五法求二面角

五法求二面角一定法從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面這直線叫做二面角的,這兩個半平面叫做二面角的面在上取點分在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律1中從二面角S—AM中平面ABM上的一已知點（B）向棱AM作垂線，得垂足另一半平面ASM內(nèi)過該垂足F）作棱AM垂線（如GF兩垂線（、GF便形成該二面角的一個平面角，再在該平面角內(nèi)建立一個可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例2009國卷Ⅰ理）如圖，四棱錐ABCD中底面矩形，底ABCD，ADSD2

，點M側(cè)棱

上，

ABM

=60°（I）證明M側(cè)棱的中點SAMB的余弦值。（II）求二面角證（I略（II面角的定義等邊三角形

中過點

作

BFAM

交

AM

于點

F

點

F

為AM的點F點平面內(nèi)

GFAM

，GF交AS于G連結(jié)AC∵△ADC≌ADS∴AS-AC且M是SC的點，

G

F∴AM⊥，GF⊥AM，∴GF∥AS，又∵

F

為AM的點，∴GF是△的位線，點G是AS的點。則

即為所求二面角.∵

SM

，則

22

，又∵

AC，AM∵

，

60

0

∴△

∴

BF

在△GAB中

62

，AB，GAB

0

，∴

BG

3112cosBFG

FBGF

6633

G

F

1111練習（2008山）如圖，已知四棱錐-ABCD底面ABCD為形，PA⊥平面ABCD60

E，分別是,的中.（Ⅰ）證明⊥PD;（Ⅱ）若H為PD上的動點EH與平面成最大角的正切值為

62

，求二面角——的弦分第1題易發(fā)現(xiàn)可過⊥AD后推⊥面APD，使命題獲證，而第2題，則首先必須在找到最大角正切值有關的線段計算出各線段的長度之后慮到運用在二面角的棱上到可計算二面角的平面角的頂點S，兩SC進而計算二面角的余弦值案：二面角的余弦值為二三線

155

）三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線果和這個平面的一條斜線的射影垂直么也和這條斜線垂直．通常當點P在一個半平面上則通常用三垂線定理法求二面角大小。本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（例）過二面角B-FC中半平面BFC的一已知點B另一半平面的線，得1足；再過該垂足O作的線，得垂足，結(jié)1起點與終點得斜線段PB成三垂線定理的基本構

A

1

D

1

C

1

B

1圖（斜線、垂線BO、射影OP解直角三角形求二面角的度數(shù)。例．(2009山東卷理如圖，在直柱

E

1

E

D

CABCD-ABD中，底面ABCD為腰梯形，1

ABAB//CDAB=4,BC=CD=2,AAEE、分是棱、AA、AB的點。1（1證明：直線EE//平面；（2求二面角-C的弦值。證（）略解（）因為BC=CD=2,、是AB的所以BF=BC=CF,△為正三角形,CF的中點則⊥

D

1

C

1又因為直四棱柱D中CC⊥平面所11

A

1

F1

B

1以CC⊥所⊥平面CC過在面F內(nèi)1OPC垂足為P,連接BP,∠二面角的一

E

1

E

D

O

C個平面角,在為正三角形

OB

在eq\o\ac(△,Rt)CCF1

A

B

22中△∽△CC∵

OPOFCCF1

12∴22

,在eq\o\ac(△,Rt)OPF中

OP

2

OB

2

11422

7

所以7二面角-C的弦值為7練習（2008天）如圖，在四棱錐

PABCD

中，底面

ABCD

是矩形．已知

ADPAPAB

．（Ⅰ）證明AD平；（Ⅱ）求異面直線與AD所成的角的?。唬á螅┣蠖娼?/p>

BDA

的大小的正切值．分本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題證明⊥平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PAB⊥面ABCD，點P就二面角P-BD-A的平面上的一個點，于是可過點作棱的垂再作平面ABCD的垂線是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容而可得本解法案二面角

BDA的大小

394

）三補法本法是針對在解構成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目時將兩平面的圖形補充完整之有明確的交（稱為補棱借前的定義法與三垂線法解題。即當二平面沒有明確的交線時，一般用補棱法解決例（2008湖）如圖所示，四棱錐的面ABCD

