及其其坐標(biāo)標(biāo)變換換4.3.1局部坐坐標(biāo)系系中的的單元元描述述E=2E10paF=60kNA=250mm2150mm150mmF1.2mm4.3桿單元元及其其坐標(biāo)標(biāo)變換換-局部坐坐標(biāo)由于桿桿單元元只有有兩個(gè)個(gè)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)位移移，故故可以以設(shè)桿桿單元元的位位移模模式為為之包包含兩兩個(gè)待待定常常數(shù)的的形式式u(x)=a1+a2x根據(jù)有有限元元法的的基本本思路路，將將彈性性體離離散成成有限限個(gè)單單元體體的組組合，，以結(jié)結(jié)點(diǎn)的的位移移作為為未知知量。。彈性性體內(nèi)內(nèi)實(shí)際際的位位移分分布可可以用用單元元內(nèi)的的位移移分布布函數(shù)數(shù)來(lái)分分塊近近似地地表示示。在在單元元內(nèi)的的位移移變化化可以以假定定一個(gè)個(gè)函數(shù)數(shù)來(lái)表表示，，這個(gè)個(gè)函數(shù)數(shù)稱為為單元位位移函函數(shù)、或單元位位移模模式?；卮玫脤?xiě)寫(xiě)成成矩陣陣形式式為其中Ni，Nj是形函函數(shù)。。根據(jù)位位移條條件有有u(0)=u0，u(l)=ul，從而而得根據(jù)幾幾何方方程得得根據(jù)物物理方方程得得從而，，根據(jù)據(jù)單元元分析析結(jié)果果，進(jìn)進(jìn)行整整體分分析，，求解解整體體方程程組，，進(jìn)行行結(jié)果果分析析4.3.2桿單元元的坐坐標(biāo)變變換規(guī)定：：桿端位位移和和桿端端力取取在截截面形形心上上，符符號(hào)以以與單單元系系坐標(biāo)標(biāo)正向向相同同為正正，相相反為為負(fù)。。下面面討論論整體體坐標(biāo)標(biāo)系下下與局局部坐坐標(biāo)系系下的的轉(zhuǎn)換換關(guān)系系式。。整體體坐標(biāo)標(biāo)系單單元桿桿端位位移和和桿端端力仍仍定義義在截截面形形心上上，符符號(hào)以以與坐坐標(biāo)正正向同同向?yàn)闉檎捶粗疄闉樨?fù)。。局部坐標(biāo)系系整整體體坐標(biāo)系4.3.2桿單元的坐坐標(biāo)變換-平面問(wèn)題其中是一個(gè)個(gè)單位正交交矩陣，單單位正交矩矩陣的逆即即等于其轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置。從上圖可以以得出，整整體坐標(biāo)系系逆針旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)α角后與單元元系相重合合。寫(xiě)成矩陣形形式為由于單元的的勢(shì)能是一一個(gè)標(biāo)量(能量)，不會(huì)因坐坐標(biāo)系的不不同而改變變，因此，，可將節(jié)點(diǎn)點(diǎn)位移的坐坐標(biāo)變換關(guān)關(guān)系代入原原來(lái)基于局局部坐標(biāo)系系的勢(shì)能表表達(dá)式中，，整體坐標(biāo)系系下的剛度度方程根據(jù)得其中單剛的性質(zhì)：是對(duì)稱矩矩陣。是奇異矩矩陣。坐標(biāo)變換換并不改改變矩陣陣的奇異異性質(zhì)。。1結(jié)構(gòu)的離離散化與與編號(hào)2各個(gè)單元元的矩陣陣描述結(jié)構(gòu)包括括有斜桿桿，所以以必須在在總體坐坐標(biāo)下對(duì)對(duì)節(jié)點(diǎn)位位移進(jìn)行行表達(dá)，，所推導(dǎo)導(dǎo)的單元元?jiǎng)偠染鼐仃囈惨M(jìn)行變變換3建立整體體剛度方方程1.將所得到到的各個(gè)個(gè)單元?jiǎng)倓偠染仃囮嚢垂?jié)點(diǎn)點(diǎn)編號(hào)進(jìn)進(jìn)行組裝裝，可以以形成整整體剛度度矩陣;2.同時(shí)將所有節(jié)節(jié)點(diǎn)載荷也進(jìn)進(jìn)行組裝。4邊界條件的處處理及剛度方方程求解5各單元應(yīng)力的的計(jì)算6支反力的計(jì)算算將節(jié)點(diǎn)位移的的結(jié)果代入整整體剛度方程程中基于MATLAB平臺(tái)求解該該（1）結(jié)構(gòu)的的離散化與與編號(hào)（2）計(jì)算各單單元的剛度度矩陣1.