數(shù)學(xué)必修3精講精練

目錄

如何學(xué)好數(shù)學(xué).......................................................2

第一章算法初步（精講）............................................3

第一章算法初步（精練）............................................7

第一章算法初步（精練）答案.........................................11

第二章統(tǒng)計（精講）.................................................14

第二章統(tǒng)計（精練）.................................................18

第二章統(tǒng)計（精練）答案................................................22

第三章概率精講.....................................................25

第三章概率（精練）答案................................................35

2008-2009學(xué)年普通高中新課程模塊結(jié)業(yè)考試試題（卷）................39

2008~2009學(xué)年普通高中新課程模塊結(jié)業(yè)考試試題（卷）答案............44

2009-2010學(xué)年普通高中新課程模塊結(jié)業(yè)考試試題（卷）................46

2009-2010學(xué)年普通高中新課程模塊結(jié)業(yè)考試試題（卷）答案............51

2010-2011學(xué)年普通高中新課程模塊結(jié)業(yè)考試試題（卷）................53

2010-2011學(xué)年普通高中新課程模塊結(jié)'業(yè)考試試題（卷）答案............59

不管你想做什么事，不管你想學(xué)啥,只要你有決心，就一定能做得到，學(xué)得會.

我覺得學(xué)習(xí)要有四心：專心、恒心、開心、放心?！皩Ｐ摹笔侵妇劬珪?、一心一意、不

打折扣；“恒心”是指百折不撓，堅持不懈，義無反顧。至于“開心”就是往好的方面想，所

謂的“放心”是你要明白無論什么時候開始努力都不算晚。

應(yīng)試技巧口訣

見了難題不必慌，要知咱難他更難，愈難愈喜歡，喜歡出靈感；見了易題不大意，要知

咱易，他更易，吩?厘不放心，越易心越細。

如何學(xué)好數(shù)學(xué)

一、解題目的

我們在解題時，常常只追求或滿足于問題的答案，對于推理、計算的嚴密性，解法的簡

捷性、合理性卻不夠重視.至于知識的用法，為何能應(yīng)用此知識，條件與哪些知識有關(guān)，條

件有哪些變換形式，條件或條件的變換形式是怎樣與目標（結(jié)論）聯(lián)系的，解題的思路是什

么？是否有更簡捷合理的解題方法等，若不予考慮，就失去了解題目的.只有明確了解題的

目的，才能更好地提高解決問題的能力.

解數(shù)學(xué)習(xí)題的目的是得出問題的答案，求出答案僅是解題本身的目的.它的根本目的在

于：①加強基本功訓(xùn)練，加深對知識的理解和掌握；②學(xué)會運用知識，增強解決問題的

能力；③掌握數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造思維能力.

明確了解題目的，就不會滿足于求得的答案了，而要回顧一下為什么這樣解，為什么能

這樣解；應(yīng)用了哪些知識，知識是怎樣應(yīng)用的，還有哪些知識與題目有聯(lián)系，這些知識能否

將條件和目標溝通起來；推理是否嚴密，運算是否準確，依據(jù)是否充分，題目所涉及的各種

情形是否都能概括.在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)考慮：能否找到其它解法，能否找到更簡捷合理的解

法，這就是一題多解和最優(yōu)解法的問題；還要考慮題目的條件不變，是否能夠得到其他結(jié)論,

或結(jié)論不變，是否可以換成其他條件，這就是?題多變的問題，還有，將條件一般化，能否

得到類似的結(jié)論？這就是將題目拓寬、推廣的問題了……

二、解題程序

解題就是運用自己掌握的知識，尋求、得出習(xí)題的答案.它是一項綜合過程，需要一步

步的走，不是一下子就進行完的.如果把解題過程理解為從拿到這個題到完全解完這道題，

那么解題過程到底分哪些程序呢？

1、讀題.當我們拿到題后，第一件要做的事就是讀題，把題目一字不漏地讀一遍，弄

清題型，是填空題還是選擇題，是計算題還是證明題等.總之，題目應(yīng)一字不漏地讀，弄清

題目要求，明白題意.

2、審題.任何一道數(shù)學(xué)習(xí)題，一般是山已知條件和需求目標兩部分組成.因此讀題的

直接作用就是要從題目中找出已知條件和需求目標，儲入大腦中，這是解題的第二程序——審

題.

3、分析.一般來說，分析包含以下內(nèi)容：①根據(jù)題目所給的條件與要尋求的結(jié)論大

致需要哪些知識、概念與數(shù)量關(guān)系；②對題目的條件、結(jié)論進行剖析，通過聯(lián)想、類比與

變換，確定應(yīng)用某種知識、概念與數(shù)量關(guān)系；③綜合應(yīng)用邏輯思維與非邏輯思維的方法，

尋求解題思路.這就是解題的第三道程序——分析.

4、擬定解題計劃.通過分析我們找到了解題途徑，接著就要考慮怎樣解題，先做什么，

后做什么，再做什么，需要分幾步做完，整體上要有個計劃，這就是解題的第四道程序一擬

定解題計劃.

