現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理課后習(xí)題解答

現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理課后習(xí)題解答1、求證：R(t,t.)錯(cuò)誤!未定義書簽。習(xí)題mmxixj證明：R(t,t)xijE(x.,xj)xxit,t)dxdxE[&m),(xjimx(xm),(mixjixj(xxxmxmijixjjR(t,t)mmmxijxixjR(t,t)mmxijxixj(t,t.)mx.mx.x.jp(x,x,jijiji)])p(x,x,t,t)dxdxijijijm)p(x,x,t,t)dxdx.xjmmx.iji)p(xijxj2、令x（n）和y（n）不是相關(guān)的隨機(jī)信號(hào)，試證:若w(n)x(n)y(n)，證明：（1）(n)]y(n)]（2）2E[((n)E{[x(n)E[x(n)E[x(n)2x2x2y2ym)2]y(n)(mxE[x(n)E[x(n)]E[y(n)]mmxym)(y(n)xm)2]E[y(n)x2[mm)》}ym)]2ymmxm)2]ymy2E[x(n)m)y(n)xm)]y3、試證明平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的極限性質(zhì)，2y即證明：mm]xy①當(dāng)0時(shí)，R(0)D,C(0)xxx②當(dāng)時(shí)，R()m2,C()xxx0。證明：（1）R()E[x(t)x(t)](0)x2(t)p(x,)dxx(t)x(t)p(x,x,)dxdx1212E[x2]Dx()R()m2xx(0)R(0)m2xxDxm2x2x現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理課后習(xí)題解答(2)R()limR()limE[xxR()limR()limE[xx]

xxijE(xjE氣)4、設(shè)隨機(jī)信號(hào)x(t)AcostBsint,0 0C()limR()m2]xxxlimR()m2xxm2m20xx為正常數(shù)，A、B為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且E(A)E(B)0,0D(A)D(B)2.試討論x(t)的平穩(wěn)性。解：(1)均值為mE[x(t)]xE[AcosE[Acos0mE[x(t)]xE[AcosE[Acos0tBsint]0E[Bsin0t]0t]0(2)自相關(guān)函數(shù)為(t,t )E[x(t),x(tE[AcostBs0in0t)Acos(t,t )E[x(t),x(tE[AcostBs0in0t)Acos (t )Bsin0(t0E[A2costcos(t)ABcostsin(t)00ABsintcos(t)B2sintsin(t)]00E[A2costcos(t)]E[ABcostsin(t00E[ABsiitcos(t)]E[B2sintsin(t)]000))]0)])]A、B相互獨(dú)立EABEAEB故：R(t,t)x故：R(t,t)x2cos與起始時(shí)間無關(guān)(3)Dx可見(3)Dx可見x該信號(hào)均值為一常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)與起始時(shí)間無關(guān)，方差有限,故其為一個(gè)廣義平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)。設(shè)隨機(jī)信號(hào)x(t)AtBt2,A、B是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且E(A)4,E(B)7,D(A)0.1,D(B)2。求x(t)的均值、方差、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。解：(1)m(t)E[x(t)]E[AtBt2]xE[At]E[Bt2]4t712(2)現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理課后習(xí)題解答2Dxm2x xO.H22Dxm2x xO.H256t32t4(4t7t2)2E[A2t2B2t42ABt3]15.t47t4E[A2t2]E[B2t4]2E[ABt315.t47t40.t256t32t4(3)R(t,t)E[x(t),x(t)]xE[AtBt2)A(t)B(t)2)]E[A2t(t)B2t2(t)2ABt(t)2ABt2(t)]0.t(t)2t2(t)228t(t)22812(t)TOC\o"1-5"\h\zC(t,t)R(t,t)m(t)m(t)xxxxm(t)E[x(t)]xE[A(t)B(t)2]4(t)7(t)2C(t,t)0.1t(t)2t2(t)228t(t)228t2(t)(4t7t2)[4t)7(t)2]廿由人膈w仁小x6、若兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)x(t),15.9t(t)47t2(t)2y(t)分別為x(t)A(t)cost,y(t)B(t)silt,其中A(t),B(t)是各自平穩(wěn)、零均值相互獨(dú)立的隨機(jī)信號(hào)，且具有相同的自相關(guān)函數(shù)。