控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性第一頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日在本章中，對(duì)于實(shí)際非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析僅限于幾種簡(jiǎn)單的情況。4.3Lyapunov穩(wěn)定性分析4.2Lyapunov穩(wěn)定性理論4.1概述本章結(jié)構(gòu)如下4.4非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析第二頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法很多。然而，對(duì)于非線性系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)，這些穩(wěn)定性分析方法實(shí)現(xiàn)起來(lái)可能非常困難，甚至不可能。Lyapunov穩(wěn)定性分析是解決非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題的一般方法。

4.1概述Lyapunov提出了兩類解決穩(wěn)定性問(wèn)題的方法，即Lyapunov第一法和Lyapunov第二法。

☆第二法則是一種定性方法

它無(wú)需求解困難的非線性微分方程，轉(zhuǎn)而構(gòu)造一個(gè)

Lyapunov函數(shù)，研究其正定性及其對(duì)時(shí)間沿系統(tǒng)方程解的全導(dǎo)數(shù)的負(fù)定或半負(fù)定，得到穩(wěn)定性結(jié)論。第一法通過(guò)求解微分方程的解來(lái)分析運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，即通過(guò)分析非線性系統(tǒng)線性化方程特征值分布來(lái)判別原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性；第三頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日4.2Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問(wèn)題則稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)或平衡點(diǎn)。假設(shè)在給定初始條件下，上式有唯一解且當(dāng)時(shí)，。于是式中為維狀態(tài)向量，是變量,,…,和t的n維向量函數(shù)。考慮如下非線性系統(tǒng)4.2.1平衡狀態(tài)在上式的系統(tǒng)中，總存在,對(duì)所有t當(dāng)A為奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)將存在無(wú)窮多個(gè)平衡狀態(tài)。如果系統(tǒng)是線性定常的，也就是說(shuō)則當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)存在一個(gè)唯一的平衡狀態(tài)第四頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于非線性系統(tǒng)，則有一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)，這些狀態(tài)對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的常值解（對(duì)所有t，總存在）。其平衡狀態(tài)有：非線性系統(tǒng)注意：由于非零平衡點(diǎn)可以通過(guò)坐標(biāo)變換將其移到狀態(tài)空間的坐標(biāo)原點(diǎn)，本章討論關(guān)于原點(diǎn)處之平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問(wèn)題。穩(wěn)定性是相對(duì)于平衡點(diǎn)而言的第五頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日4.2.2預(yù)備知識(shí)1.范數(shù)的概念定義：n維狀態(tài)空間中，向量X的長(zhǎng)度稱為向量X的范數(shù)，用符號(hào)‖X‖表示，則有向量的距離：n維狀態(tài)空間中，‖X-Xe‖稱為向量X與Xe的距離，表示為域：n維狀態(tài)空間中，當(dāng)‖X-Xe‖限定在某一范圍之內(nèi)時(shí)，即，記為‖X-Xe‖的一個(gè)域。第六頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日域的幾何意義：表示為n維狀態(tài)空間中以Xe為中心，

為半徑的一個(gè)球域，記為S()。例4.0：設(shè)有如下兩個(gè)向量，分別求相應(yīng)的范數(shù)及向量的距離。第七頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日建立在Lyapunov第二法基礎(chǔ)上的穩(wěn)定性分析中，有一類函數(shù)起著很重要的作用，即二次型函數(shù),每項(xiàng)的次數(shù)都是二次。注意，這里的為實(shí)向量，為實(shí)對(duì)稱矩陣。例如2、二次型函數(shù)第八頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日3、標(biāo)量函數(shù)的正定性如果對(duì)所有在域中的非零狀態(tài)，有，且在處有，則在域（域包含狀態(tài)空間的原點(diǎn)）內(nèi)的標(biāo)量函數(shù)稱為正定函數(shù)。4、標(biāo)量函數(shù)的負(fù)定性則稱是半正定（非負(fù)定）的。是負(fù)定的5、標(biāo)量函數(shù)的正半定性6、標(biāo)量函數(shù)的負(fù)半定性是半負(fù)定（非正定）的是不定的7、標(biāo)量函數(shù)的不定性第九頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日例4.1本例假設(shè)x為二維向量。 正定的54不定的負(fù)定的32正半定的正定的1二次型可用賽爾維斯特準(zhǔn)則判斷。（矩陣P為實(shí)對(duì)稱矩陣。）以下均為充要條件(1)二次型為正定的充要條件是矩陣P