5、實施解題計劃.按擬定的計劃去進行推理、計算或作圖，得出習(xí)題的答案，這是解

題的成果.到了這一步，解題的成敗就取決于推理的嚴密性，計算或作圖的準確性.解題的

每一步必須有充分的理論依據(jù)，前一步是后一步的依據(jù)，后一步是前一步的必然結(jié)果，保證

每個解題步驟都是嚴密的、正確的.

6、檢驗.得出了答案，還應(yīng)檢驗是否有疏忽，是否有遺漏或多余的步驟，答案是否正確,

要檢查每一步.這是解題的第六程序——檢驗.

7、解后研究.與題目有聯(lián)系的知識是否都考慮到了？過去解過的題是否有與此題相似

的，是否可以利用？能否利用不同知識通過不同途徑求得問題的解？通過對習(xí)題的再認識、

再聯(lián)想得到不同的解法.通過對比，找到更簡捷合理的解題方法.通過多途徑、多角度的認

識問題，在加深對問題理解的基礎(chǔ)上思考一下，此習(xí)題的結(jié)論是否可以推廣，是否與見過的

習(xí)題有聯(lián)系？從此題的解法中能得到什么啟發(fā)？借用己解習(xí)題的結(jié)論或思路順利地解出原來

不會解的習(xí)題，或?qū)υ瓉砹?xí)題給出更簡捷合理的解法.這是第七道程序一一解后研究.

第一章算法初步(精講)

從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史來看，算法的概念古已有之。

比如，在西方數(shù)學(xué)中很早就有了歐幾里得算法，而中國古代數(shù)學(xué)中蘊涵著更豐富的算法內(nèi)

容和思想，割圓術(shù)、秦九韶算法等等都是很典型的算法。

在這一章中我們將學(xué)習(xí)算法的概念和程序框圖，理解算法的基本結(jié)構(gòu)，基本算法語句，體

會算法的基本思想。

①算法的概念

(1)算法-詞源于算術(shù)，即算術(shù)方法，是一個由已知推求未知的運算過程，后來，人們

把它推廣到一般，把進行某一項工作的方法和步驟稱為算法。

在數(shù)學(xué)中，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題的程序或步

驟。這些程序或步驟必須是明確的有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成。比如解方程的算法、

函數(shù)求值的算法，作圖的算法，等等。

(2)算法雖然沒有一個明確的概念，但其特點還是鮮明的，不僅要注意理解算法的程序

性、有限性、構(gòu)造性、精確性的特點，還應(yīng)該充分理解算法的問題指向性，即算法往往指向

解決某一個或某一類問題，泛泛地談算法是沒有意義的，算法一定以問題為載體。

(3)算法可以用自然語言來描述，也可用程序框圖直觀地表達。

例1任意給定一個大于1的整數(shù)n,試設(shè)計一個程序或步驟對n是否為質(zhì)數(shù)作出判斷。

解：設(shè)計出下面的步驟：

第一步：判斷n是否等于2.若n=2,則n是質(zhì)數(shù)；若n>2,則執(zhí)行第二步；

第二步：依次從2到(n-1)檢驗是不是n的因數(shù)，即整除n的數(shù)。若有這樣的數(shù)，則n不是

質(zhì)數(shù)；若沒有這樣的數(shù)，n是質(zhì)數(shù)。

評注：這是一個大于1的整數(shù)n是否為質(zhì)數(shù)的最基本算法.

例2用二分法設(shè)計一個求方程x2-2=0(x>0)的近似根的算法。

解析：回顧二分法解方程的過程，并假設(shè)所求近似根與

準確解的差絕對值不超過0.005.

解:算法如下：

第一步.令/(x)=/一2.因為/(I)<0,”2)>0,所以設(shè)

=1,%2=2.

第二步.令加=土產(chǎn)，判斷了(⑼是否為o,若是，則血為所求;若否，則繼續(xù)判斷了(為>/(⑼大

于o還是小于0.

第三步.若/(xj?/(/?)〉0,則令玉=加；否則令々=m.

第四步.判斷1<0.005是否成立?若是，則和々之間的

任意取值均為滿足條件的近似根;若否，則返回第二步.

評注:算法實際上是一種獨特的解題過程，與一般的解題過程比較，算法是構(gòu)造性的,而且必

須在有限步之內(nèi)完成.在這個過程中，遞歸性往往又是某些較為復(fù)雜的算法的特點，所以算法就

是一種利用有限構(gòu)造或有限遞歸構(gòu)造的方法解決問題的過程.

