工程數(shù)學(xué)近世代數(shù)

工程數(shù)學(xué)近世代數(shù)第一頁，共六十八頁，2022年，8月28日2代數(shù)結(jié)構(gòu)部分第4章知識準(zhǔn)備第5章群第6章環(huán)和域第二頁，共六十八頁，2022年，8月28日3第4章知識準(zhǔn)備二元運(yùn)算定義及其實(shí)例運(yùn)算的表示二元運(yùn)算的性質(zhì)交換律、結(jié)合律、消去律分配律二元運(yùn)算的特異元素單位元零元可逆元素及其逆元第三頁，共六十八頁，2022年，8月28日4二元運(yùn)算的定義及其實(shí)例定義設(shè)S為集合,映射f：S×S→S稱為S上的二元運(yùn)算,簡稱為二元運(yùn)算.也稱S對f

封閉.例1(1)N上的加法、乘法.(2)Z上：加法、減法、乘法.

(3)非零實(shí)數(shù)集R*上的二元運(yùn)算:乘法、除法.(4)設(shè)S={a1,a2,…,an},ai

°aj

=ai，

°為S上二元運(yùn)算.

第四頁，共六十八頁，2022年，8月28日5二元運(yùn)算的實(shí)例（續(xù)）

(5)設(shè)Mn(R)表示所有n階(n≥2)實(shí)矩陣的集合，即矩陣加法和乘法都是Mn(R)上的二元運(yùn)算.(6)冪集P(S)上的二元運(yùn)算：∪,∩,－,.(7)SS

為S上的所有函數(shù)的集合：合成運(yùn)算°.

第五頁，共六十八頁，2022年，8月28日6二元運(yùn)算的表示算符：°,?,·,,等符號表示二元運(yùn)算對二元運(yùn)算°，如果x與y運(yùn)算得到z，記做

x°y=z；表示二元或一元運(yùn)算的方法：公式、

運(yùn)算表第六頁，共六十八頁，2022年，8月28日7公式表示

例2設(shè)R

為實(shí)數(shù)集合，如下定義

R

上的二元運(yùn)算?：x,y∈R,x?y=x.那么3?4=30.5?(-3)=0.5運(yùn)算表（表示有窮集上的二元運(yùn)算）

二元運(yùn)算的表示（續(xù)）第七頁，共六十八頁，2022年，8月28日8運(yùn)算表的形式

°

a1

a2

…

an

a1a2...ana1°a1

a1°a2

…

a1°ana2°a1

a2°a2

…

a2°an.........an°a1

an°a2

…

an°an

第八頁，共六十八頁，2022年，8月28日9運(yùn)算表的實(shí)例（續(xù)）例3Z5={0,1,2,3,4},模5加法的運(yùn)算表

0123401234

0123412340234013401240123第九頁，共六十八頁，2022年，8月28日10二元運(yùn)算的性質(zhì)

定義設(shè)°

為S上的二元運(yùn)算,(1)如果對于任意的x,yS有

x°

y=y°

x,

則稱運(yùn)算在S上滿足交換律.(2)如果對于任意的x,y,z∈S有

(x°

y)°

z=x°

(y

°

z),

則稱運(yùn)算在S上滿足結(jié)合律.

(3)

如果對于任意的x,y,zS，若x°

y=x°

z，則y=z

若y°

x=z°

x,則y=z

那么稱°運(yùn)算滿足消去律.第十頁，共六十八頁，2022年，8月28日11消去律實(shí)例:Z,Q,R關(guān)于普通加法和乘法滿足消去律.Mn(R)關(guān)于矩陣加法滿足消去律，但是關(guān)于矩陣乘法不滿足消去律.Zn關(guān)于模n加法滿足消去律，當(dāng)n為素數(shù)時關(guān)于模n乘法滿足消去律.當(dāng)n為合數(shù)時關(guān)于模n乘法不滿足消去律.第十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日12二元運(yùn)算的性質(zhì)（續(xù)）

定義設(shè)°

和?為S上兩個不同的二元運(yùn)算,

如果

x,y,z∈S有

(x?y)°

z=(x°

z)?(y°

z)

z°(x?y)=(z°

x)?(z°

y)

則稱°

運(yùn)算對?運(yùn)算滿足分配律.