的所有主子行列式均為正值，第十頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日(2)若，則P負(fù)定；例4.2試證明下列二次型是正定的。(1)P

的所有主子行列式均為正值，(3)若，則P正半定（非負(fù)定）；(4)若，則P半負(fù)定（非正定）；第十一頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日例4.2試證明下列二次型是正定的。[解]二次型可寫為利用賽爾維斯特準(zhǔn)則，可得因?yàn)榫仃嘝的所有主子行列式均為正值，所以是正定的。第十二頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日如果系統(tǒng)對(duì)任意選定的實(shí)數(shù)，都對(duì)應(yīng)存在實(shí)數(shù)，使當(dāng)時(shí)，從任意初態(tài)出發(fā)的解都滿足則稱平衡狀態(tài)是Lyapunov意義下穩(wěn)定的。其中，實(shí)數(shù)與有關(guān)，一般也與有關(guān)。如果與無(wú)關(guān)，則稱這種平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。4.2.3Lyapunov意義下的穩(wěn)定性定義1、Lyapunov意義下的穩(wěn)定第十三頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日x0ε如果系統(tǒng)對(duì)任意選定的實(shí)數(shù)，都對(duì)應(yīng)存在實(shí)數(shù)，使當(dāng)時(shí)，從任意初態(tài)出發(fā)的解都滿足第十四頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日第十五頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日2、漸近穩(wěn)定，而且最終收斂于，如果平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，而且當(dāng)t無(wú)限增長(zhǎng)時(shí)，則稱這種平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。即有：軌線不僅不超出第十六頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日第十七頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日其必要條件是整個(gè)狀態(tài)空間只有一個(gè)平衡點(diǎn)。線性系統(tǒng)：漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定非線性系統(tǒng)：一般較小，小范圍漸近穩(wěn)定。3、大范圍漸近穩(wěn)定如果平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則為大范圍漸近穩(wěn)定的，且漸近穩(wěn)定的最大范圍是整個(gè)狀態(tài)空間，穩(wěn)定范圍：不管如何給定，相應(yīng)的總不能超過(guò)某一個(gè)正數(shù)，則稱為穩(wěn)定范圍，如果選得任意大，使得，則稱該運(yùn)動(dòng)是大范圍穩(wěn)定的。第十八頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日則稱為不穩(wěn)定。，不管多么小，如果對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)和任一實(shí)數(shù)由出發(fā)的狀態(tài)軌線，至少有一條軌線越過(guò)4、不穩(wěn)定第十九頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日4.3Lyapunov穩(wěn)定性理論4.3.1李雅普諾夫第二法1李雅普諾夫函數(shù)如果系統(tǒng)被激勵(lì)，其能量不僅隨著時(shí)間推移逐漸衰減，且到達(dá)平衡狀態(tài)時(shí)，能量衰減到最小，這個(gè)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。反之，如果系統(tǒng)被激勵(lì)，還不斷從外界吸收能量，儲(chǔ)能越來(lái)越大，那么這個(gè)平衡狀態(tài)就是不穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)被激勵(lì)后，儲(chǔ)能既不增加，也不消耗，這個(gè)平衡狀態(tài)是李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定。李雅普諾夫第二法又稱直接法，其基本思路是通過(guò)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)（稱為李氏函數(shù)）對(duì)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性作出判斷。李氏函數(shù)一般是狀態(tài)分量和時(shí)間t的標(biāo)量函數(shù)，用表示，若與t無(wú)關(guān)，可用表示。第二十頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D4.4曲面小球系統(tǒng)小球B受擾動(dòng)作用后，偏離平衡點(diǎn)A到達(dá)狀態(tài)C或狀態(tài)D(b)圖中漸近穩(wěn)定性是局部的(c)圖中平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的圖中曲面光滑，李雅普諾夫穩(wěn)定曲面有摩擦，漸近穩(wěn)定實(shí)際系統(tǒng)有復(fù)雜性和多樣性，難以直接找到一能量函數(shù)來(lái)描述系統(tǒng)的能量關(guān)系第二十一頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日直觀定義：定義正定有界，不妨可以看成一種“能量”不能等同于能量，且隨著系統(tǒng)的不同的含義與形式不同，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，得尋找一個(gè)滿足的李氏函數(shù)。對(duì)于簡(jiǎn)單系統(tǒng)，把李亞普洛夫函數(shù)取為系統(tǒng)的二次型函數(shù)；對(duì)于比較復(fù)雜系統(tǒng)，其李氏函數(shù)的構(gòu)造尚無(wú)一般方法，只能根據(jù)研究者的經(jīng)驗(yàn)而試選，且實(shí)際表明李亞普洛夫函數(shù)遠(yuǎn)比二次型要復(fù)雜得多。則為相應(yīng)能量隨時(shí)間的變化率。從物理上的意義上來(lái)說(shuō)，能量有限，若能量的變化率是負(fù)的，即系統(tǒng)所有運(yùn)動(dòng)有界，并最終回到平衡點(diǎn)。第二十二頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日李亞普諾夫函數(shù)