②程序框圖

為了有條理地、清晰地表達算法，往往需要將解決問題的過程整理成程序框圖。程序框

圖是一種傳統(tǒng)的算法表示，它利用幾何圖形的框來代表各種不同性質(zhì)的操作，用流程線來指

示算法的執(zhí)行方向。程序框圖是表達算法的最為直觀和明確的方式，由于它簡單直觀，所以

應(yīng)用廣泛。

程序框圖又稱流程圖，是?種用程序框、流程線及文字說明來準確、直觀地表示算法的

圖形。

標準程序框圖一般由終端框、輸入、輸出框、處理框、判斷框、流程線組成。

口￡7口。I

終端框輸入輸出框處理框判斷框流程線

終端框又稱起止框，分為起止框和終止框，它用一個近似橢圓的符號來表示一個程序的

起始和結(jié)束?？騼?nèi)可以寫一些適當?shù)奈淖?，起始框有一個出口，終止框有一個入口。

輸入、輸出框用來表示一個算法輸入輸出的信息。

處理框又稱執(zhí)行框，它用矩形框來表示一種處理功能的模塊（一個步驟或幾個步驟）。它

有一個入口和一個出口，其框內(nèi)可以寫入簡要的說明。

判斷框用來指明判定點，框內(nèi)指明判斷條件，它有一個入口和兩個以上的出口，在各出口

處寫明條件，成立時標明"是"或"Y"，不成立時標明“否”或“N”。

流程線是帶箭頭的線段，它用來表示程序執(zhí)行的順序和各框之間的關(guān)系。

例如：我們打印x的絕對值，可以設(shè)計以下的框圖。

從圖中可以看到由判斷框分出兩支，構(gòu)成一個選擇性的結(jié)構(gòu)，其中選擇的標準是“XNO”,

若符合條件，則按“是”分支繼續(xù)往下執(zhí)行；若不符合這個條件，則按照“否”分支繼續(xù)往

下執(zhí)行。這樣的話，輸出的結(jié)果總是x的絕對值。

例3設(shè)計一個算法，求以貶為半徑，2為高的圓鏈的體積，并畫出程序框圖。

解：算法步驟：

第一步.令R=VI,h=2.

第二步.計算底面積S=M?2和體積y=_Ls6.

3

第三步.輸出錐體體積V.

程序框圖如右圖：

評注:用程序框圖描述算法更加清楚簡練，形象直觀，流向清楚，而且更容易改寫

成程序設(shè)計的語言.

通過學(xué)習(xí)我們知道，算法就是解決問題的步驟，在我們利用計算機解決問題的時候,首先我

們要設(shè)計計算機程序，在設(shè)計計算機程序時我們首先要畫出程序運行的流程圖，使整個程序的

執(zhí)行過程直觀化,使抽象的問題變得十分清晰和具體.有了這個流程圖，再去設(shè)計程序就有了依

據(jù)，從而就可以把整個程序用機器語言表達出來，因此程序框圖是我們設(shè)計程序的基本和開端.

③算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)

用程序框圖表示算法時，算法的邏輯結(jié)構(gòu)展現(xiàn)得非常清楚.程序框圖中包含三種邏輯結(jié)構(gòu):

順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)。

以下我們分別做一討論：

(1)順序結(jié)構(gòu)

順序結(jié)構(gòu)是由若干個依次執(zhí)行的步驟組成的，這是任何一個算法都離不開的基

本結(jié)構(gòu).順序結(jié)構(gòu)描述的是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按照

從上到下的順序進行的.

順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按

順序執(zhí)行算法步驟.如在示意圖中,A框、B框、C框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完

A框指定的操作后，才能執(zhí)行B框所指定的操作，然后再執(zhí)行C框。

例4-個三角形的三邊邊長分別為2、3、4.畫出一個求出它的面積算法的程

序框圖.

解析:這是一個簡單的問題，利用海倫一秦九韶公式，只要先求出p的值，再將它代入公式,

最后輸出結(jié)果，只用順序結(jié)構(gòu)就能表達出算法.畫

解：程序框圖如右：

評注(I)順序結(jié)構(gòu)描述的是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間/^入2,3,4/

是按照從上到下的順序進行的.

(2)順序結(jié)構(gòu)的特點:計算機按書寫的先后次序，自上而下逐條順序執(zhí)行

程序語句，中間沒有選擇或重復(fù)執(zhí)行的過程.

(3)順序結(jié)構(gòu)描述的是最簡單的算法結(jié)構(gòu),是按照步驟依次執(zhí)行的一個

算法，它可以單獨出現(xiàn)，也可以出現(xiàn)在條件結(jié)構(gòu)或循環(huán)結(jié)構(gòu)的局部.

(2)一些簡單的算法可以用順序結(jié)構(gòu)來表示，但順序結(jié)構(gòu)無法描述那些

需要進行邏輯判斷并根據(jù)判斷結(jié)果進行不同處理的情況.而條件結(jié)構(gòu)就是

以條件的判斷為起始點,根據(jù)條件是否成立而決定執(zhí)行哪一個處理步驟的

結(jié)構(gòu).

其基本的結(jié)構(gòu)形式：

此圖結(jié)構(gòu)中包括一個判斷框，根據(jù)給定的條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框.無論條

件P是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框

都不執(zhí)行。

例5設(shè)計求解不等式ax+b>O(a^O)的一個算法，流程圖表示。

解析：求解過程中，需要對系數(shù)。的符號做出判斷。

解:第一步.輸入入

第二步.判斷。的符號.

第三步.若a>0，解不等式;若a<0,解不等式.

第四步.輸出不等式的解.

流程圖：

與7國

條件結(jié)構(gòu)是以條件的判斷為起始點，根據(jù)條件是否成立而決定執(zhí)行哪一個處理步驟的結(jié)

構(gòu).