第十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日13實(shí)例分析集合運(yùn)算分配律

Z,Q,R普通加法+與乘法對+可分配+對不分配

Mn(R)矩陣加法+與乘法對+可分配+對不分配Z,Q,R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集；Mn(R)為n階實(shí)矩陣集合,n2；第十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日14二元運(yùn)算的特異元素單位元定義設(shè)°為S上的二元運(yùn)算,如果存在eS，使得對任意x∈S都有

e

°

x=x

°

e

=x，則稱e是S中關(guān)于

°

運(yùn)算的單位元.單位元也叫做幺元.定理若S中關(guān)于運(yùn)算存在單位元，則單位元是唯一的.第十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日15二元運(yùn)算的特異元素（續(xù)）零元設(shè)

°

為S上的二元運(yùn)算,

如果存在θ∈S，使得對任意x∈S都有

θ°

x=x°θ

=θ

)，則稱θ是S中關(guān)于°

運(yùn)算的零元.定理若S中關(guān)于運(yùn)算存在零元，則零元是唯一的.第十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日16二元運(yùn)算的特異元素（續(xù)）可逆元素及其逆元

令e為S中關(guān)于運(yùn)算°的單位元.對于x∈S，如果存在y∈S使得

y°

x=x

°

y=e，則稱y是x的逆元.如果x的逆元存在，則唯一，記為x-1,稱x是可逆的.第十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日17實(shí)例分析集合運(yùn)算單位元零元逆元Z,Q,R普通加法+0無X的逆元x普通乘法10X的逆元x1(x-1屬于給定集合)Mn(R)矩陣加法+n階全0矩陣無X逆元X矩陣乘法n階單位矩陣n階全0矩陣X的逆元X1（X是可逆矩陣）P(B)并B的逆元為交BB的逆元為B對稱差無X的逆元為X第十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日18例題分析解(1)°

運(yùn)算可交換，可結(jié)合.任取x,yQ,

x°

y=x+y+2xy=y+x+2yx=y°

x,

任取x,y,zQ,(x

°

y)°

z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z

=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyzx°

(y°

z)=x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz

=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz例4設(shè)°

運(yùn)算為Q上的二元運(yùn)算，x,yQ,x°y=x+y+2xy,(1)°運(yùn)算是否滿足交換和結(jié)合律?說明理由.(2)求°

運(yùn)算的單位元、零元和所有可逆元.第十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日19給定x，設(shè)x的逆元為y,則有x°

y=0成立，即

x+y+2xy=0(x

=1/2)因此當(dāng)x

1/2時，是x的逆元.例題分析（續(xù)）(2)設(shè)°運(yùn)算的單位元和零元分別為e和，則對于任意x有x°e=x成立，即

x+e+2xe=x

e=0由于°

運(yùn)算可交換，所以0是幺元.對于任意x有x°=成立，即

x++2x=

x+2x=0

=1/2第十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日20代數(shù)系統(tǒng)定義與實(shí)例定義

非空集合S和S上k個一元或二元運(yùn)算f1,f2,…,fk組成的系統(tǒng)稱為一個代數(shù)系統(tǒng),簡稱代數(shù)，記做

V=<S,f1,f2,…,fk>.

第二十頁，共六十八頁，2022年，8月28日21實(shí)例<N,+>,<Z,+,·>,<R,+,·>是代數(shù)系統(tǒng)，+和·分別表示普通加法和乘法.<Mn(R),+,·>是代數(shù)系統(tǒng)，+和·分別表示n階(n≥2)實(shí)矩陣的加法和乘法.<Zn,,>是代數(shù)系統(tǒng)，Zn＝{0,1,…,n-1}，和分別表示模n的加法和乘法，x,y∈Zn，

xy=(x＋y)modn，xy=(xy)modn<P(S),∪,∩,~>也是代數(shù)系統(tǒng)，∪和∩為并和交，~為絕對補(bǔ)第二十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日225.1