由于李亞普諾夫函數(shù)的尋找主要靠試探，需要一定的經(jīng)驗(yàn)和技巧，這就使得李亞普諾夫第二法的推廣應(yīng)用曾經(jīng)受到嚴(yán)重的阻礙。2李雅普諾夫第二法平衡狀態(tài)為，設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，如果存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V（X），它滿足：（1）V（X）對(duì)所有X都具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)；（2）V（X）是正定的對(duì)于一個(gè)給定系統(tǒng)，如果能找到一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)而連續(xù)，反映能量的變化，，反映能量的分布，為李亞普諾夫函數(shù)。

第二十三頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日則為大范圍一致漸進(jìn)穩(wěn)定。則為一致漸進(jìn)穩(wěn)定；A為負(fù)定，（3）V（X）對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)：分別滿足以下條件2李雅普諾夫第二法（1）V（X）對(duì)所有X都具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)；（2）V（X）是正定的平衡狀態(tài)為，設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

如果存在它滿足：一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V（X），時(shí)，若當(dāng)大范圍一致漸進(jìn)穩(wěn)定的第一種充分條件：第二十四頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日幾點(diǎn)說(shuō)明：1、物理意義構(gòu)造的能量函數(shù)突出兩個(gè)特點(diǎn)：其一物理系統(tǒng)能量正值，其二能量不停消耗，能量耗盡回到平衡點(diǎn)；2、幾何意義C1C2C3第二十五頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日

3、特別說(shuō)明：該定理給出了漸近穩(wěn)定的充分條件，即如果能找到滿足定理?xiàng)l件的V（x），則系統(tǒng)一致漸近穩(wěn)定；但如果找不到函數(shù)V(x)，并不意味著系統(tǒng)不穩(wěn)定，何況對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，要想找到一個(gè)李氏函數(shù)是很有難度的。例4.3考慮如下非線性系統(tǒng)試確定其穩(wěn)定性。第二十六頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日顯然原點(diǎn)（，）是唯一的平衡狀態(tài)。定義一個(gè)正定標(biāo)量函數(shù)V(x),

V(x)是負(fù)定的，V(x)是Lyapunov函數(shù)。由于隨著而變?yōu)闊o(wú)窮，該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。例4.3考慮如下非線性系統(tǒng)