試證明z(t)x(t)y(t)是廣義平穩(wěn)的。證明：E[z(t)]=E[A(t)cost+B(t)sint]=E[A(t)]cost+E[B(t)]sint=0R(t,t)*E[z(t)z(t+]z=E([A(t)cost+B(t)sint)][A(t+t)+B(t+)sin(t+]}=E[costcos(t)A(t)A(t+)+sintsin()tB+t)B(t+)]=costcos(t)R()+sintsin)R+()AB=costR(t)AD(z)=R(0)=R(0)=D(A)<zA均值為零、自相關(guān)函數(shù)與時(shí)間t無關(guān)、方差有限，故其是廣義平穩(wěn)的7、設(shè)隨機(jī)信號(hào)x(t)Acos(t)，式中A、為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量，在[0,2]上均勻分布。試0討論x(t)的遍歷性.解：(1)首先討論x(t)的平穩(wěn)性p(x)p()p()一p(x)p()p()一x,x1dx——dR(t,txR(t,txE[x(t)]x(t)p(x)dxm(t)xE[x(t)]x(t)p(x)dxAcos(t0)p()——dxAcos(t0)p()d2Acos(t」d2Acos(t」d0022AE[A]0—-sin(t)220000m(t)xE[x(t),x(t)]TOC\o"1-5"\h\zAcos(t)Acos((t))p()dx與t無關(guān)EA22與t無關(guān)022ooEA2一2cos4oDAcos2oDxR(0)DxR(0)x故x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)(2)遍歷性-…1mTlim一1x(t)dtxT2TT1lim一Acos(t)dt0m(t)t2Tt0xRT()lim-1Tx(t)x(t)dtxT2TT1lim——T[Acos(t)Acos((t))]dtT2TT001lim——TA2-[cos(2t2)cos]dtT2TT2000A2一cos20R()x故x(t)不具有廣義遍歷性8、隨機(jī)序列x(n)cos(n0),在［8、隨機(jī)序列x(n)cos(n0解：由已知得現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理課后習(xí)題解答p()——，0 220,其它p()——，0 220,其它mnEx(n)cos(n)p()dx02上cos(n)d020—2[cosncossin0200nsin]d0錯(cuò)誤！R(m,n)xE[x(m),x(n)]Id00x2錯(cuò)誤！R(m,n)xE[x(m),x(n)]Id00x2-1l[cos(mn)cos(m021 24 0Lcos21—cos2R(0)x2cos(m002(mn)d0n)0)cos(n)p()錯(cuò)誤!Dxn)]dcos(m均值為與t均值為與t無關(guān)常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)與t無關(guān)，瞬時(shí)功率有限，故平穩(wěn)9、若正態(tài)隨機(jī)信號(hào)9、若正態(tài)隨機(jī)信號(hào)x(t)的相關(guān)函數(shù)為:①R()bet1;x試分別寫出隨機(jī)變量x(t)試分別寫出隨機(jī)變量x(t),x(t1),x(t2)的協(xié)方差矩陣。解：由已知得解：由已知得()R()mx()R()mxR()xC()R()R()x x x()0R()x當(dāng)R()be2"時(shí)，C()Rx()0R()x現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理課后習(xí)題解答C(0)C①C⑵R(0)R①R⑵XXXXXXCC⑴C(0)C①bR①R(0)R⑴1XXXXXXCX⑵CX①CX(0)RX⑵RX①RX(0)1e11e21e2sin②當(dāng)R()b!^時(shí)，Cxsin②當(dāng)R()b!^時(shí)，Cx())0Rx()RX(0)R⑴R(2) 100XXRX①R(0)R(1)b010XXRX⑵R⑴R(0) 001XXRxC210、如果信號(hào)是實(shí)函數(shù)，在下列函數(shù)中，哪些是功率譜函數(shù)?-2i6323；②e(1)2;)；④——124,-；J6⑤—⑥丁1解：由已知得，S()S(X.x.S()s(xxS()0x實(shí)函數(shù)的功率譜函數(shù)為實(shí)偶函數(shù)，))應(yīng)滿足:(a),S2()S()S()(d)xxx(c)則可批判斷⑤為功率譜函數(shù)，其中①不滿足(d);②不滿足(a);③SX(0)(0)0不滿足(c);④不滿足(b);⑥不滿足(a)。11、設(shè)x