平穩(wěn)序列參數(shù)表征

平穩(wěn)序列參數(shù)表征第一頁，共八十頁，2022年，8月28日第一節(jié)平穩(wěn)序列均值的估計若為平穩(wěn)序列，均值函數(shù)與t無關(guān)，記為。記為序列的容量為n的樣本序列。第二頁，共八十頁，2022年，8月28日

回顧：當(dāng)為獨(dú)立同分布序列時，根據(jù)大數(shù)定律和中心極限定理，可知的極限性質(zhì)。主要有：(1)相合性設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,記，則,第三頁，共八十頁，2022年，8月28日

(2)漸近正態(tài)性設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，同分布，且,則當(dāng)時

的分布趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，也就是

其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù)第四頁，共八十頁，2022年，8月28日

設(shè)是平穩(wěn)序列的觀測值，均值函數(shù)

的點(diǎn)估計，由下式表示出，。第五頁，共八十頁，2022年，8月28日

一相合性(consistency)定義1.1設(shè)統(tǒng)計量是的估計，在統(tǒng)計學(xué)中有如下的定義：(1)如果，則稱是的無偏估計。(2)如果當(dāng)時，，則稱是

的漸進(jìn)無偏估計。(3)如果依概率收斂到，就稱是的相合估計。(4)如果幾乎處處(a.s.)收斂到，就稱是的強(qiáng)相合估計。第六頁，共八十頁，2022年，8月28日

定理1.1設(shè)平穩(wěn)序列有均值和自協(xié)方差函數(shù)，若以作為的估計，那么(1)是的無偏估計,(2)若，則是的相合估計。即當(dāng)時，有或(3)如果是嚴(yán)平穩(wěn)遍歷序列，則是的強(qiáng)相合估計。第七頁，共八十頁，2022年，8月28日

二中心極限定理---漸近正態(tài)(AsymptoticNormality)回顧：如果是獨(dú)立同分布序列，當(dāng)時，從中心極限定理知道依分布收斂到。利用這個結(jié)果可以給出的置信度為0.95的漸近置信區(qū)間：

當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差未知和n較大時,可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替。可解決有關(guān)均值的假設(shè)檢驗(yàn)。第八頁，共八十頁，2022年，8月28日

定理1.2若

其中為正態(tài)白噪聲序列，則漸近正態(tài)N(0,v)分布，記作

其中

第九頁，共八十頁，2022年，8月28日

定理1.3設(shè)是平穩(wěn)過程

其中,是獨(dú)立同分布的，則當(dāng)時，依分布收斂到正態(tài)分布N(0,v)，記作

其中或者說漸近正態(tài)分布。第十頁，共八十頁，2022年，8月28日

注：定理1.3對求關(guān)于的大樣本近似置信區(qū)間是有用的，如果過程是平穩(wěn)Gauss過程，則對有限n,

的精確分布

如果已知，則上式給出的精確置信界，如果未知，有觀測值估計量則只能給出近似置信界。第十一頁，共八十頁，2022年，8月28日

三的模擬計算我們考慮標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲和AR(2)模型，

從計算機(jī)上產(chǎn)生n=1000個觀測數(shù)據(jù)對于n=1,2,…,1000分別計算出,同時還計算出的相應(yīng)樣本均值，這時真值為。

第十二頁，共八十頁，2022年，8月28日

模擬計算1當(dāng)時，n1030501000.19410.05160.05430.03390.30100.13700.17000.0495n3005007001000-0.0226-0.0181-0.0140-0.0105-0.0700-0.0613-0.0508-0.0467第十三頁，共八十頁，2022年，8月28日

模擬計算2當(dāng)時，n1030501000.23650.12730.14650.06300.27750.15430.18490.0850n3005007001000-0.0194-0.0143-0.0206-0.0069-0.0283-0.0205-0.0301-0.0102第十四頁，共八十頁，2022年，8月28日第二節(jié)自協(xié)方差與自相關(guān)函數(shù)