(2)循環(huán)結(jié)構(gòu)

循環(huán)結(jié)構(gòu)是指在算法設(shè)計中，從某處開始有規(guī)律地反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟,這個處理步驟

稱為循環(huán)體.循環(huán)體的執(zhí)行次數(shù)由一個控制循環(huán)的條件決定.滿足條件反復(fù)做，不滿足則停止.

循環(huán)結(jié)構(gòu)不能是永無停止的“死循環(huán)”，?定要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)

構(gòu)來作出判斷，因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。

?般地，循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個計數(shù)變量和?個累加變量，計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，

同時它的取值還用于判斷循環(huán)是否終止。累加變量用于輸出結(jié)果，累加變量和計數(shù)變量一般

是同步執(zhí)行的，累加一次，計數(shù)一次。

循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細分為兩類：

①一類是當型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如圖所示，它的功能是當給定的條件成立時，執(zhí)行A框，A框

執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復(fù)執(zhí)行A框，直

到某一次條件P不成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

②另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如圖所示，它的功能是先執(zhí)行A框，然后判斷給定的條件P

是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某??次給定的條件P成立為止，此時

不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

任何高級程序語言都包含輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句和循環(huán)語句5種基

本語句。這5種基本算法語句與算法的三種基本結(jié)構(gòu)基本上是相互對應(yīng)的。為了進一步理解

算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)，我們在學(xué)習(xí)中要注意體會下面的對應(yīng)關(guān)系。

順序結(jié)構(gòu)—輸入、輸出語句和賦值語句

條件結(jié)構(gòu)3條件語句

循環(huán)結(jié)構(gòu)―循環(huán)語句

第一章算法初步（精練）

一、選擇題

1.看下面的四段話，其中是解決問題的算法的是（）.

A.把高一5班的同學(xué)分成兩組，高個子參加籃球賽，矮個子參加拔河比賽

B.把高一5班的同學(xué)分成兩組，身高達到170cm的參加籃球賽，不足170cm的參加拔

賽

C.把a,b的值代入x=2,求方程的解

a

D.從2開始寫起，后一個數(shù)為前一個數(shù)與2的和，不斷地寫，寫出所有偶數(shù)

2.任何一個算法都必須有的基本結(jié)構(gòu)是

（）.

A.順序結(jié)構(gòu)B.條件結(jié)構(gòu)

C.循環(huán)結(jié)構(gòu)D.三個都有

3.右邊的程序框圖（如圖所示），能判斷任意輸

入的整數(shù)x的奇偶性：其中判斷框內(nèi)的條件是

（）.

A.〃?=0?B.x=0?

C.x=l?D.m=l?

4.給出以下一個算法的程序框圖（如圖所示），該程序框

圖的功能是（）.

A.求輸出a,b,c三數(shù)的最大數(shù)

B.求輸出a,b,c三數(shù)的最小數(shù)

C.將。，6,c按從小到大排列

D.將a,b,c按從大到小排列

（第4圖

5.右圖給出的是計算;+；+：+-+

一個程序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（

A.；>10?B.z<10?

C.(>20?D./<20?

AB

7.下列給出的賦值語句中正確的是（）.

A.4=MB.M——MC.2B=A-3D.jc+y=O

8.右邊程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果是（）.

n=5

A.-1B.0

B=0

C.1D.2WHILEs<15

n=n-1

WEND

PRINTn

END

（第8匐

9.我國古代數(shù)學(xué)發(fā)展曾經(jīng)處于世界領(lǐng)先水平，特別是宋、元時期的“算法”，其中可以

同歐幾里德輾轉(zhuǎn)相除法相媲美的是（）.

A.割圓術(shù)B.更相減損術(shù)C.秦九韶算法D.孫子乘余定理

10.下面是一個算法的程序.如果輸入的x的值是20,則輸出的y的值是（）.

便10題）

A.100B.50C.25D.150

二、填空題

11.下列關(guān)于算法的說法正確的是.（填上正確的序號）

①某算法可以無止境地運算下去

②一個問題的算法步驟不能超過1萬次

③完成一件事情的算法有且只有一種

④設(shè)計算法要本著簡單方便可操作的原則

12.下列算法的功能是__________________

5,輸入A,B；（A,B均為數(shù)據(jù)）

S2A=A+B；

S3B=A-B；

S4A―B；

S5輸出A,B.

13.如圖，輸出的結(jié)果是.

(第13?(914M)

14如圖，輸出的結(jié)果是.

x+2

15已知函數(shù)丫=；流程圖表示的是給定x值，求其相應(yīng)函數(shù)值的算法.請將

3x~,x>3

該流程圖補充完整.其中①處應(yīng)填，②處應(yīng)填,若輸入x=3,則輸出結(jié)

果為.

（第15S）（笫16n

16.如圖，輸出結(jié)果為

三、解答題

17.某小區(qū)每月向居民收取衛(wèi)生費，計費方法是：3人和3人以下的住戶，每戶收取5元;

超過3人的住戶，每超出1人加收1.2元.設(shè)計一個算法，根據(jù)輸入的人數(shù)，計算應(yīng)收取的衛(wèi)

生費，并畫出程序框圖.

18.編寫程序，計算一個學(xué)生數(shù)學(xué)、語文、英語三門課的平均成績.