試確定其穩(wěn)定性。解:第二十七頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日可逆分塊矩陣A的求逆公式：

第二十八頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日用李亞普洛夫第二方法證明系統(tǒng)當(dāng)a1<0,a2<0,原點(diǎn)是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的平衡態(tài)。課堂作業(yè)第二十九頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日則為大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。則為漸近穩(wěn)定；B雖然為半負(fù)定，對(duì)，若當(dāng)時(shí)，來(lái)說(shuō)，除去外，但對(duì)任意初始狀態(tài)不恒為零，（3）V（X）對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)：分別滿足以下條件2李雅普諾夫第二法（1）V（X）對(duì)所有X都具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)；（2）V（X）是正定的平衡狀態(tài)為，設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

如果存在它滿足：一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V（X），大范圍一致漸進(jìn)穩(wěn)定的第二種充分條件：第三十頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日系統(tǒng)軌跡將在某個(gè)曲面上，而不能收斂于原點(diǎn)，因此不是漸近穩(wěn)定。則此時(shí)，（1），（2）不恒等于0，則說(shuō)明軌跡在某個(gè)時(shí)刻與曲面相交，但仍會(huì)收斂于原點(diǎn)，所以是漸近穩(wěn)定。說(shuō)明：第三十一頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日例4.4考慮如下非線性系統(tǒng)試確定其穩(wěn)定性1）確定系統(tǒng)平衡態(tài)是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)2）定義一個(gè)李雅普洛夫函數(shù)V(x),

第三十二頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日第三十三頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日不穩(wěn)定李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定漸近穩(wěn)定第三十四頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日例4.5給定連續(xù)時(shí)間的定常系統(tǒng)

判定其穩(wěn)定性。解:系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)為。且有：現(xiàn)取(i)為正定；(ii)

第三十五頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日可以看出，除以下情況(a)任意，(b)任意，(iii)檢查是否以外，均有。為半負(fù)定考察(a)：是否為系統(tǒng)的擾動(dòng)解，由于可導(dǎo)出，將此代入系統(tǒng)的方程得到這表明，除點(diǎn)（）外，不是系統(tǒng)的擾動(dòng)解。第三十六頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日考察(b):,則可導(dǎo)出將此代入系統(tǒng)方程矛盾不是系統(tǒng)的擾動(dòng)解。(iV)當(dāng)，顯然有綜上，系統(tǒng)在原點(diǎn)平衡狀態(tài)大范圍漸近穩(wěn)定。第三十七頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日例4-6已知線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程，是用李氏第二法判斷其穩(wěn)定性。將矩陣形式的狀態(tài)方程展開(kāi)得到：取標(biāo)量函數(shù)故原系統(tǒng)不穩(wěn)定。解：線性系統(tǒng)，故是其唯一平衡點(diǎn)。第三十八頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日（3）V（X）對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)：分別滿足以下條件2李雅普諾夫第二法（1）V（X）對(duì)所有X都具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)；（2）V（X）是正定的平衡狀態(tài)為，設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

如果存在它滿足：一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V（X），C則是不穩(wěn)定的，此為不穩(wěn)定判據(jù)。為正定，