的估計一估計方法根據(jù)零均值的平穩(wěn)序列的樣本值序列

,估計它的自協(xié)方差函數(shù)由兩種簡單方法：

(1)(2.1)(2)(2.2)第十五頁，共八十頁，2022年，8月28日

兩種不同估計的差異(1)是的無偏估計，而不是的無偏估計(k=0例外),但當(dāng)時,是漸近無偏的。(2)由(2.1)定義的樣本自協(xié)方差函數(shù)能夠使得樣本自協(xié)方差矩陣

不僅是對稱方陣，而且是非負(fù)定的。第十六頁，共八十頁，2022年，8月28日

定理2.1設(shè)為零均值平穩(wěn)序列，是長度為n的樣本，如(2.1)定義，記

則對任意，有(非負(fù)定)。第十七頁，共八十頁，2022年，8月28日

注1：在定理2.1中，若，則對任意，(正定)a.s.注2：對于由(2.2)定義的，雖然是的無偏估計，但序列并不像具有正定性。第十八頁，共八十頁，2022年，8月28日

例2.1：設(shè)為平穩(wěn)序列,是長度為n=3的樣本，為非零實(shí)數(shù)，經(jīng)計算故樣本協(xié)方差矩陣為取，則取，則故由(2.2)定義的樣本協(xié)方差為不定序列。第十九頁，共八十頁，2022年，8月28日

當(dāng)平穩(wěn)序列的均值不為零時，我們用以下方法估計的自協(xié)方差函數(shù)，

(2.3)

式中為的樣本均值。第二十頁，共八十頁，2022年，8月28日

在的估計方法確定后，相應(yīng)的序列的自相關(guān)函數(shù)用以下兩種方法估計,即(2.4)

(2.5)并且稱為樣本自相關(guān)函數(shù)。第二十一頁，共八十頁，2022年，8月28日

二的相合性定理2.2設(shè)平穩(wěn)序列的樣本自協(xié)方差函數(shù)和由(2.1),(2.4)定義，則(1)分別是的漸近無偏估計。(2)分別是的弱相合估計,即

其中表示依概率收斂。(3)如果是嚴(yán)平穩(wěn)遍歷序列,則對每個確定的k,和分別是和的強(qiáng)相合估計，即第二十二頁，共八十頁，2022年，8月28日

注：從這個定理知道，只要是線性平穩(wěn)序列，則樣本自協(xié)方差函數(shù)是漸近無偏估計，特別當(dāng)是AR(p),MA(q)或ARMA(p,q)序列,是的漸近無偏估計。第二十三頁，共八十頁，2022年，8月28日

三.的漸近分布1.漸近方差定理2.3若為如下的平穩(wěn)序列

式中為獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列，且，則(1)與的協(xié)方差有漸近表達(dá)式第二十四頁，共八十頁，2022年，8月28日

(2)樣本自相關(guān)函數(shù)和的協(xié)方差有以下漸近表達(dá)式

注：當(dāng)為正態(tài)序列時，,從而有第二十五頁，共八十頁，2022年，8月28日

2漸近正態(tài)分布(中心極限定理)定理2.4在定理1.6的相同條件下，令對于任意正整數(shù)k，具有聯(lián)合漸近正態(tài)分布，即其中，G為(k+1)階對稱方陣，其i行j列元素為

第二十六頁，共八十頁，2022年，8月28日

類似地，

其中R為k階對稱方陣,其i行j列元素為（2.6）稱(2.6)為Bartlett公式。第二十七頁，共八十頁，2022年，8月28日

該定理應(yīng)用的例子：sample3.1例2.2（獨(dú)立白噪聲）設(shè)，如果，則，由Bartlett公式，

故，當(dāng)n充分大時,有

第二十八頁，共八十頁，2022年，8月28日例:產(chǎn)生樣本長度n=400的白噪聲序列,樣本自相關(guān)函數(shù)如下圖(sample3.1)：

