初等因子的定義

初等因子的定義第八章λ－矩陣§5初等因子第一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子一次因式的方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）把矩陣的每個(gè)次數(shù)大于零的不變因子稱(chēng)為A的初等因子.

分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，所有這些一、初等因子的定義第二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子9個(gè)

則A的初等因子有7個(gè)，它們是例1、若12級(jí)復(fù)矩陣A的不變因子是:第三頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子①

設(shè)n級(jí)矩陣A的不變因子為已知：將分解成互不相同的一次因式二、初等因子與不變因子的關(guān)系的方冪的乘積:分析:第四頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子則其中對(duì)應(yīng)于的那些方冪

:就是A的全部初等因子.

②

注意到不變因子滿(mǎn)足從而有因此有,第五頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子即同一個(gè)一次因式的方冪作成的初等因子中，方次最高的必出現(xiàn)在的分解式中，次高的必出現(xiàn)在的分解式中.

如此順推下去，可知屬于同一個(gè)一次因式的方冪的初等因子，在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的.第六頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子③

設(shè)級(jí)矩陣的全部初等因子為已知.在全部初等因子中，將同一個(gè)一次因式

的方冪的那些初等因子按降冪排列，而且當(dāng)這種初等因子的個(gè)數(shù)不足n個(gè)時(shí)，則在后面補(bǔ)上適當(dāng)個(gè)數(shù)的1，使其湊成n個(gè)，設(shè)所得排列為第七頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子于是令則就是A的不變因子.

第八頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子例1、已知3級(jí)矩陣A的初等因子為：

求A的不變因子.

解：作排列得A的不變因子為：第九頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子結(jié)論1、若兩個(gè)同級(jí)數(shù)字矩陣有相同的不變因子，則它們就有相同的初等因子；反之，若它們有相同的初等因子，則它們就有結(jié)論2、兩個(gè)同級(jí)數(shù)字矩陣相似可見(jiàn)：初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量.相同的不變因子.它們有相同的初等因子.第十頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子1、(引理1)若多項(xiàng)式都與互素，則三、初等因子的求法證：令顯然，第十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子由于故

因而

另一方面，由于可令其中又由又得第十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子同理可得即

故第十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子如果多項(xiàng)式都與互素，2、(引理2)設(shè)則與等價(jià).第十四頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子證：首先，從而二階行列式因子相同.其次，由引理1，有從而的一階行列式因子相同.所以，與等價(jià).第十五頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子3、(定理9)設(shè)將特征矩陣進(jìn)行初等變換化成對(duì)角形然后將主對(duì)角線(xiàn)上的元素分解成互不相同的一次因式的方冪的乘積，則所有這些一次因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）就是A的全部初等因子.

第十六頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子證：設(shè)經(jīng)過(guò)初等變換化成對(duì)角形其中皆為首1多項(xiàng)式，將分解成互不相同的一次因式的方冪的乘積:第十七頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子下證，對(duì)于每個(gè)相同的一次因式的方冪在的主對(duì)角線(xiàn)上按升冪排列后，得到的新對(duì)角矩陣與等價(jià).此時(shí)就是的且所有不為1的就是A的全部初等因子.標(biāo)準(zhǔn)形，第十八頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子為了方便起見(jiàn)，先對(duì)的方冪進(jìn)行討論.于是

且每一個(gè)都與互素.如果相鄰的一對(duì)指數(shù)

則在中將與對(duì)調(diào)位置，而其余因式保持不動(dòng)，令由引理2第十九頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子與

等價(jià).

第二十頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子等價(jià).

然后對(duì)重復(fù)上述討論.從而與對(duì)角矩陣第二十一頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子如此繼續(xù)進(jìn)行，直到對(duì)角矩陣主對(duì)角線(xiàn)上元素所含的方冪是按逆升冪次排列為止.再依次對(duì)作同樣處理.最后便得到與等價(jià)的對(duì)角陣都是按升冪排列的，的主對(duì)角線(xiàn)上所含每個(gè)相同的一次因式的方冪即為的標(biāo)準(zhǔn)形.

第二十二頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日第八章λ－矩陣§5初等因子例2、求矩陣A的初等因子解：對(duì)作初等變換第二十三頁(yè)，共二十五頁(yè)，2022年，8月28日