不恒為零，則系統(tǒng)不穩(wěn)定若為正半定，對(duì)X≠0，系統(tǒng)不穩(wěn)定的充分條件：第三十九頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日注意：Lyapunov第二法給出的是充分條件，而不是必要條件(1)這里僅給出了充分條件，如果能找到滿足判據(jù)條件的Lyapunov函數(shù)V(x,t)便能對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性做出肯定的結(jié)論。但如果找不到這樣的Lyapunov函數(shù)，并不能給出任何結(jié)論，不能據(jù)此說(shuō)該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(2)對(duì)于漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則Lyapunov函數(shù)必存在。(4)對(duì)于非線性系統(tǒng)，通過(guò)構(gòu)造某個(gè)具體的Lyapunov函數(shù)，可以證明系統(tǒng)在某個(gè)穩(wěn)定域內(nèi)是漸近穩(wěn)定的，但這并不意味著穩(wěn)定域外的運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。對(duì)于線性系統(tǒng)，如果存在漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則它必定是大范圍漸近穩(wěn)定的。(3)這里給出的穩(wěn)定性定理，既適合于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)，也適合于定常系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)，具有極其一般的普遍意義。第四十頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日（1）是正定的標(biāo)量函數(shù)；（2）并不是對(duì)所有的系統(tǒng)都能找到來(lái)證明該系統(tǒng)穩(wěn)定或者不穩(wěn)定；（3）如果存在，一般是非唯一的，但關(guān)于穩(wěn)定性的結(jié)論是一致的；（5）只是提供平衡點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)情況，絲毫不能反映域外運(yùn)動(dòng)的任何信息；（6）構(gòu)造需要一定的技巧。（4）最簡(jiǎn)單的形式是二次型；強(qiáng)調(diào)：對(duì)李氏函數(shù)的討論第四十一頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于式(4.3)的系統(tǒng)，選取如下二次型Lyapunov函數(shù)，即4.4線性定常系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析假設(shè)A為非奇異矩陣，則有唯一的平衡狀態(tài)，其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性很容易通過(guò)Lyapunov第二法進(jìn)行研究。考慮如下線性定常自治系統(tǒng)(4.3)式中。線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件：式中P為正定對(duì)稱矩陣（如果是實(shí)向量，且A是實(shí)矩陣，則P可取為正定的實(shí)對(duì)稱矩陣），存在也為正定對(duì)稱矩陣。第四十二頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日沿任一軌跡的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為充分性證明：為李氏函數(shù)，P為正定對(duì)稱矩陣，V（X）正定。由于取為正定，對(duì)于漸近穩(wěn)定性，要求為負(fù)定的，而有：且Q正定知系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。必要性略第四十三頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日現(xiàn)對(duì)該定理作以下幾點(diǎn)說(shuō)明：以確定P，則對(duì)于在平衡點(diǎn)處的漸近(3)如果取任意的正定對(duì)稱矩陣Q，或如果沿任一軌跡不恒等于零時(shí)取任意的正半定矩陣Q，并求解矩陣方程穩(wěn)定性，P為正定對(duì)稱是充要條件。

（4）

正定對(duì)稱矩陣Q，通常取Q＝I，以方便計(jì)算；Q可取半正定，即可取計(jì)算更簡(jiǎn)單。實(shí)際運(yùn)用中，若有則可以取Q為半正定。（1）一般先取正定對(duì)稱矩陣Q，帶入李氏方程，求出P，判別P的正定對(duì)稱性，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（2）通常取Q＝I，以方便計(jì)算。第四十四頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日此時(shí)實(shí)對(duì)稱矩陣P可由下式確定[解]不妨取Lyapunov函數(shù)顯然，平衡狀態(tài)是原點(diǎn)。試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例4.6設(shè)二階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為將矩陣方程展開(kāi)，可得聯(lián)立方程組為第四十五頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日從方程組中解出、、，可得為了檢驗(yàn)P的正定性，可校核各主子行列式

顯然，P是正定的。原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，且Lyapunov函數(shù)為

此時(shí)第四十六頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日例4.7試確定如圖4.3所示系統(tǒng)的增益K的穩(wěn)定范圍。解容易確定系統(tǒng)的狀態(tài)方程為在確定K的穩(wěn)定范圍時(shí)，假設(shè)輸入u為零。于是上式可寫為第四十七頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日

對(duì)P的各元素求解P成為正定矩陣和或第四十八頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日☉線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析系統(tǒng)在平衡狀態(tài)，大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件：對(duì)于任意給定的連續(xù)對(duì)稱正定矩陣Q(t)，存在一個(gè)連續(xù)的對(duì)稱正定矩陣P(t)。式中?？紤]如下線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)是系統(tǒng)的李氏函數(shù)。第四十九頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日證明：為李氏函數(shù)，P為正定對(duì)稱矩陣，V（X）正定。取Q(t)=Q=I第五十頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日2線性定常離散系統(tǒng)李亞普諾夫穩(wěn)定性分析定理4-10：設(shè)線性定常離散系統(tǒng)為

x(k+1)=Gx(k),xe

=0式中：x——n維狀態(tài)向量

G——n*n常系數(shù)非奇異矩陣并且v(x)=xT

(k)