建立一個(gè)工工作目錄，，將所編制制的用于平平面桁架單單元分析的的四個(gè)MATLAB函數(shù)（1.單元?jiǎng)偠?；?.總剛矩陣的的組裝；3.單元應(yīng)力的的求解；4.支反力的求求解）2.在MATLAB環(huán)境中，輸輸入彈性模模量E、橫截面積積A，各點(diǎn)坐標(biāo)、角度度3.調(diào)用四次單元?jiǎng)偠榷染仃囉?jì)算函數(shù)，，得到各個(gè)單元的的剛度矩陣單元的剛度矩陣的的計(jì)算functionk=Bar2D2Node_Stiffness(E,A,x1,y1,x2,y2,alpha)%該函數(shù)計(jì)算單元的的剛度矩陣%輸入彈性模量E，橫截面積A%輸入第一個(gè)節(jié)點(diǎn)坐坐標(biāo)（x1,y1），第二個(gè)節(jié)點(diǎn)坐坐標(biāo)（x2,y2），角度alpha（單位是度）%輸出單元?jiǎng)偠染仃囮噆(4X4)。%-------------------------------------------------L=sqrt((x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1));x=alpha*pi/180;C=cos(x);S=sin(x);k=E*A/L*[C*CC*S-C*C-C*S;C*SS*S-C*S-S*S;-C*C-C*SC*CC*S;-C*S-S*SC*SS*S];總剛矩陣的組裝functionz=Bar2D2Node_Assembly(KK,k,i,j)%該函數(shù)進(jìn)行單元?jiǎng)倓偠染仃嚨慕M裝%輸入單元?jiǎng)偠染仃囮噆，單元的節(jié)點(diǎn)編號(hào)號(hào)i、j%輸出整體體剛度矩矩陣KK%--------------------------------------------------------DOF(1)=2*i-1;DOF(2)=2*i;DOF(3)=2*j-1;DOF(4)=2*j;forn1=1:4forn2=1:4KK(DOF(n1),DOF(n2))=KK(DOF(n1),DOF(n2))+k(n1,n2);endendz=KK;（3）建立立整體剛剛度方程程（4）邊界界條件的的處理及及剛度方方程求解解（高斯斯消去法法）（5）支反力力的計(jì)算算（6）各單元元的應(yīng)力力計(jì)算基于MATLAB平臺(tái)求解解該基于ANSYS求解該1.前處理2.求解器的的設(shè)定3.后處理對(duì)于單單元2：取i=1，j=2，則，故對(duì)于單單元1：取i=3，j=1，則c=1，s=0，故對(duì)于單單元3：取i=2，j=3，則c=0，s=1，故整體編編號(hào)，，對(duì)號(hào)號(hào)入座座得總總剛桿單元元的坐坐標(biāo)變變換-空間整體和和局部部的坐坐標(biāo)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換關(guān)關(guān)系與與平面面問(wèn)題題一致致。4.4梁?jiǎn)卧捌淦渥鴺?biāo)標(biāo)變換換由于單單元有有四個(gè)個(gè)位移移分量量，可可設(shè)梁梁?jiǎn)卧奈晃灰颇ＤＪ絭(x)為包含含4個(gè)待定定常數(shù)數(shù)的三三次多多項(xiàng)式式：根據(jù)邊邊界條條件可可以確確定待待定系系數(shù)，，將其其進(jìn)一一步回回代，，可以以得到到用節(jié)節(jié)點(diǎn)位位移表表示的的梁?jiǎn)螁卧晃灰啤?。式中根?jù)梁梁的平平面假假定可可知梁梁?jiǎn)卧妮S軸向應(yīng)應(yīng)變?yōu)闉椋哼@里利利用平平面假假設(shè)（（變形后后橫截截面仍仍保持持平面面，與與縱線線正交交）如圖：：從而可可以由由單向向虎克克定律律得出出單元元的軸軸向應(yīng)應(yīng)力：：由虛功功原理理可以以推得得組裝總剛?cè)匀杂煤筇幚砝矸?，“?duì)對(duì)號(hào)入座，，子塊搬家家”的方法法。如：對(duì)于單元1，我們?nèi)=1，j=2。故對(duì)于單元2，取i=2，j=3。故由于I1=2I2=2I，按照“整整體編號(hào)，，對(duì)號(hào)入座””的原則，，得總剛為為對(duì)于此，列列出總剛度度方程為考慮到邊界界條件，修修正后的剛剛度方程為為解之得4.5平面剛架的的有限元法法小變形情況況下，可以以把平面剛剛架單元看看成是發(fā)生生軸向位移的桿單元元和發(fā)生撓撓度