群的定義與性質(zhì)5.2子群5.3循環(huán)群5.4置換群第5章群第二十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日235.1群的定義及性質(zhì)群的定義群中的相關(guān)概念有限群、無限群與群的階Abel群群中元素的冪元素的階群的性質(zhì)冪運(yùn)算規(guī)則、群方程的解消去律群的運(yùn)算表的排列第二十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日24群的定義定義設(shè)G是非空集合，°為G上的二元運(yùn)算.如果

(1)

此運(yùn)算是封閉的；（2）此運(yùn)算滿足結(jié)合律；（3）存在單位元e∈G，即對任意x∈G，有

e°x=x°e

=x（4）對G中的任何元素x都有x1∈G，即x1°x=x°x1

=e則稱G關(guān)于°是

群.有時也記作<G,°

>第二十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日25群的實(shí)例<Z,+>,<Q,+>,<R,+>是群；

<Z+,+>,<N,+>不是群.(2)<Mn(R),+>是群，而<Mn(R),·>不是群.(3)<Zn,>是群.Zn={0,1,…,n1}，為模n加.第二十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日26Klein四元群設(shè)G={e,a,b,c}，G上的運(yùn)算由下表給出，稱為Klein四元群

eabc

eabc

eabcaecbbceacbae運(yùn)算表特征：對稱性---運(yùn)算可交換主對角線元素都是幺元

---每個元素是自己的逆元

a,b,c中任兩個元素運(yùn)算都等于第三個元素.

第二十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日27二、群中的相關(guān)概念若群G是有窮集，則稱G是有限群，否則稱為無限群.群G的所含元素的個數(shù)稱為群G的階有限群G的階記作|G|.若群G中的二元運(yùn)算是可交換的，則稱G為交換群或阿貝爾(Abel)群.

第二十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日28實(shí)例

<Z,+>和<R,+>是無限群<Zn,>是有限群，也是n階群Klein四元群G={e,a,b,c}是4階群

上述群都是交換群

n階(n≥2)實(shí)可逆矩陣集合關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成的群是非交換群.第二十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日29

實(shí)例在<Z3,>中有23=(21)3=13=111=0

在<Z,+>中有

(2)3=23=2+2+2=6

定義設(shè)G是群，x∈G，n∈Z，則x的

n次冪

xn定義為

二、群中的相關(guān)概念第二十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日30設(shè)G是群，x∈G，使得等式xk=e成立的最小正整數(shù)k稱為x的階（或周期），記作|x|=k，稱x為k階元.若不存在這樣的正整數(shù)k，則稱x為無限階元.在<Z6,>中，2和4是3階元，3是2階元，1和5是6階元，0是1階元在<Z,+>中，0是1階元，其它整數(shù)的階都不存在.二、群中的相關(guān)概念第三十頁，共六十八頁，2022年，8月28日31三、群的性質(zhì)---冪運(yùn)算規(guī)則定理1

設(shè)G為群,則G中的冪運(yùn)算滿足：

(1)x∈G，(x1)1

=x.(2)x,y∈G，(xy)1=y1x1.(3)x∈G，xnxm=xn+m，n,m∈Z.(4)x∈G，(xn)m=xnm，n,m∈Z.注：

(xy)n

=(xy)(xy)…(xy),是n個xy運(yùn)算，G為交換群，才有(xy)n=xnyn.

第三十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日32三、群的性質(zhì)---群方程存在唯一解定理2

G為群，a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且僅有惟一解.

a1b是ax=b的解.ba1

是ya=b的唯一解.第三十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日33三、群的性質(zhì)---消去律定理3

G為群，則G適合消去律，即a,b,c∈G

有(1)若ab=ac，則b=c.(2)若ba=ca，則b=c.

第三十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日34三、群的性質(zhì)---運(yùn)算表排列規(guī)則定理4設(shè)G為有限群，則G的運(yùn)算表中每行每列都是G中元素的一個置換，且不同的行（或列）的置換都不相同.注意：必要條件，用于判斷一個運(yùn)算表不是群.

abcd

abcd

bcda

bacdcdbadbac

abcd

abcd

abcdcdabbcdadabc第三十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日355.1

群的定義與性質(zhì)5.2子群5.3循環(huán)群5.4置換群第5章群第三十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日36子群定義子群的判定定理重要的幾類子群第三十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日37子群的定義定義設(shè)G是群，H是G的非空子集，如果H關(guān)于G中的運(yùn)算構(gòu)成群，則稱H是G的子群,記作

H≤G.若H是G的子群，且HG，則稱H是G的真子群，記作H<G.實(shí)例nZ（n是自然數(shù)）是整數(shù)加群<Z,+>的子群.當(dāng)n≠1時,nZ

是

Z的真子群.