19.假定在銀行中存款10000元，按11.25%的利率，一年后連本帶息將變?yōu)?1125元，

若將此款繼續(xù)存人銀行，試問多長時間就會連本帶利翻一番？請用直到型和當型兩種語句寫

出程序.

20.用輾轉(zhuǎn)相除法求91和49的最大公約數(shù).

第一章算法初步（精練）

參考答案

一、選擇題

1.解析：

A.何為高個子，何為矮個子，標準不明確.

C.當a=0時公式是無效的.

D.非有限步可以完成.

只有B符合算法的三個要求，所以答案是B.

解：選B.

2.A解析：順序結(jié)構(gòu)是最簡單的結(jié)構(gòu)，也是最基本的結(jié)構(gòu).

3.A解析：x除以2,如余數(shù)為0,則x為偶數(shù)；余數(shù)不為0,則尤為奇數(shù).

4.B解析：從程序框圖可知：輸出的是三個數(shù)中的最小值.

（第4題）

5.A解析：這是一個10項求和問題.

6.B解析：直到型循環(huán)在執(zhí)行了一次循環(huán)體之后，對控制循環(huán)條件進行判斷，當條件不

滿足時反復(fù)做，滿足則停止.

7.B解析：依據(jù)賦值語句的概念，選B是正確的.

8.B解析：程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果是0,故選B.

9.B

10.D解析：V20>5,.?.y=20X7.5=150,.,.選D.

二、填空題

11.答案：④.解析：由算法的特點所確定.

12.答案：實現(xiàn)數(shù)據(jù)A,8的互換.

解析：利用賦值語句的意義與題中算法的步驟進行分析.

13.答案：12.解析：機=2,p=7,m=12.

14.答案：105.解析：T=\,I=\,T=\,1=3,不滿足條件；7=3,/=5,不滿足條件;

T=15,1=7,不滿足條件；T=105,1=9,滿足條件.輸出7.

15.答案：①xW3?：②y=-3x2：5.

解析：根據(jù)給出函數(shù)的解析式分析可填出.

16.答案：9.解析：逐個取值計算.

三、解答題

17.解析：根據(jù)題意，可考慮用條件結(jié)構(gòu)來進行算法設(shè)計.

解：算法步驟：

第一步，輸入人數(shù)x,設(shè)收取的衛(wèi)生費為"(元).

第二步，判斷x與3的大小.若x>3,則費用為機=5+(x-3)X1.2；若xW3,則費用

為m—5.

第三步，輸出

18.分析：先寫出算法，畫出程序框圖，再進行編程.

程序框圖：程序：

結(jié)束

19.解:

用當型用直到型

x=10000x=10000

r=11.25/100y=0

y=0r=11.25/100

WHILEx<20000Do

y=y+iy=y+i

x=x+r*xx=x+r*x

WENDLoopUNTILx>=20000

PRINTyPRINTy

ENDEND

20.解析：由91=49X1+42,得

42=91-49X1.

因為余數(shù)42W0,所以由輾轉(zhuǎn)相除法，得

49=42X1+7,即7=49-42X1；

42=7X6,即0=42-7X6.

所以，91和49的最大公約數(shù)等于7.

第二章統(tǒng)計(精講)

我們生活在一個數(shù)字化的時代，時刻都與數(shù)據(jù)打交道，如：產(chǎn)品的合格率，電視臺的收

視率等，這些數(shù)據(jù)是怎么來的呢？我們通常只考慮總體中的?個樣本，通過樣本來了解總體

的情況，在保證樣本估計總體達到一定精確度的前提下，樣本中包含的個體數(shù)越少越好。

那么，怎樣從總體中抽取樣本使之代表總體呢？這就是我們下面要討論的問題。

①簡單隨機抽樣

(1)簡單隨機抽樣的定義

一般地，設(shè)一個總體有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(〃4N).如果每

次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣，這樣

抽取的樣本,叫做簡單隨機樣本.

簡單隨機抽樣必須具備下列特點：

①簡單隨機抽樣要求被抽到的樣本的總體個數(shù)N是有限的；

②簡單隨機樣本n小于等于樣本總體的個數(shù)N;

③簡單隨機樣本是從總體中逐個抽取的；

④簡單隨機抽樣是一種不放回的抽樣；

n

⑤簡單隨機抽樣的每個個體入樣的可能性均為—.

N

⑵抽簽法和隨機數(shù)法

①抽簽法的定義

一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在?個容器中,

攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個容量為n的樣本.

抽簽法的一般步驟：

a.將總體中的個體編號；

b.連續(xù)抽簽獲取樣本號碼.

②隨機數(shù)法

利用隨機數(shù)表、隨機數(shù)骰子或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)進行抽樣，叫隨機數(shù)法。這里僅介紹

隨機數(shù)表法。

怎樣利用隨機數(shù)表產(chǎn)生樣本呢？

下面通過例子來說明。

假設(shè)我們要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達標?，F(xiàn)從800袋牛奶中抽取

60袋進行檢驗。利用隨機數(shù)表抽取樣本時，可以按照下面的步驟進行。

第一步,先將800袋牛奶編號，可以編為000,001,799.