19/20=95%第二十九頁，共八十頁，2022年，8月28日第三十頁，共八十頁，2022年，8月28日

例2.3對MA(q)序列，利用定理知,如果白噪聲是獨(dú)立同分布的，只要m>q，由Bartlett公式知,則

于是可作假設(shè)檢驗(yàn)：是MA(q)下，對m>q有第三十一頁，共八十頁，2022年，8月28日

檢驗(yàn)：

使用：

q=0,q=1,第三十二頁，共八十頁，2022年，8月28日

注:一般地，常用或作為與進(jìn)行比較，以檢驗(yàn)數(shù)據(jù)由MA(1)過程產(chǎn)生。第三十三頁，共八十頁，2022年，8月28日

例2.4(一階自回歸過程)對平穩(wěn)AR(1)過程

用Bartlett公式，并注意到,則的漸近方差為

當(dāng)i比較大時第三十四頁，共八十頁，2022年，8月28日

四.隨機(jī)模擬AR(2)模型：其中為獨(dú)立同分布正態(tài)白噪聲。分別利用前100，500，900數(shù)據(jù)計算，結(jié)果如圖:第三十五頁，共八十頁，2022年，8月28日

第三十六頁，共八十頁，2022年，8月28日

五.遍歷性(Erdogic)一個時間序列的期望和第j個自協(xié)方差視作如下意義上的總體平均，即平穩(wěn)序列的一個樣本是的一個實(shí)現(xiàn)，而不是某個特定時刻t的的簡單抽樣，故不能直接引用統(tǒng)計中的大數(shù)定律的結(jié)果。第三十七頁，共八十頁，2022年，8月28日

對于從隨機(jī)序列中得到的樣本量為N的實(shí)現(xiàn)，，可計算：樣本均值：(2.7)樣本協(xié)方差：(2.8)它們不是一個總體平均而是一個時間平均。第三十八頁，共八十頁，2022年，8月28日

一個平穩(wěn)過程被稱作是關(guān)于均值遍歷的，如果當(dāng)時，(2.7)依概率收斂于。如果一個平穩(wěn)過程的自協(xié)方差滿足

則關(guān)于均值是遍歷的。一個平穩(wěn)過程，如果對所有的j都成立，則稱該過程是關(guān)于二階矩遍歷的。第三十九頁，共八十頁，2022年，8月28日

若是一個正態(tài)平穩(wěn)過程時，條件足可以保證關(guān)于所有階矩的遍歷性。物理上的解釋：時間平均=總體平均這一結(jié)果表明：求平穩(wěn)序列的統(tǒng)計特征矩只需序列的一次實(shí)現(xiàn)，而不需要多次實(shí)現(xiàn)。第四十頁，共八十頁，2022年，8月28日

例2.5：一個平穩(wěn)的但非遍歷的過程設(shè)第i個實(shí)現(xiàn)的均值是由分布生成的，其中是獨(dú)立于的均值為0，方差為的正態(tài)白噪聲過程。第四十一頁，共八十頁，2022年，8月28日第四十二頁，共八十頁，2022年，8月28日

第三節(jié)偏相關(guān)函數(shù)估計偏相關(guān)函數(shù)的估計的遞推公式，第四十三頁，共八十頁，2022年，8月28日

定理3.1設(shè)為正態(tài)平穩(wěn)序列，則(1)

(2)

(3)當(dāng)k>p時，的偏相關(guān)函數(shù)的估計為隨機(jī)向量為漸近獨(dú)立且漸近分布為，為M階單位陣，M為大于1的任意給定的正整數(shù)。第四十四頁，共八十頁，2022年，8月28日第四節(jié)模型的初步分析一.獨(dú)立序列的判別方法(白噪聲)設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)序列，而且,從而是白噪聲序列。

第四十五頁，共八十頁，2022年，8月28日

1.白噪聲的正態(tài)分布檢驗(yàn)法

根據(jù)的樣本數(shù)據(jù)列計算出樣本自相關(guān)函數(shù)，它們的誤差為

由Bartlett公式，可知其中H的第i行第j列的元素為，于是有，第四十六頁，共八十頁，2022年，8月28日

于是對于j=1,2,…,k,我們有取m=1時，，即在中約有68.3%的點(diǎn)值落在區(qū)間內(nèi);取m=2時，，即在中約有95.44%的點(diǎn)落在區(qū)間內(nèi);取m=3時，，即在中約有99.74%的點(diǎn)落在區(qū)間內(nèi)(稱為原則)。第四十七頁，共八十頁，2022年，8月28日