是邊長為的菱形，BCD°是的中點⊥底面ABCDPA＝2.（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面;（Ⅱ）求平面和平面所二面角（銳角）的正

A

DB

E

C弦值分析：本題的平面PAD和平面PBE沒有明確的交線，依本法顯然要補充完整（延長ADBE相于點F連結(jié)PF）再在完整圖形中的P上一個適合的形成二面角的平面角解之）略解（）延長、BE相于點F，結(jié)PF.過點作⊥PB于H，由（Ⅰ）知

平面PBE⊥平面所以AH⊥面在eq\o\ac(△,Rt)中，因為∠＝°，所以，AF=2=2=在等腰eq\o\ac(△,Rt)中取PF中點G連接

H

GD

FA

B

C

00則AG⊥.連結(jié)HG由三垂線定理的逆定理得，⊥所以∠是面PAD和平面PBE成二面角的平面角（銳角.在等腰eq\o\ac(△,Rt)中

22

在eq\o\ac(△,Rt)中AB

AB2AB

2

25所

以

，

在

Rt

△

AHG

中，AHsinAGHAG

5

C

1

A

1

B

1練習已知斜三棱柱ABCABC的棱長都是，1側(cè)棱與底面成60的，側(cè)面BCCB⊥底面ABC。11（1求證AC⊥；1（2求面與平面ABC所成的二面（銳1角）的大小。提示：本題需要補棱，可過A點CB的行線L（答案：所成的二面角為45）

ACB

L四、射影面積法（

q=

s射影S

）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式

SS

射斜

）求出二面角的大小。例北京理）如圖，在三棱PABC中，

PBC2，

，

，

AC

．

A

B（Ⅰ）求證：AB；（Ⅱ）求二面角BAP

的余弦值；

C分析題要求二面角B—APC的小果利用射影面積法解題難到在平面ABP與平面中立一對原圖形與射影形并分別求出與于是得到下面解法。解）證略（Ⅱ）

BC

，

BP

，

eq\o\ac(△,)≌△

．又又

AC，．ACB90，即AC，

，

E

PBC面PAC．取AP中E．結(jié)BECE

．

A

BC

BP，BE

．是BE在面PAC內(nèi)射影，

．∴△是△在面內(nèi)射影，于是可求得：

BPAC

2

2

2，BEAB

2

AE

2

，AEEC2則S射ACE

1222

，S

原

112622設二面角

BAP

的大小為

，則cos

SS

射原

13

D

C練習4：如圖5E為方體ABCDABD的11

A

B棱CC的點，求平面E和面ABD所成銳角1111

E的余弦值.

D

1

C

1分

平面ABE與面ABD交即二面角的111

A

1

B

1棱沒有給出，要找到二面角的平面角，則必須先作兩個平

圖5面的交線給題帶來一定的難度慮到三角形AB1在平面ABD上射影是三角形AB而得兩個三角形的面積即可求得二面角的111大小。（答案：所求二面角的余弦值為cos=五、向法

23

）向量法解立體幾何中是一種十分簡捷的也是非常傳統(tǒng)的解法說有的立體幾何題都可以用向量法求解用向量法立體幾何題時常要建立空間直角坐標系寫出各點的坐標，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標法表示的向量，進行向量計算解題。例2009天津卷理）如圖，在五面體中，F(xiàn)A

平面ABCD,，AD，MEC的點(I)求異面直線BF與DE所的角的大?。?/p>

12

AD(II)證平面AMD

平面CDE；求二面角的弦值。現(xiàn)在我們用向量法解答：如圖所示，建立空間直角坐標系，以點A為坐標原點得D

B

M（I）

解于cosBF

01BF所以異面直線DE所成的角的大小為.1（II）明由AM2

，因AMAD.AMADA面而C平，以平面A平DE.（III）

解：設平面DE的向量為ux，y，，則令可得y0.又由題設，平面的一個法向量為

v練習2008湖北）如圖，在直三棱柱（Ⅰ）求證：AB；

BC中平面?zhèn)華BB11

（Ⅱ）若直線

與平面

BC1

所成的角為

二角的大小為，試判斷與的大小關系，1并予