對任何群G都存在子群.G和{e}都是G的子群，稱為G的平凡子群.

第三十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日38子群判定定理判定定理1設(shè)G為群，H是G的非空子集.H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)

x,y∈H有xy1∈H.

判定定理2設(shè)G為群，H是G的非空子集.H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)

x,y∈H有xy∈H且x1∈H.

第三十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日39重要子群生成子群定義設(shè)G為群，a∈G，令H={ak|k∈Z

}，則H是G的子群，稱為由a生成的子群，記作<a>.

證首先由a∈<a>知道<a>≠.任取am,al∈<a>，則am(al)1=amal=aml∈<a>根據(jù)判定定理可知<a>≤G.

第三十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日40實(shí)例

整數(shù)加群<Z,+>，由2生成的子群是<2>={2k|k∈Z

}=2Z模6加群<Z6,>中由2生成的子群<2>={0,2,4}Klein四元群G={e,a,b,c}的所有生成子群是：<e>={e},<a>={e,a},<b>={e,b},<c>={e,c}.第四十頁，共六十八頁，2022年，8月28日41群G的中心C設(shè)G為群,令C={a|a∈G且x∈G有ax=xa}，則C是G的子群，稱為G的中心.證e∈C.C是G的非空子集.

任取a,b∈C，證明ab1與G中所有的元素都可交換.

x∈G，有(ab1)x=ab1x=ab1(x1)1=a(x1b)1=a(bx1)1=a(xb1)=(ax)b1=(xa)b1=x(ab1)由判定定理可知C≤G.

重要子群（續(xù)）第四十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日425.1

群的定義與性質(zhì)5.2子群5.3循環(huán)群5.4置換群第5章群第四十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日43循環(huán)群定義循環(huán)群的分類生成元循環(huán)群的子群第四十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日44循環(huán)群的定義定義設(shè)G是群，若存在a∈G使得

G={ak

|k∈Z

}則稱G是循環(huán)群，記作G=<a>，稱a為G的生成元.

實(shí)例整數(shù)加群G=<Z,+>=<1>=<-1>模6加群G=<Z6,>=<1>=<5>第四十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日45循環(huán)群的分類設(shè)循環(huán)群G=<a>，根據(jù)生成元a的階可以分成兩類：n階循環(huán)群和無限循環(huán)群.設(shè)G=<a>是循環(huán)群，若a是n階元，則

G={a0=e,a1,a2,…,an1}那么|G|=n，稱G為n階循環(huán)群.若a是無限階元，則

G={a±0=e,a±1,a±2,…}這時稱G為無限循環(huán)群.

第四十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日46循環(huán)群的生成元定理設(shè)G=<a>是循環(huán)群.

(1)若G是無限循環(huán)群，則G只有a和a1兩個生成元.

(2)若G是n階循環(huán)群，則ar是G的生成元當(dāng)且僅當(dāng)

r是小于等于n且與n互質(zhì)的正整數(shù).第四十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日47設(shè)G={e,a,…,a11}是12階循環(huán)群，則小于或等于12且與12互素的數(shù)是1,5,7,11,由定理可知a，a5，a7和a11是G的生成元.(2)設(shè)G=<Z9,>是模9的整數(shù)加群，則小于或等于9且與9互素的數(shù)是1,2,4,5,7,8.根據(jù)定理，G的生成元是1,2,4,5,7和8.(3)設(shè)G=3Z={3z|z∈Z},G上的運(yùn)算是普通加法.那么G只有兩個生成元：3和3.生成元的實(shí)例第四十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日48循環(huán)群的子群定理設(shè)G=<a>是循環(huán)群.

