推理與證明復(fù)習(xí)小結(jié)

推理與證明復(fù)習(xí)小結(jié)推理與證明推理證明合情推理演繹推理直接證明數(shù)學(xué)歸納法間接證明

比較法類比推理歸納推理

分析法

綜合法

反證法知識結(jié)構(gòu)一.合情推理與演繹推理①歸納是由特殊到一般的推理;②類比是由特殊到特殊的推理;③演繹推理是由一般到特殊的推理.從推理的結(jié)論來看,合情推理的結(jié)論不一定正確,有待證明;演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提為真).“完全歸納推理”與“歸納推理”的區(qū)別3.方法一：累差疊加法4.證為數(shù)為數(shù)證二.綜合法證為數(shù)為數(shù)證證證明:要證只需證只需證只需證只需證因為成立.所以成立.三.分析法適用范圍唯一性問題命題中涉及量詞的問題結(jié)論否定型問題難以判斷、計算、或證明的問題四:反證法練習(xí)1.例2．證明不是有理數(shù)。證明：假定是有理數(shù)，則可設(shè),其中p，q為互質(zhì)的正整數(shù)，2q2=p2，①①式表明p2是偶數(shù)，所以p也是偶數(shù)，于是令p=2l，l是正整數(shù)，代入①式，得q2=2l2，②這樣p，q都有公因數(shù)2，這與p，q互質(zhì)矛盾，因此是有理數(shù)不成立，于是是無理數(shù).例3、設(shè)0<a,b,c<1，求證：(1

a)b,(1

b)c,(1

c)a,不可能同時大于證明：假設(shè)(1

a)b>,(1

b)c>,(1

c)a>,則三式相乘：

(1

a)b?(1

b)c?(1

c)a>①又∵0<a,b,c<1所以同理：以上三式相乘：

(1

a)a?(1

b)b?(1

c)c≤與①矛盾∴原式成立。五.數(shù)學(xué)歸納法證明“恒等式”證明“幾何問題”證明“不等式”證明“整除問題”證明“猜想類問題”例1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：（1）當n=1時，左邊=4，右邊=4，因為左邊=右邊，所以等式是成立的；（2）假設(shè)當n=k時，等式成立，即這就是說，當n=k+1時，等式也成立，由（1）和（2）可以斷定，等式對任何n∈N+都成立。例2.求證:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?3?…

?(2n-1)證明：①n=1時：左邊=1+1=2，右邊=21?1=2，左邊=右邊，等式成立。②假設(shè)當n=k((k∈N）時有：

(k+1)(k+2)…(k+k)=2k?1?3?…?(2n-1),

當n=k+1時：左邊=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)

=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)?

=2k?1?3?…?(2k-1)(2k+1)?2=2k+1?1?3?…?(2k-1)?[2(k+1)-1]=右邊，∴當n=k+1時等式也成立。由①、②可知，對一切n∈N,原等式均成立。例3:平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點,證明交點的個數(shù)f(n)等于n(n-1)/2.證:(1)當n=2時,兩條直線的交點只有1個,又f(2)=2?(2-1)/2=1,因此,當n=2時命題成立.(2)假設(shè)當n=k(k≥2)時命題成立,就是說,平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點個數(shù)f(k)等于k(k-1)/2.以下來考慮平面內(nèi)有k+1條直線的情況.任取其中的1條直線,記作l.由歸納假設(shè),除l以外的其他k條直線的交點個數(shù)f(k)等于k(k-1)/2.另外,因為已知任何兩條直線不平行,所以直線l必與平面內(nèi)其他k條直線都相交,有k個交點.又因為已知任何三條直線不過同一點,所以上面的k個交點兩兩不相同,且與平面內(nèi)其他的k(k-1)/2個交點也兩兩不相同.從而平面內(nèi)交點的個數(shù)是k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2=(k+1)[(k+1)-1]/2.這就是說,當n=k+1時,k+1條直線的交點個數(shù)為:f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.根據(jù)(1)、(2)可知,命題對一切大于1的正整數(shù)都成立.說明:用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題,重難點是處理好當

n=k+1時利用假設(shè)結(jié)合幾何知識證明命題成立.注:在上例的題設(shè)條件下還可以有如下二個結(jié)論:(1)設(shè)這n條直線互相分割成f(n)條線段或射線,---則:f(n)=n2.(2)這n條直線把平面分成(n2+n+2)/2個區(qū)域.練習(xí)1:凸n邊形有f(n)條對角線,則凸n+1邊形的對角線------的條數(shù)f(n+1)=f(n)+_________.n-1練習(xí)2:設(shè)有通過一點的k個平面,其中任何三個平面或三個以上的平面不共有一條直線,這k個平面將空間分成f(k)個區(qū)域,則k+1個平面將空間分成

f(k+1)=f(k)+__________個區(qū)域.2k例4．求證：對于任意的自然數(shù)n，代數(shù)式11n+1+122n-1能被133整除.證明：(1)n=1時，112+12=133能被133整除；(2)假設(shè)n=k時11k+1+122k-1能被133整除則當n=k+1時，

11k+2+122k+1=

由（1）、（2）可知…能被133整除．11k+1×11+11×122k-1-11×122k-1+122k+1

=11(假設(shè))+122k-1(122-11)