第二步，在隨機數(shù)表中任選一個數(shù)。例如選出第8行第7列的數(shù)7。

F面是隨機數(shù)表的第6行至第10行:

162277943949544354821737932378-

844217533157245506887704744767-

630163785916955567199810507175-

332112342978645607825242074438-

576086324409472796544917460962-

第三步，從選定的數(shù)7開始向右讀（讀數(shù)的方向可以是向左、向上、向下等），得到?個三

位數(shù)785,由于785<799,說明號碼785在總體內(nèi)，將它取出；繼續(xù)向右讀，得到916,由于916>799,

將它去掉.

按照這種方法繼續(xù)向右讀,又取出567,199,507,--依次下去,直到樣本的60個號碼全部

取出，這樣我們就得到一個容量為60的樣本.

例1某車間加工一個軸100件,為了了解這種軸的直徑,要從中抽取10件在同一條件下測

量,如何采用簡單隨機抽樣抽取樣本？

解析:簡單隨機抽樣一般采用兩種方法:抽簽法和隨機數(shù)表法.

解法1（抽簽法）將100件軸編號為1,2,100,并做好大小、形狀相同的號簽放在一起,

進行均勻攪拌，接著連續(xù)抽取10個號簽，然后測量這個10個號簽對應(yīng)軸的直徑。

解法2：（隨機數(shù)表法）將100件軸編號為00,01,02,…,99。在隨機數(shù)表中選定一個起

始位置，如取第21行第一個數(shù)開始。選取10個為68,34,30,13,70,55,74,77,40,

44,這10件即為所要抽取的樣本。

小結(jié)：

（1）簡單隨機抽樣是一種最簡單、最基本的抽樣方法，簡單隨機抽樣有兩種選取個體的

方法；放回和不放回，我們在抽樣調(diào)查中用的不放回抽樣，常用的簡單隨機抽樣方法有抽簽

法和隨機數(shù)法。

（2）抽簽法的優(yōu)點是簡單易行，缺點是當總體的容量非常大時，費時費力，又不方便，

如果標號的簽攪拌得不均勻，會導(dǎo)致抽樣不公平；隨機數(shù)表法的優(yōu)點與抽簽法相同，缺點是

當總體容量較大時.，仍然不是很方便，但是比抽簽法公平，因此這兩種方法只適合總體容量

較小的抽樣類型。

（3）簡單隨機抽樣每個個體入樣的可能性都相等，但是這里一定要將每個個體入樣的可

能性、第n次每個個體入樣的可能性、特定的個體在第n次被抽到的可能性這三種情況區(qū)分

開，避免在解題中出現(xiàn)錯誤。

②系統(tǒng)抽樣

一般地，要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，可將總體分成均衡的若干部分然后

按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣的方法叫做系統(tǒng)

抽樣.

系統(tǒng)抽樣有以下特征：

①當總體容量N較大時，采用系統(tǒng)抽樣；

②將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，因此，系統(tǒng)抽

樣又稱等距抽樣，這時間隔般為人=—:

_n_

③預(yù)先制定的規(guī)則指的是，在第1段內(nèi)采用簡單隨機抽樣確定一個起始號碼，在此編號

的基礎(chǔ)上加上分段間隔左的整數(shù)倍即為抽樣編號。

(2)系統(tǒng)抽樣的般步驟：

①將總體的N個個體編號；

②將整體按編號進行分段，確定分段間隔女；

③在第1段用簡單隨機抽樣確定起始個體的編號

1(1eN,1Wk)；

④按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將起始編號/加上間隔％得到第2個個體編號

(/+%),再加上火得到第3個個體編號(/+2A),這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本。

從系統(tǒng)抽樣的步驟可以看出，系統(tǒng)抽樣是把一個問題劃分成若干個部分分塊解決，從而

把復(fù)雜問題簡單化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想。

例2某校高中三年級的295名學(xué)生已經(jīng)編號為1,2,295.為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,

要按1：5的比例抽取一個樣本，用系統(tǒng)抽樣的方法進行抽取，并寫出過程。

解析：按1：5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，關(guān)鍵是確定第一段的編號。

解：按照1：5的比例，應(yīng)該抽取的樣本容量為295+5=59,我們把295名同學(xué)分成59組,

每組5人，第一組是編號為1?5的5名學(xué)生，第2組是編號為6~10的5名學(xué)生，依次下去,

59組是編號為291?295的5名學(xué)生。采用簡單隨機抽樣的方法，從第一組5名學(xué)生中抽出一

名學(xué)生，不妨設(shè)編號為

k(l<k<5),那么抽取的學(xué)生編號為女+學(xué)(/=0,1,…,58),得到59個個體作為樣本,如當

)=3時的樣本編號為3,8,13,288,293。

例3某單位有118名員工，為了完成本月的生產(chǎn)任務(wù)，現(xiàn)要從中隨機抽取16人加班，請用系

統(tǒng)抽樣法選出加班的人員。

解：(1)對這U8名員工進行編號；

11Q

(2)計算間隔女=匕￡=7.375,由于女不是一個整數(shù)，我們從總體中隨機剔除6個樣本，再

16

來進行系統(tǒng)抽樣。例如我們隨機剔除了3,46,59,57,112,93這6名員工，然后再對剩余

的112位員工進行編號，計算間隔k=7。

(3)在1?7之間隨機選取一個數(shù)字，例如選5,將5加上間隔7得到第2個個體編號

12,再加上7得到第3個個體編號19,依次進行下去，直到獲取整個樣本。

評注：當對總體結(jié)構(gòu)有一定了解時，充分利用已有信息對總體單位進行排對后再抽樣，

可提高抽樣效率。

小結(jié)：

(1)在抽樣過程中，當總體中個體較多時，可采用系統(tǒng)抽樣的方法進行抽樣，系統(tǒng)抽樣

的步驟為：

①采用抽樣的方法將總體中個體編號；

②將整體編號進行分段，確定分段間隔乂〃GN);