P

x(k)是這個(gè)系統(tǒng)的李氏函數(shù)則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處xe=0大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)任意給定的正定對(duì)稱矩陣Q，存在一個(gè)正定對(duì)稱矩陣P，且滿足如下矩陣方程：

GTPG–P=-Q第五十一頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日李氏方法判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的一般步驟：1、確定系統(tǒng)的平衡狀態(tài)；2、選定正定對(duì)稱矩陣Q，一般選Q=I，則矩陣方程為

GTPG–P=–

I

由此解出P；3、判斷P的正定性，若P正定，系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定，且v(x)=xT

(k)

P

x(k)是這個(gè)系統(tǒng)李氏函數(shù)。第五十二頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日例：設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

試確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定的條件。解：選Q=I，代入矩陣方程

GTPG–P=–

I第五十三頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日要使P正定對(duì)稱矩陣，則要求要求特征根位于單位圓內(nèi)，與經(jīng)典理論判定一致。第五十四頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日例：設(shè)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

試確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定的條件。解：選Q=I，代入矩陣方程GTPG–P=–

I第五十五頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日第五十六頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于線性定常系統(tǒng)，利用李亞普諾夫判據(jù)不但可以判斷其原點(diǎn)平衡狀態(tài)是否為漸近穩(wěn)定，而且還可以對(duì)其自由運(yùn)動(dòng)趨向原點(diǎn)平衡狀態(tài)的收斂快慢作出估計(jì)。4.5用李亞普若夫函數(shù)估算系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能4.5.1衰減系數(shù)考察線性定常自治系統(tǒng)，，來(lái)表征系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的衰減性能，稱為系統(tǒng)接近于平衡狀態(tài)時(shí)的快速性指標(biāo)衰減系數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定時(shí)，正定，而為負(fù)定，因此引入如下定義的一個(gè)正實(shí)數(shù)系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是系統(tǒng)狀態(tài)的正定函數(shù)，是系統(tǒng)某種“能量”的度量，而則為“能量”隨時(shí)間的變化速率。第五十七頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日一般來(lái)說(shuō)，直接難以直接進(jìn)行估計(jì)，一般取由此得出對(duì)(4.9)式兩邊積分得到第五十八頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)線性定常系統(tǒng)，可以定出隨時(shí)間的衰減上界。一旦定出，則可定出隨時(shí)間衰減上界。4.5.2計(jì)算的關(guān)系式的解陣P存在唯一且為正定。當(dāng)系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，對(duì)任意給定正定對(duì)稱陣Q，李雅普諾夫方程其中表示的最小特征值。

結(jié)論：對(duì)線性定常系統(tǒng),設(shè)正定對(duì)稱矩陣成立：第五十九頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日例4.6設(shè)二階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為求系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)，并求從封閉曲線v(x)=100邊界上的一點(diǎn)到封閉曲線v(x)

=0.05內(nèi)一點(diǎn)的響應(yīng)時(shí)間上限。[解]:顯然，平衡狀態(tài)是原點(diǎn)。不妨取Lyapunov函數(shù)實(shí)對(duì)稱矩陣P可由下式確定上式可寫為第六十頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日將矩陣方程展開(kāi)，可得聯(lián)立方程組為從方程組中解出、、，可得各主子行列式均大于零,P是正定性的。第六十一頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日第六十二頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日基本思路是：1）將非線性系統(tǒng)線性化2）計(jì)算線性化方程的特征值3）根據(jù)線性化方程特征值判定原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。將非線性函數(shù)在平衡狀態(tài)處附近展成Taylor級(jí)數(shù)，則有或?qū)懗稍O(shè)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為4.6Lyapunov第一法

