定積分幾何應(yīng)用(面積和弧長)

定積分幾何應(yīng)用(面積和弧長)第一頁，共30頁。利用元素法解決:定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在物理上的應(yīng)用定積分的應(yīng)用第二頁，共30頁。定積分的元素法

一、什么問題可以用定積分解決?二、如何應(yīng)用定積分解決問題?第三頁，共30頁。表示為一、什么問題可以用定積分解決?

1)所求量

U

是與區(qū)間[a,b]上的某分布f(x)

有關(guān)的2)U

對區(qū)間[a,b]

具有可加性

,即可通過“分割,近似代替,求和,取極限”定積分定義一個整體量;第四頁，共30頁。二、如何應(yīng)用定積分解決問題?第一步利用“分割,近似代替”求出局部量的微分表達(dá)式第二步利用“求和,取極限”求出整體量的積分表達(dá)式這種分析方法稱為元素法

(或微元分析法

)元素的幾何形狀常取為:條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等近似值精確值第二節(jié)第五頁，共30頁。一、平面圖形的面積二、平面曲線的弧長定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用第六頁，共30頁。一、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線與直線及

x

軸所圍曲則邊梯形面積為A,右下圖所示圖形面積為OO第七頁，共30頁。例1.計算兩條拋物線在第一象限所圍圖形的面積.解:

由得交點(diǎn)O第八頁，共30頁。例2.計算拋物線與直線的面積.解:

由得交點(diǎn)所圍圖形為簡便計算,選取

y

作積分變量,則有O第九頁，共30頁。例3.求橢圓解:

利用對稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)a=b

時得圓面積公式第十頁，共30頁。一般地,當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程給出時,按順時針方向規(guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值則曲邊梯形面積O第十一頁，共30頁。例4.求由擺線的一拱與x

軸所圍平面圖形的面積.解:O第十二頁，共30頁。2.極坐標(biāo)情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為O第十三頁，共30頁。對應(yīng)

從0變例5.計算阿基米德螺線解:到2

所圍圖形面積.O第十四頁，共30頁。心形線例6.計算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對稱性)心形線O第十五頁，共30頁。心形線(外擺線的一種)即點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動畫開始或暫停

尖點(diǎn):

面積:

弧長:參數(shù)的幾何意義第十六頁，共30頁。例7.計算心形線與圓所圍圖形的面積.解:利用對稱性,所求面積第十七頁，共30頁。例8.求雙紐線所圍圖形面積.解:利用對稱性,則所求面積為思考:用定積分表示該雙紐線與圓所圍公共部分的面積.答案:O第十八頁，共30頁。二、平面曲線的弧長定義:

若在弧

AB

上任意作內(nèi)接折線,當(dāng)折線段的最大邊長→0時,折線的長度之和趨向于一個確定的極限,則稱此極限為曲線弧AB

的弧長,即并稱此曲線弧為可求長的.定理:

任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)第十九頁，共30頁。(1)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長第二十頁，共30頁。(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長第二十一頁，共30頁。(3)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:因此所求弧長則得弧長元素(弧微分):(自己驗(yàn)證)第二十二頁，共30頁。例9.

兩根電線桿之間的電線,由于其本身的重量,成懸鏈線.求這一段弧長.解:下垂懸鏈線方程為第二十三頁，共30頁。例10.

計算擺線一拱的弧長.解:第二十四頁，共30頁。例11.

求阿基米德螺線相應(yīng)于0≤≤2一段的弧長.解:第二十五頁，共30頁。內(nèi)容小結(jié)1.平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2.平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程弧微分:直角坐標(biāo)方程上下限按順時針方向確定直角坐標(biāo)方程注意:求弧長時積分上下限必須上大下小第二十六頁，共30頁。思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積A

及邊界長s.提示:

交點(diǎn)為弧線段部分直線段部分以x

為積分變量,則要分兩段積分,故以

y為積分變量.第二十七頁，共30頁。解：2.

求曲線所圍圖形的面積.顯然面積為同理其他.又故在區(qū)域第二十