③在第一段內(nèi)采用簡單隨機抽樣的方法確定起始個體編號/;

④按照事先預(yù)定的規(guī)則抽取樣本。

(2)在確定分段間隔攵為整數(shù)，當二不是整數(shù)時，、應(yīng)采用等可能剔除的方法剔除部分

n

個體，以獲得整數(shù)間隔人。

③分層抽樣

(1)分層抽樣的定義

一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽

取一定數(shù)量的個體，將各層取出地的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫分層抽樣。

分層抽樣又稱類型抽樣，應(yīng)用分層抽樣應(yīng)遵循以下要求：

①分層：將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵

循不重復(fù)，不遺漏的原則。

②分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本

與每層個體數(shù)量的比與樣本數(shù)量與總體容量的比相等。

(2)分層抽樣的步驟：

第一步：分層：按某種特征將總體分成若干部分；

第二步：按比例確定每層抽取個體的個數(shù)；

第三步：各層分別按簡單隨機抽樣的方法抽取；

第四步：綜合每層抽樣，組成樣本。

分層抽樣時注意：

①分層需遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；

②抽取比例由樣本占總體的比例確定；

③各層抽樣按簡單隨機抽樣進行。

(3)簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的比較

類別共同點各自特點聯(lián)系適用范圍

簡單隨機抽樣①抽樣過程中每從總體中逐個抽總體個數(shù)較少

個個體被抽取的取

系統(tǒng)抽樣可能將總體均分成幾在起始部分抽總體個數(shù)較多

性相等部分，按預(yù)先確樣時采用簡單

②每次抽出個體定的規(guī)則在各部隨機抽樣

后不再將它放分抽取

分層抽樣回，即不放回抽將總體分成幾在各層抽樣時總體由差異明

樣層，分層進行抽采用簡單隨機顯的幾部分組

取抽樣或系統(tǒng)抽成

樣

例4某商場有男售貨員56人，女售貨員42人，用分層抽樣的方法從全體售貨員中抽出

一個容量為28的樣本。

2

解：全體售貨員的總?cè)藬?shù)是56+42=98（人），要得到28人的樣本，占總體的比例為一，

7

2

于是，應(yīng)該在男售貨員中隨機抽取56x—=16人，在女售貨員中隨機抽取28-16=12人。這樣

7

我們就可以得到一個容量為28的樣本。

評注：在這個問題中，總體是該商場的所有售貨員的總數(shù)。并且已知知道人數(shù)的分布情

況，因此可以利用分層抽樣的方法抽取樣本。

例5某高中共有900人，其中高一年級300人，高二年級200人，高三年級400人，現(xiàn)

采用分層抽樣抽取容量為45的樣本，那么高一、高二、高三各年級抽取的人數(shù)分別為（）

A.15,5,25B.15,15,15C.10,5,30D.15,10,20

解析:因為300:200:400=3:2:4,于是將45分成3:2:4三部分,設(shè)三部分各抽取的個體分別

為3x,2x,4x,由3x+2x+4x

=45得》=5,故高一、高二、高三各年級抽取的人數(shù)分別為15,10,20.選D.

例6一個地區(qū)共有5個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬人,其中人口比例為3:2:5:2:3,從3萬人中抽取一個300

人的樣本，分析某種疾病的發(fā)病率.已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關(guān)，問應(yīng)采取什

么樣的方法?并寫出具體過程.

解析:采用分層抽樣的方法.

解：因為疾病與不同的地理位置及水土有關(guān)系，所以不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病情況差異明顯，因而采

用分層抽樣的方法,具體過程如下：

（1）將3萬人分為5層,一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層.

（2）按照樣本容量的比例隨機抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的樣本.

300x3=60（人），300x—2=40（A）,300x—5=100（人），300x2—=40（人），

15151515

3

300x—=60（A）.

15

因此各鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽取人數(shù)分別為60人、40人、100人、40人、60人.

（3）將300人組到一起，即得到一個樣本。

第二章統(tǒng)計（精練）

一、選擇題

1.某校有40個班，每班有50人，每班選派3人參加“學(xué)代會”，在這個問題中樣本容

量是（）.

A.40B.50C.120D.150

2.要從J編號（1-50）的50枚最新研制的某型號導(dǎo)彈中隨機抽取5枚來進行發(fā)射試驗,

用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的5枚導(dǎo)彈的編號可能是（）.