4.6.1線性化法第六十三頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日式中為常數(shù)，(i,j=1,2,…)為一次項(xiàng)系數(shù)，且為余數(shù)，即所有高次項(xiàng)之和。由于

，故線性化方程為為Jacobian矩陣。其中第六十四頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日現(xiàn)在我們把問(wèn)題的范圍縮小，只考慮的穩(wěn)定性問(wèn)題，并提出在什么條件下，可用線性化系統(tǒng)代替原非線性系統(tǒng)？

然而這樣做是否正確？我們知道，線性(化)系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)具有根本的區(qū)別，關(guān)于線性化系統(tǒng)的解和有關(guān)結(jié)論是不能隨意推廣到原來(lái)的非線性的。線性化方程(忽略高階小量)是一種重要且廣泛使用的近似分析方法。注意：在工程技術(shù)中，很多系統(tǒng)實(shí)質(zhì)上都是非線性的，而非線性系統(tǒng)求解十分困難，所以經(jīng)常使用線性化系統(tǒng)近似它。第六十五頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日定理4.1(Lyapunov)如果線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，則原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)總是漸近穩(wěn)定的，而且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)無(wú)關(guān)。定理4.2(Lyapunov)如果線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的特征值中，至少有一個(gè)具有正實(shí)部，則不論高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的情況如何，原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。定理4.3(Lyapunov)如果線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A有實(shí)部為零的特征值，而其余特征值實(shí)部均為負(fù)，則在此臨界情況下，原非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性決定于高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，即可能不穩(wěn)定，也可能穩(wěn)定。此時(shí)不能再用線性化方程來(lái)表征原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。第六十六頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日某非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試分析此系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性。課堂練習(xí)：解：由題意可知，此非線性系統(tǒng)有兩個(gè)平衡狀態(tài)首先在處將其線性化第六十七頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日特征值非線性系統(tǒng)在處是不穩(wěn)定的處將其線性化

此系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定不能由的特征值符號(hào)來(lái)確定系統(tǒng)在處的穩(wěn)定性。這種情況需要應(yīng)用李亞普諾夫第二法進(jìn)行判定。第六十八頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日非線性系統(tǒng)方程為已知系統(tǒng)平衡狀態(tài)為坐標(biāo)原點(diǎn)xe=0，即f(xe)=0,且f(x

)對(duì)xi處是可微的，系統(tǒng)的雅可比矩陣為4.6.2李氏第二法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用1、克拉索夫斯基法則系統(tǒng)在xe

=0處是漸近穩(wěn)定的充分條件是：下列矩陣第六十九頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日則系統(tǒng)在xe

=0處是漸近穩(wěn)定的充分條件是：下列矩陣在所有x下都是負(fù)定的，而且是一個(gè)李亞普諾夫（Lyapunov）函數(shù)。對(duì)任意n維狀態(tài)向量x，有第七十頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日外，處處不為零。，而且，其行列式除點(diǎn)時(shí)，00)(0=11xxFx第七十一頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日第七十二頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試用克拉索夫基法確定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的xe=0穩(wěn)定性.解：第七十三頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日由塞爾維斯特準(zhǔn)則有第七十四頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日課堂習(xí)題：如下非線性系統(tǒng)試討論其在原點(diǎn)的穩(wěn)定性條件解：第七十五頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)于定理的幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）該定理對(duì)非線性系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)只給出了穩(wěn)定的充分條件，若不是負(fù)定的，則不能給出任何結(jié)論。（2）使為負(fù)定的必要條件是，F(xiàn)(x)主對(duì)角線上的所有元素不為零，即：（3）線性系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)的特例，該定理也適應(yīng)于線性定常系統(tǒng)。第七十六頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日(4)克拉索夫斯基方法主要適用于針對(duì)可線性化表示的函數(shù)，即（a）非線性特性可用解析表達(dá)式表示的單值函數(shù)；（b）非線性函數(shù)對(duì)是可微的；（c）。李亞普諾夫函數(shù)為xAAxxxxVTTT)()(==&&若A為非奇異，則當(dāng)為負(fù)定時(shí)，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)穩(wěn)定。第七十七頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日2、變量梯度法1梯度的概念一個(gè)多元函數(shù)v(x1,x2,…,xn)存在對(duì)n個(gè)變量xi的偏導(dǎo)數(shù)。在控制問(wèn)題中，偏導(dǎo)數(shù)是指n維空間中的運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)某一位置時(shí)沿各個(gè)坐標(biāo)方向的變化率。