換一種角度，令表示滿足下面條件的j的個數(shù)(j=1,2,…,k),

對于原假設(shè)：是獨(dú)立白噪聲下，對較大的n，應(yīng)當(dāng)有95%的小于1.96，所以當(dāng)取值大于0.05值，應(yīng)當(dāng)拒絕是白噪聲的假設(shè)。第四十八頁，共八十頁，2022年，8月28日

例4.1(1)樣本長度n=400,，取m=2,這時

第四十九頁，共八十頁，2022年，8月28日

也可取m=3的檢驗(yàn)方法，則第五十頁，共八十頁，2022年，8月28日

也可取m=1的檢驗(yàn)方法，則第五十一頁，共八十頁，2022年，8月28日

例4.2樣本長度n=400,

AR(1)序列第五十二頁，共八十頁，2022年，8月28日第五十三頁，共八十頁，2022年，8月28日

例4.3樣本長度n=400,

MA(1)序列：第五十四頁，共八十頁，2022年，8月28日

二.白噪聲的檢驗(yàn)如果是獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，它們的平方和服從自由度為k的分布對于獨(dú)立同分布的白噪聲，由樣本自相關(guān)函數(shù)的中心極限定理，當(dāng)n充分大后，近似服從k維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，于是，

近似服從分布，這里第五十五頁，共八十頁，2022年，8月28日

由于在原假設(shè)下，所以當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計量的取值較大時應(yīng)當(dāng)拒絕原假設(shè)，否則沒理由拒絕原假設(shè)。具體地，給定檢驗(yàn)水平，查k個自由度的分布表得到臨界值滿足

當(dāng)實(shí)際計算結(jié)果時，應(yīng)當(dāng)否定是獨(dú)立白噪聲的原假設(shè),當(dāng)時，不能否定是獨(dú)立白噪聲序列。第五十六頁，共八十頁，2022年，8月28日

例4.4（例4.1的續(xù)）對于白噪聲序列，有

故，不能否定原假設(shè)。第五十七頁，共八十頁，2022年，8月28日

對于AR(1)序列有

故，否定原假設(shè)。第五十八頁，共八十頁，2022年，8月28日

例4.5對于AR(1)序列樣本數(shù)n=400,重復(fù)n=500，得到否定原假設(shè)的比例為，(1)m=5,b0.00.10.20.30.50.70.80.9p4.5%26%88.5%99.5%100%100%100%100%第五十九頁，共八十頁，2022年，8月28日

(2)m=20,b0.00.10.20.30.50.70.80.9p4%13.5%60%96.5%100%100%100%100%第六十頁，共八十頁，2022年，8月28日

例4.6MA(1)序列：,樣本數(shù)n=400,重復(fù)n=500，得到否定原假設(shè)的比例為，(1)m=5,

b0.00.10.20.30.50.70.80.9p1.5%24%86.5%100%100%100%100%100%第六十一頁，共八十頁，2022年，8月28日

(2)m=20，b0.00.10.20.30.50.70.80.9p2.5%11.4%61%97%100%100%100%100%第六十二頁，共八十頁，2022年，8月28日

注1.上述討論的問題敘述的依據(jù)雖然都基于是獨(dú)立同分布的白噪聲假設(shè)，但在實(shí)際問題中，這個假設(shè)條件可以放寬，即對于假設(shè)：是白噪聲，一般都可采用上面的方法。注2.在實(shí)際問題中，k一般既不能取得過大，亦不能取得太小。一般地，若觀測量較多，k可取或，甚至更小；若觀測量較小，m可取。第六十三頁，共八十頁，2022年，8月28日

二.周期分量與季節(jié)序列的判別方法例4.7：序列其中為某個平穩(wěn)線性序列.記分別表示序列的樣本自協(xié)方差函數(shù)，于是有經(jīng)計算，當(dāng)時，第六十四頁，共八十頁，2022年，8月28日

由平穩(wěn)序列自相關(guān)協(xié)方差函數(shù)的相合性,當(dāng)k很大時，有第六十五頁，共八十頁，2022年，8月28日

例4.8.北京1990.1-2000.12年的氣溫序列sample