A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43

C.1,2,3,4,5D.2,4,8,16,32

3.某單位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們身體狀況的某項

指標，需從他們中抽取一個容量為36的樣本，適合抽取樣本的方法是（）.

A.抽簽法B.系統(tǒng)抽樣C.隨機數(shù)表法D.分層抽樣

4.為了解某年級女生的身高情況，從中抽出20名進行測量，結(jié)果如下：（單位：cm）

149159142160156163145150148151

156144148149153143168168152155

在列樣本頻率分布表的過程中，如果設(shè)組距為4cm,那么組數(shù)為（）.

A.4B.5C.6D.7

5.右圖是由容量為100的樣本得到的頻率分布直方圖.其中前4組的頻率成等比數(shù)列,

后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)

最大頻率為a,在4.6到5.0

之間的數(shù)據(jù)個數(shù)為b，則。，b

的值分別為（）.

A.0.27,78

B.0.27,83

C.2.7,784

D.2.7,83

6.在方差計算公式/=，"［（X］—20尸+（必一20）2H-FGio—20尸］中，數(shù)字10和20分

別表示（）.

A.數(shù)據(jù)的個數(shù)和方差B.平均數(shù)和數(shù)據(jù)的個數(shù)

C.數(shù)據(jù)的個數(shù)和平均數(shù)D.數(shù)據(jù)組的方差和平均數(shù)

7.某地2004年第一季度應(yīng)聘和招聘人數(shù)排行榜前5個行業(yè)的情況列表如下:

行業(yè)名稱計算機機械營銷物流貿(mào)易

應(yīng)聘人數(shù)2158302002501546767457065280

行業(yè)名稱計算機營銷機械建筑化工

招聘人數(shù)124620102935891157651670436

若用同一行業(yè)中應(yīng)聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來衡量該行業(yè)的就業(yè)情況，則根據(jù)表中

的數(shù)據(jù)，就業(yè)形勢一定是（）.

A.計算機行業(yè)好于化工行業(yè)B.建筑行業(yè)好于物流行業(yè)

C.機械行業(yè)最緊張D.營銷行業(yè)比貿(mào)易行業(yè)緊張

8.從魚塘捕得同一時間放養(yǎng)的草魚240尾，從中任選9尾，稱得每尾魚的質(zhì)量分別是1.5,

1.6,1.4,1.6,1.3,1,4,1.2,1.7,1.8（單位：千克）.依此估計這240尾魚的總質(zhì)量大約是（）.

A.300克B.360千克C.36千克D.30千克

9.為了考查兩個變量x和y之間的線性關(guān)系，甲、乙兩位同學(xué)各自獨立作了10次和15

次試驗，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為h，已知兩人得的試驗數(shù)據(jù)中，變

量x和y的數(shù)據(jù)的平均值都分別相等，且值分別為s與3那么下列說法正確的是（）.

A.直線八和6一定有公共點（s，D

B.直線和?2相交，但交點不一定是（s,D

C.必有直線/1〃/2

D.直線/|和/2必定重合

10.工人工資（元）依相應(yīng)產(chǎn)值（千元）變化的回歸方程為9=50+80x,下列判斷正確的是

（）.

A.產(chǎn)值為1000元時，工資為130元

B.產(chǎn)值提高1000元時，工資提圖80元

C.產(chǎn)值提局1000兀時，工資提得130兀

D.當工資為250元時，產(chǎn)值為2000元

二、填空題：

11.某工廠生產(chǎn)A,B,C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：3：5.現(xiàn)用分

層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A種型號的產(chǎn)品有16件，那么此樣本的容量n

12.若總體中含有1650個個體，現(xiàn)在要采用系統(tǒng)抽樣，從中抽取一個容量為35的樣

本，分段時應(yīng)從總體中隨機剔除個個體，編號后應(yīng)均分為段，每段有

個個體.

13.管理人員從一池塘內(nèi)撈出30條魚，做上標記后放回池塘.10天后，又從池塘內(nèi)撈出

50條魚，其中有標記的有2條.根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以估計該池塘內(nèi)共有條魚.

14.已知x,y之間的一組數(shù)據(jù)：

X1.081.121.191.28

y2.252.372.402.55

y與x之間的線性回歸方程y^bx+a必過定點.

15.假設(shè)學(xué)生在初?和初二數(shù)學(xué)成績是線性相關(guān)的.若10個學(xué)生初一數(shù)學(xué)分數(shù)⑺和初二

數(shù)學(xué)分數(shù)(y)如下:

X74717268767367706574

y76757170767965776272

初一和初二數(shù)學(xué)分數(shù)間的回歸方程為.

16.一家保險公司調(diào)查其總公司營業(yè)部的加班程度，收集了10周中每周加班工作時間丫(小

時)與簽發(fā)新保單數(shù)目x的數(shù)據(jù)如下表，則用最小二乘法估計求出的線性回歸方程是

X825215107055048092013503256701215

y3.51.04.02.01.03.04.51.53.05.0

三、解答題：

17.某車間工人加工-?種軸100件，為了了解這種軸的直徑，要從中抽取10件軸在同一

條件下測量，如何采用簡單隨機抽樣的方法抽取樣本？

18.某單位有118名員工