把反映運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)沿各個(gè)坐標(biāo)方向變化率的各偏導(dǎo)數(shù)作為分量，構(gòu)成一個(gè)n維向量，稱該向量為函數(shù)v(x1,x2,…,xn)

的梯度。習(xí)慣上用符號(hào)“V”表示。第七十八頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日2向量的曲線積分變力做功問(wèn)題：變力F沿著給定路徑L所做的功可用曲線積分來(lái)計(jì)算。積分的結(jié)果與積分路徑的選擇無(wú)關(guān)。第七十九頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日3旋度方程如果一個(gè)向量的曲線積分與積分路徑選擇無(wú)關(guān)，則向量的旋度必為零。由向量的旋度為零可得出由所組成的雅可比矩陣必為對(duì)稱矩陣。第八十頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日4變量梯度法求李氏函數(shù)式中為維狀態(tài)向量，是變量,,…,和t的n維向量函數(shù)。設(shè)非線性系統(tǒng)方程為設(shè)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是狀態(tài)空間的原點(diǎn)，即xe=0,若要尋找的李氏函數(shù)為v(x)=v(x1,x2,…,xn)第八十一頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日李氏函數(shù)的求取變成求一個(gè)合適的梯度向量V。求取V利用了以下兩個(gè)條件：1）由于V是一個(gè)向量，則n維廣義旋度為0，故V必須滿足以下旋度方程：2）由V計(jì)算出來(lái)的v

(x)和必須滿足李氏函數(shù)穩(wěn)定性的要求。總結(jié)上述分析，如果非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定，變量梯度法確定李氏函數(shù)的步驟概括如下：第八十二頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日總結(jié)上述分析，如果非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定，變量梯度法確定李氏函數(shù)的步驟概括如下：1）假定V是一個(gè)任意列向量，即：式中：aij(i,j=1,2,…,n)為待定系數(shù),可以是常數(shù)，也可以是時(shí)間t的函數(shù)或狀態(tài)變量的函數(shù)，通常aij選為常數(shù)或t的函數(shù)。2）由V寫出，即：第八十三頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日3）限定是負(fù)定的或至少是負(fù)半定的，并用n(n-1)/2個(gè)旋度方程確定待定系數(shù)aij。4）將得出的重新校驗(yàn)負(fù)定性，因?yàn)樾确匠檀_定系數(shù)可能會(huì)使它改變。5）由V的線積分求出，積分路徑按式（4-44）給出。6）確定在平衡點(diǎn)處的漸近穩(wěn)定性范圍。注意：用這種方法不能構(gòu)造出一個(gè)合適的李氏函數(shù)時(shí)，并不意味著平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。第八十四頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日例：設(shè)非線性系統(tǒng)方程為利用變量梯度法構(gòu)造李氏函數(shù)，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（1）假定v

(x)的梯度為（2）寫出

的形式第八十五頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日第八十六頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日（4）求出李氏函數(shù)滿足旋度方程條件，于是有可見(jiàn)，李氏函數(shù)是正定的。第八十七頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日作業(yè)4-44-54-64-8(1)4-9第八十八頁(yè)，共一百零二頁(yè)，2022年，8月28日本章小結(jié)基本要求（1）熟悉李亞普諾夫穩(wěn)定性的定義