設(shè)G=<a>是循環(huán)群，則G的子群仍是循環(huán)群.若G=<a>是無限循環(huán)群，則G的子群除{e}以外都是無限循環(huán)群.(3)若G=<a>是n階循環(huán)群，則對n的每個正因子d，G恰好含有一個d階子群.第四十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日49（1）G=<Z,+>是無限循環(huán)群，對于自然數(shù)m∈N，1的m次冪是m，m生成的子群是mZ，m∈N.即<0>={0}=0Z<m>={mz|z∈Z

}=mZ，m>0(2)G=Z12是12階循環(huán)群.12的正因子是1,2,3,4,6和12，因此G的子群是：1階子群<12>=<0>={0}，2階子群<6>={0,6}3階子群<4>={0,4,8}，4階子群<3>={0,3,6,9}6階子群<2>={0,2,4,6,8,10}，12階子群<1>=Z12

子群的實(shí)例第四十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日505.1

群的定義與性質(zhì)5.2子群5.3循環(huán)群5.4置換群第5章群第五十頁，共六十八頁，2022年，8月28日51置換群置換及置換的表示N次對稱群第五十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日52n元置換的定義定義設(shè)S={1,2,…,n},S上的雙射函數(shù):S→S

稱為S上的n元置換.一般將n元置換σ記為

例如S={1,2,3,4,5},則

都是5元置換.第五十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日53n元置換的表示置換符號表示輪換表示對換表示第五十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日54k階輪換與對換定義設(shè)σ是S={1,2,…,n}上的n元置換.若

σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,…,σ(ik1)=ik,σ(ik)=i1且保持S中的其他元素不變，則稱σ為S上的k次輪換，記作(i1i2…ik).若k=2，稱σ為S上的對換.例如5元置換分別是5階和2階輪換σ=(12345),τ=(13),其中τ也叫做對換第五十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日55n元置換分解為輪換設(shè)S={1,2,…,n}，對于任何S上的n元置換σ，一定可以寫成若干個輪換的乘積σ=σ1

σ2…σt第五十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日56分解實(shí)例例設(shè)S={1,2,…,8},

σ=(15236)(4)(78)=(15236)(78)τ=(18342)(567)注意：在輪換分解式中，1階輪換可以省略.第五十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日57n元置換的乘法與求逆兩個n元置換的乘法就是函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算n

元置換的求逆就是求反函數(shù).例設(shè)

使用輪換表示是：

=(154)(23)(1423)=(152)=(1423)(154)(23)=(354)-1=(154)-1(23)-1=(451)(23)=(145)(23)第五十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日58n元置換群及其實(shí)例考慮所有的n元置換構(gòu)成的集合Sn

（1）Sn關(guān)于置換的乘法是封閉的.（2）置換的乘法滿足結(jié)合律.（3）恒等置換(1)是Sn

中的單位元.（4）對于任何n元置換σ∈Sn，逆置換σ1是σ的逆元.這就證明了Sn關(guān)于置換的乘法構(gòu)成一個群，稱為n次對稱群.n元對稱群的子群稱為n次置換群.

例設(shè)S={1,2,3}，3次對稱群

S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}第五十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日59S3的運(yùn)算表

(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)

(1)(12)(13)(23)(123)(132)(12)(1)(123)(132)(13)(23)(13)(132)(1)(123)(23)(12)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(123)(23)(12)(13)(132)(1)(132)(13)(23)(12)(1)(123)第五十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日60S3的子群S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，A3=<(123)>={(1),(123),(132)}，<(1)>={(1)}<(12)>={(1),(12)},<(13)>={(1),(13)},<(23)>={(1),(23)}第六十頁，共六十八頁，2022年，8月28日61第6章環(huán)與域環(huán)的定義與實(shí)例特殊的環(huán)交換環(huán)含幺環(huán)無零因子環(huán)整環(huán)域第六十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日62環(huán)的定義定義

設(shè)<R,+,·>是代數(shù)系統(tǒng)，+和·是二元運(yùn)算.如果滿足以下條件:（1）<R,+>構(gòu)成交換群（2）<R,·>構(gòu)成半群（封閉，結(jié)合律）（3）·運(yùn)算關(guān)于+運(yùn)算適合分配律則稱<R,+,·>是一個環(huán).第六十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日63環(huán)的實(shí)例

(1)整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集關(guān)于普通的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，分別稱為整數(shù)環(huán)Z，有理數(shù)環(huán)Q，實(shí)數(shù)